فيديو السؤال: استخدام قاعدة الجمع لتحديد احتمال اتحاد حدثين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان لهما احتمالا وقوع. احتمال وقوع ﺃ يساوي ٠٫٢، واحتمال وقوع ﺏ يساوي ٠٫٤٧. إذا كان احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫١٨، فأوجد احتمال ﺃ اتحاد ﺏ.

حسنًا، أول ما علينا فعله هو إلقاء نظرة على المعطيات التي لدينا وفهم المقصود منها. ولهذا رسمت مخططًا هنا. وقد رسمت شكل فن. لدينا دائرة على اليمين تسمى ﺃ ودائرة على اليسار تسمى ﺏ.

أول معلومة لدينا هي أن احتمال وقوع ﺃ يساوي ٠٫٢. وقد أوضحت ذلك على شكل فن بتظليل الدائرة ﺃ بأكملها باللون الوردي. ثم عرفنا من المعطيات أن احتمال وقوع ﺏ يساوي ٠٫٤٧. وقد أوضحت ذلك أيضًا على شكل فن، لكن هذه المرة بتظليل الدائرة ﺏ بأكملها. وأخيرًا، نعلم من المعطيات أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫١٨. وذلك ما يعنيه هذا الرمز الذي يبدو على شكل حرف «n». إنه يعني تقاطع. وكما ترى في الشكل، لقد ظللت هذه المساحة هنا.

للتقاطع معنى يكاد يطابق معنى حرف العطف «و»؛ إذ يشير إلى احتمال وقوع ﺃ «و» ﺏ. هذه إذن هي المساحة الواقعة في كل من الدائرة ﺃ والدائرة ﺏ، والمعروفة أيضًا باسم التداخل. لكن لحل هذه المسألة، علينا البحث عن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. وهذا يعني أي شيء ينتمي إلى ﺃ أو ﺏ. وقد حددت ذلك بتظليل الدائرة ﺃ والدائرة ﺏ والمساحة المتداخلة بينهما.

لحل هذه المسألة، لدينا ما يسمى بقاعدة الجمع. وتنص على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ زائد احتمال وقوع ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. رائع، يمكننا الآن استخدامها لإيجاد القيمة الناقصة. لكن دعونا نذكر سبب نجاح هذه الصيغة.

إذا ألقينا نظرة على الأشكال، يمكننا أن نلاحظ أننا إذا جمعنا الشكلين الأول والثاني، فسوف نجمع احتمال وقوع ﺃ واحتمال وقوع ﺏ. ومن ثم، نحصل على الدائرة ﺃ كلها والدائرة ﺏ كلها. لكن، كما ترى، إذا جمعنا الدائرتين معًا، فسيكون لدينا هذان الجزءان المشار إليهما هنا. وهذان الجزءان هما التقاطعان.

لكن إذا نظرنا إلى الشكل السفلي، فسنلاحظ وجود تقاطع واحد فقط. إذن، ما علينا فعله هو طرح تقاطع من الإجابة. بذلك نصل إلى قاعدة الجمع التي تنص على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ زائد احتمال وقوع ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

رائع. فلننتقل الآن إلى حل المسألة. إذا عوضنا بهذه القيم، فسنحصل على احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٢ زائد ٠٫٤٧ ناقص ٠٫١٨، وهو ما يساوي ٠٫٦٧ ناقص ٠٫١٨. ومن ثم، نحصل على الإجابة النهائية. وهي أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٤٩.