نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد طولًا ناقصًا في مثلث يحتوي على خطين متوازيين أو ثلاثة خطوط متوازية باستخدام التناسب. وسنتمكن من معرفة متى تتكون مثلثات متشابهة من الخطوط المتوازية داخل المثلثات أو خارجها، وهو ما يعرف أحيانًا بنظرية التناسب في المثلث، بالإضافة إلى استخدام التناسب لإيجاد الأطوال المجهولة في المثلثات التي تحتوي على خطوط متوازية، وسنتناول أيضًا عكس نظرية التناسب في المثلث.
دعونا نبدأ بتذكر بعض خواص الخطوط المتوازية. نعلم أنه، على سبيل المثال، عندما يقطع قاطع خطين متوازيين، تكون الزاويتان المتناظرتان الناتجتان متساويتين في القياس. ونعلم أيضًا أنه بإضافة قاطع ثان، يمكننا تكوين مثلثين. وبتسمية كل رأس، يمكننا تحديد المثلث الأكبر ﺃﺩﻫ والمثلث الأصغر ﺃﺏﺟ.
وبما أن كل زاويتين متناظرتين متساويتان في القياس، فإنه يمكننا القول بأن المثلث ﺃﺩﻫ يشابه المثلث ﺃﺏﺟ. وبما أن هذين المثلثين متشابهان، فلا بد أن تكون النسب بين أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية. هذا يعني أن ﺃﺏ على ﺃﺩ، أي النسبة بين ﺃﺏ وﺃﺩ، تساوي ﺃﺟ على ﺃﻫ، وهذه النسبة تساوي بدورها ﺏﺟ على ﺩﻫ. إذن النسبة بين ﺃﺏ وﺃﺩ تساوي النسبة بين ﺃﺟ وﺃﻫ، والنسبة بين ﺃﺟ وﺃﻫ تساوي النسبة بين ﺏﺟ وﺩﻫ.
والآن سنستخدم هذه الخواص للمثلثات المتشابهة في المثال الأول الذي سنتناوله لتحديد أزواج أطوال الأضلاع التي تكون النسب بينها متساوية عندما يقطع المثلث خط مستقيم مواز لأحد أضلاعه.
باستخدام الشكل، أي من الآتي يساوي ﺃﺏ على ﺃﺩ؟ أ: ﺃﺟ على ﻫﺟ، ب: ﺃﺏ على ﺩﺏ، ج: ﺃﺩ على ﺩﺏ، د: ﺃﺟ على ﺃﻫ، هـ: ﺃﻫ على ﻫﺟ.
نلاحظ من الشكل أن قاعدة المثلث ﺃﻫﺩ، أي الضلع ﻫﺩ، موازية لقاعدة المثلث ﺃﺏﺟ، أي الضلع ﺟﺏ. وبما أنه لا بد أن تتساوى الزوايا المتناظرة ما دام الخطان المستقيمان متوازيين، فإن الزاوية ﺩﻫﺃ تساوي الزاوية ﺏﺟﺃ، والزاوية ﻫﺩﺃ تساوي الزاوية ﺟﺏﺃ. ومن ثم يكون الضلع ﻫﺩ المثلث ﺃﺩﻫ الذي يشابه المثلث الأكبر ﺃﺏﺟ. وبما أن هذين المثلثين متشابهان، فلا بد أن تكون النسب بين أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية. على وجه التحديد، ﺃﻫ على ﺃﺟ يساوي ﺃﺩ على ﺃﺏ.
والآن نريد أن نعرف أي من الكسور المعطاة يساوي ﺃﺏ على ﺃﺩ. يمكننا معرفة ذلك من خلال إيجاد مقلوب طرفي هذه المعادلة، وهو ما يعطينا: ﺃﺟ على ﺃﻫ يساوي ﺃﺏ على ﺃﺩ. وعليه فإن ﺃﺏ على ﺃﺩ يساوي ﺃﺟ على ﺃﻫ، وهو ما يناظر الخيار د.
في المثال التالي الذي سنتناوله، سنتعلم كيفية إيجاد طول مجهول في مثلث باستخدام التناسب.
أوجد قيمة ﺱ.
نلاحظ من الشكل أن الخطين المستقيمين ﺃﺟ وﺃﺏ قاطعان يقطعان الخطين المستقيمين المتوازيين ﺩﻫ وﺏﺟ. ونعلم أن الزوايا المتناظرة الناتجة عن هذا التقاطع متساوية. وهي: الزاويتان ﺩﻫﺃ وﺏﺟﺃ، والزاويتان ﻫﺩﺃ وﺟﺏﺃ. في هذه الحالة، يمكننا القول إن المثلثين ﺃﺏﺟ وﺃﺩﻫ متشابهان بما أن كلًّا منهما يحتوي على الزاوية المشتركة ﺏﺃﺟ، والزاويتين الأخريين في كل منهما متساويتان أيضًا.
نتذكر هنا أنه عندما يتشابه مثلثان، تكون النسب بين أطوال أضلاعهما المتناظرة متساوية. على وجه التحديد، النسبة بين ﺃﺩ وﺃﺏ مساوية للنسبة بين ﺩﻫ وﺏﺟ. بعبارة أخرى، ﺃﺩ على ﺃﺏ يساوي ﺩﻫ على ﺏﺟ. نعلم هنا أن ﺃﺩ يساوي ١٠ وحدات. وﺃﺏ يساوي ١٠ زائد ١١ وحدة، أي ﺃﺩ زائد ﺩﺏ. وﺩﻫ يساوي ١٠ وحدات، وﺏﺟ يساوي ﺱ. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على: ١٠ على ١٠ زائد ١١ يساوي ١٠ على ﺱ. هذا يعني أن ١٠ على ٢١ يساوي ١٠ على ﺱ.
والآن لنوجد قيمة ﺱ، نضرب كلا الطرفين في ٢١ﺱ ونقسمهما على ١٠، وبذلك نحصل على: ﺱ يساوي ٢١. إذن باستخدام الشكل المعطى، وجدنا أن ﺱ يساوي ٢١ وحدة.
في المثالين السابقين، لاحظنا أنه إذا قطع خط مستقيم ضلعين في مثلث وكان موازيًا للضلع الثالث، فإن المثلث الأصغر الناتج عن هذا الخط المستقيم يكون مشابهًا للمثلث الأصلي. وبما أن المثلثين ﺃﺏﺟ وﺃﺩﻫ متشابهان، فإن النسبتين ﺃﺏ على ﺃﺩ وﺃﺟ على ﺃﻫ متساويتان. ومن الشكل، نلاحظ أيضًا أنه يمكن تقسيم القطعة المستقيمة ﺃﺩ إلى ﺃﺏ زائد ﺏﺩ، والقطعة المستقيمة ﺃﻫ إلى ﺃﺟ زائد ﺟﻫ.
والآن بالتعويض بهذين التعبيرين في المعادلة التي لدينا، نحصل على: ﺃﺏ على ﺃﺏ زائد ﺏﺩ يساوي ﺃﺟ على ﺃﺟ زائد ﺟﻫ. ويمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على: ﺃﺏ في ﺃﺟ زائد ﺟﻫ يساوي ﺃﺟ في ﺃﺏ زائد ﺏﺩ. وبعد ذلك إذا وزعنا الأقواس وطرحنا ﺃﺏ في ﺃﺟ من الطرفين، فسنحصل على: ﺃﺏ في ﺟﻫ يساوي ﺃﺟ في ﺏﺩ. ويمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنحصل على النسبتين المتساويتين ﺃﺏ على ﺏﺩ يساوي ﺃﺟ على ﺟﻫ.
وهذا يقودنا إلى تعريف نظرية التناسب في المثلث التي تربط القطع المستقيمة الناتجة عن إضافة ضلع مواز إلى ضلع في المثلث. تنص نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قطع خط مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث الضلعين الآخرين في هذا المثلث، فإنه يقسم هذين الضلعين بالتناسب.
في الشكل الذي لدينا، الضلع ﺏﺟ مواز للضلع ﺩﻫ. إذن في هذه الحالة، تنص نظرية التناسب في المثلث على أن النسبة بين ﺃﺏ وﺏﺩ تساوي النسبة بين ﺃﺟ وﺟﻫ. نلاحظ هنا أنه يمكن توسيع نطاق هذه النظرية لتشمل المستقيمات المتوازية التي تقع خارج المثلث. يمكننا تكوين مثلث مشابه خارج المثلث الأول باستخدام خط مستقيم مواز كما هو موضح في الشكل. ويمكننا استنتاج نظرية محاكية لنظرية التناسب في المثلث من هذين المثلثين المتشابهين مباشرة.
في المثال التالي، سنتعلم كيف نستخدم نظرية التناسب في المثلث لتحديد القطع المستقيمة المتناسبة في أضلاع مثلثين لكي نحسب طولًا مجهولًا.
في الشكل، القطعتان ﺱﺹ وﺏﺟ متوازيتان. إذا كان ﺃﺱ يساوي ١٨، وﺱﺏ يساوي ٢٤، وﺃﺹ يساوي ٢٧، فما طول ﺹﺟ؟
معطى لنا أطوال الأضلاع ﺃﺱ وﺱﺏ وﺃﺹ. ونريد إيجاد طول ﺹﺟ. نعلم من المعطيات أيضًا أن الضلعين ﺱﺹ وﺏﺟ متوازيان. وتنص نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قطع خط مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين، فإن هذا الخط يقسم هذين الضلعين بالتناسب. هذا يعني هنا، على وجه التحديد، أن النسبة بين ﺃﺹ وﺹﺟ تساوي النسبة بين ﺃﺱ وﺱﺏ. إذا عوضنا بالأطوال المعلومة في هذه المعادلة، وهي ﺃﺹ يساوي ٢٧، وﺃﺱ يساوي ١٨، وﺱﺏ يساوي ٢٤، فسنحصل على:٢٧ على ﺹﺟ يساوي ١٨ على ٢٤. وبإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على: ﺹﺟ يساوي ٢٤ على ١٨ في ٢٧، وهو ما يساوي ٣٦.
إذن باستخدام نظرية التناسب في المثلث، وجدنا أن طول ﺹﺟ يساوي ٣٦ وحدة.
في المثال التالي، سنستخدم نظرية التناسب في المثلث لمساعدتنا على حل مسألة متعددة الخطوات تتضمن مثلثين ومستقيمات متوازية.
يوضح الشكل الآتي المثلث ﺃﺏﺟ. ١: أوجد قيمة ﺱ. ٢: أوجد قيمة ﺹ.
لدينا مثلث به خط مستقيم مرسوم داخله يوازي أحد أضلاعه، والأطوال المختلفة للقطع المستقيمة المكونة لأضلاع المثلث. ومطلوب منا إيجاد قيمة ﺱ وقيمة ﺹ.
لنبدأ بالجزء الأول، وهو إيجاد قيمة ﺱ؛ حيث نلاحظ أن ﺱ موجود في اثنتين من القطع المستقيمة المكونة للأضلاع. نلاحظ أولًا أنه يوجد خط مستقيم طوله يساوي وحدتين داخل المثلث ويوازي الضلع ﺏﺟ. وتنص نظرية التناسب في المثلث على أن هذا الخط المستقيم يقسم الضلعين ﺃﺟ وﺃﺏ بالتناسب.
نتذكر هنا أنه وفقًا لنظرية التناسب في المثلث، إذا قطع خط مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث الضلعين الآخرين في هذا المثلث، فإنه يقسم هذين الضلعين بالتناسب. وإذا أسمينا هذه القطعة المستقيمة ﺩﻫ، فإنه يمكننا القول بأن ﺃﺩ على ﺩﺏ يساوي ﺃﻫ على ﻫﺟ. بالتعويض بالأطوال المعطاة، يمكننا تكوين معادلة لإيجاد قيمة ﺱ. وهي: ثلاثة على اثنين ﺱ زائد ثلاثة يساوي اثنين على ﺱ زائد خمسة. وبضرب كلا الطرفين في ﺱ زائد خمسة واثنين ﺱ زائد ثلاثة وتوزيع الأقواس، نحصل على: ثلاثة ﺱ زائد ١٥ يساوي أربعة ﺱ زائد ستة. وبطرح ثلاثة ﺱ وستة من كلا الطرفين وتبديلهما، نحصل على: ﺱ يساوي تسعة.
إذا كتبنا الآن هذه القيمة وأفسحنا بعض المساحة، فسنتمكن من استخدام قيمة ﺱ التي أوجدناها لحل الجزء الثاني من السؤال، وهو إيجاد قيمة ﺹ. بما أن المثلثين الناتجين عن تقاطع الضلع ﺩﻫ لهما الزاوية المشتركة ﺃ، والزاويتين الناتجتين عن هذا الخط المستقيم أيضًا تساويان الزاويتين المناظرتين لهما؛ فإنه يمكننا قول إن المثلثين ﺃﺩﻫ وﺃﺏﺟ متشابهان. على وجه التحديد، يعني ذلك أن النسبتين ﺃﺩ على ﺃﺏ وﺩﻫ على ﺏﺟ متساويتان. نعلم أن ﺃﺏ يساوي ﺃﺩ زائد ﺩﺏ. وهذا يساوي ثلاثة زائد اثنين ﺱ زائد ثلاثة. ونعلم أن ﺱ يساوي تسعة من الجزء الأول من السؤال. بالتعويض عن هذه القيمة، نحصل على ٢٤.
والآن، بالتعويض في المعادلة بالقيم ﺃﺩ يساوي ثلاثة، وﺃﺏ يساوي ٢٤، وﺩﻫ يساوي اثنين، وﺏﺟ يساوي ﺹ؛ نحصل على: ثلاثة على ٢٤ يساوي اثنين على ﺹ. والآن، بضرب كلا الطرفين في ﺹ وفي ٢٤ على ثلاثة، نحصل على: ﺹ يساوي ١٦. إذن من الشكل المعطى، توصلنا إلى أن ﺱ يساوي تسعة وﺹ يساوي ١٦.
حتى الآن، استخدمنا نظرية التناسب في المثلث لحل مسائل التناسب والمثلثات. وتعلمنا أيضًا أنه يمكن توسيع نطاق هذه النظرية لتشمل المستقيمات المتوازية التي تقع خارج المثلث. وفي الواقع، فإن عكس هذه النظرية صحيح أيضًا. وقد يكون ذلك مفيدًا جدًّا في حل المسائل التي تكون من هذا النوع. ينص عكس نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قطع خط مستقيم ضلعين في مثلث وقسمهما إلى قطع متناسبة، فلا بد أن هذا الخط يوازي الضلع الثالث في المثلث.
في الأشكال الثلاثة الموضحة، ﺃﺏﺟ مثلث ويتقاطع الخط المستقيم ﺩﻫ مع ﺃﺏ عند النقطة ﺩ ومع ﺃﺟ عند النقطة ﻫ. بعبارة أخرى، إذا كانت النسبتان ﺃﺩ على ﺩﺏ وﺃﻫ على ﻫﺟ متساويتين، فلا بد أن يكون المستقيمان ﺩﻫ وﺏﺟ متوازيين. والآن لنستخدم عكس نظرية التناسب في المثلث لإيجاد الأطوال المجهولة في مثلث.
إذا كان ﺃﺏﺟﺩ متوازي أضلاع، فأوجد طول ﺹﻉ.
لإيجاد طول الضلع ﺹﻉ في المثلث الأصغر ﺱﺹﻉ داخل متوازي الأضلاع، سنبدأ بتحديد المعطيات المهمة عن المثلثين ﺱﺹﻉ وﺱﺩﺟ. نعلم من المعطيات أن ﺱﺹ يساوي ﺹﺩ وﺱﻉ يساوي ﻉﺟ. ونتذكر هنا أن نظرية التناسب في المثلث تنص على أنه إذا قطع خط مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث الضلعين الآخرين، فإن هذا الخط يقسم هذين الضلعين بالتناسب. والعكس هو أنه إذا قسم خط مستقيم ضلعين في مثلث إلى نسب متساوية، فإن هذا الخط يجب أن يكون موازيًا للضلع الثالث.
في هذه الحالة، بما أن الضلعين ﺱﺩ وﺱﺟ في المثلث الأكبر ﺱﺩﺟ قد قسما إلى نسب متساوية، فإنه يمكننا تطبيق عكس نظرية التناسب في المثلث لاستنتاج أن الضلعين ﺩﺟ وﺹﻉ يجب أن يكونا متوازيين. نتذكر أيضًا أنه إذا قطع خط مستقيم يوازي أحد أضلاع المثلث الضلعين الآخرين، كما يفعل الخط ﻡﻙ في الشكل، فإن المثلث الأصغر الناتج عن هذا الخط، وهو المثلث ﻡﻙﻥ، يكون مشابهًا للمثلث الأصلي ﻭﺯﻥ. وفي هذا المثال، يعني ذلك أن المثلث ﺱﺹﻉ يشابه المثلث ﺱﺩﺟ.
وبما أن ﺩﺟ هو الضلع المقابل للضلع ﺃﺏ في متوازي الأضلاع ﺃﺏﺟﺩ، فلا بد أن يكون لهذين الضلعين الطول نفسه. نعلم أن طول الضلع ﺩﺟ يساوي ١٣٤٫٩ سنتيمترًا. سنفرغ بعض المساحة، وإذا أخذنا المثلث خارج الشكل وأشرنا إلى طول الضلع ﺱﺹ بـ ﻝ، فطول الضلع ﺱﺩ سيساوي اثنين ﻝ. وبما أن المثلثين ﺱﺹﻉ وﺱﺩﺟ متشابهان، فإنه يمكننا تكوين معادلة لأطوال الأضلاع، كما هو موضح؛ حيث تكون النسبتان ﺱﺹ على ﺱﺩ وﺹﻉ على ﺩﺟ متساويتين.
والآن بالتعويض بقيم أطوال الأضلاع المعلومة لدينا، نحصل على: ﻝ على اثنين ﻝ يساوي ﺹﻉ على ١٣٤٫٩. ويمكننا أن نقسم البسط والمقام في الطرف الأيمن على ﻝ، وسيعطينا ذلك: واحد على اثنين يساوي ﺹﻉ على ١٣٤٫٩. وبضرب الطرفين بعد ذلك في ١٣٤٫٩، نحصل على: ﺹﻉ يساوي ١٣٤٫٩ على اثنين، وهو ما يساوي ٦٧٫٤٥. إذن طول الضلع يساوي ٦٧٫٤٥ سنتيمترًا.
في النهاية، دعونا نلخص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. إذا قطع خط مستقيم ضلعين في مثلث، وكان موازيًا للضلع المتبقي؛ فإن المثلث الأصغر الناتج عن هذا الخط يكون مشابهًا للمثلث الأصلي. وتنص نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قطع خط مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث الضلعين الآخرين في هذا المثلث، فإنه يقسم هذين الضلعين بالتناسب.
ويمكن توسيع نطاق نظرية التناسب في المثلث لتشمل المستقيمات المتوازية التي تقع خارج المثلث. إذا كان هناك خط مستقيم يقع خارج مثلث، ويوازي أحد أضلاع هذا المثلث، ويتقاطع مع امتدادي الضلعين الآخرين للمثلث؛ فإن هذا الخط يقسم امتدادي هذين الضلعين بالتناسب. وأخيرًا، ينص عكس نظرية التناسب في المثلث على أنه إذا قسم خط مستقيم ضلعين في مثلث بالتناسب، فإن هذا الخط يوازي الضلع المتبقي.
