نسخة الفيديو النصية
جسم كتلته خمسة كيلوجرامات يتحرك تحت تأثير قوة ﻕ مقيسة بالنيوتن. متجه موضع الجسم عند الزمن ﻥ ثانية يعطى بالعلاقة: ﺭ يساوي تسعة ﻥ تكعيب ﺱ زائد ثمانية ﻥ تربيع ﺹ متر. أوجد الشغل المبذول بواسطة القوة ﻕ خلال الفترة الزمنية ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا وأصغر من أو يساوي واحدًا.
عند حساب الشغل الذي تبذله قوى متغيرة، علينا استخدام التكامل. الشغل المبذول في أول ﻥ ثانية يساوي التكامل المحدد بين صفر وﻥ لحاصل الضرب القياسي لـ ﻕ وﻉ بالنسبة إلى ﻥ. المشكلة هنا هي أننا نعرف قيمة ﻥ. وهي تساوي واحدًا. لكن ليس لدينا متجه للسرعة أو القوة.
لدينا بدلًا من ذلك متجه للإزاحة أو موضع الجسم عند الزمن ﻥ ثانية. وبتذكر حقيقة أن السرعة هي معدل تغير إزاحة أو موضع جسم خلال فترة زمنية معينة، ندرك أنه يمكننا إيجاد قيمة ﻉ باشتقاق متجه ﺭ بالنسبة إلى ﻥ.
يمكننا القيام بذلك لمركبتي ﺱ وﺹ كل على حدة. سنشتق تسعة ﻥ تكعيب بالنسبة إلى ﻥ. ولكي نفعل ذلك، نضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. إذن، نحصل على ٢٧ﻥ تربيع. وبالمثل، عند اشتقاق ثمانية ﻥ تربيع بالنسبة إلى ﻥ، نحصل على اثنين في ثمانية ﻥ، وهو ما يساوي ١٦ﻥ. رائع، أصبح لدينا الآن متجه يصف سرعة الجسم. لكن ماذا عن القوة؟
حسنًا، نتذكر المعادلة ﻕ يساوي ﻙﺟ. أي القوة تساوي الكتلة في العجلة. من المهم أن ندرك أن هذه المعادلة تنطبق أيضًا عندما يعطى ﻕ وﺟ في صورة متجهين. العجلة هي التغير في السرعة بالنسبة إلى الزمن. لذا يمكننا القول إن ﺟ هي مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ.
مرة أخرى، يمكننا اشتقاق مركبتي ﺱ وﺹ كل على حدة. مشتقة ٢٧ﻥ تربيع تساوي اثنين في ٢٧ﻥ. أي ٥٤ﻥ. ومشتقة ١٦ﻥ تساوي ١٦. إذن، أصبح لدينا الآن متجه يصف عجلة الجسم.
نحن نعلم أن كتلة الجسم خمسة كيلوجرامات. ومن ثم، فإن القوة تساوي خمسة مضروبة في متجه العجلة. أي خمسة في ٥٤ﻥﺱ زائد ١٦ﺹ، وهو ما يساوي ٢٧٠ﻥﺱ زائد ٨٠ﺹ نيوتن.
تذكر أننا قلنا إنه لإيجاد الشغل المبذول، سنحسب تكامل حاصل الضرب القياسي لـ ﻕ وﻉ. ولإيجاد حاصل الضرب القياسي لـ ﻕ وﻉ، نضرب مركبتي ﺱ. إذن، لدينا ٢٧٠ﻥ في ٢٧ﻥ تربيع. نضيف بعد ذلك حاصل ضرب مركبتي ﺹ. أي ٨٠ في ١٦ﻥ. وبذلك، نجد أن ﻕ ضرب قياسي ﻉ يساوي ٧٢٩٠ﻥ تكعيب زائد ١٢٨٠ﻥ.
الشغل المبذول هو التكامل المحدد بين صفر وواحد لـ ٧٢٩٠ﻥ تكعيب زائد ١٢٨٠ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. لحساب تكامل كل حد، نضيف واحدًا إلى الأس ثم نقسم على القيمة الجديدة. تكامل ٧٢٩٠ﻥ تكعيب يساوي ٧٢٩٠ﻥ أس أربعة على أربعة. وتكامل ١٢٨٠ﻥ يساوي ١٢٨٠ﻥ تربيع على اثنين. يمكن تبسيط ذلك إلى ٣٦٤٥ على اثنين ﻥ أس أربعة زائد ٦٤٠ﻥ تربيع. بالتعويض بـ ﻥ يساوي واحدًا وﻥ يساوي صفرًا، نحصل على ٣٦٤٥ على اثنين زائد ٦٤٠ الكل ناقص صفر، وهو ما يساوي ٢٤٦٢٫٥.
القوة لدينا مقيسة بالنيوتن. والإزاحة أو الموضع مقيس بالمتر. إذن، سيكون الشغل المبذول مقيسًا بالجول. وعليه، فإن الإجابة هي ٢٤٦٢٫٥ جول.
