نسخة الفيديو النصية
لدينا نظام المعادلات الخطية الآتي على صورة معادلة مصفوفية: المصفوفة صفر، سالب ثلاثة، سبعة، وصفر، سالب واحد، واحد، وواحد، واحد، واحد مضروبة في المصفوفة ﺱ، ﺹ، ﻉ تساوي المصفوفة واحدًا، ستة، واحدًا. اكتب المحدد Δﻉ.
في البداية، علينا التأكد من أننا نفهم تفسير الصورة المصفوفية لنظام المعادلات الخطية المعطى. نلاحظ أن النظام يتضمن ثلاثة مجاهيل، وهي ﺱ وﺹ وﻉ؛ فهذه هي المتغيرات الوحيدة الموجودة في مصفوفة المتغيرات. على يمين هذه المصفوفة، توجد مصفوفة المعاملات. ونسميها بذلك الاسم؛ لأننا إذا أجرينا عملية الضرب لهذا النظام، فستكون هذه الأعداد معاملات المتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ. وأخيرًا، لدينا مصفوفة الثوابت، التي تمثل الطرف الأيسر من نظام المعادلات.
حسنًا، مطلوب منا إيجاد المحدد Δﻉ. تذكر أن هذا المحدد يستخدم عند إجراء العمليات الحسابية باستخدام قاعدة كرامر، ونحصل عليه باستخدام أجزاء من مصفوفة المعاملات ومصفوفة الثوابت. علينا أيضًا ملاحظة أن المطلوب منا هو كتابة المحدد، وليس إيجاد قيمته. إذن يجب أن تكون إجابتنا محددًا من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وليس عددًا. دعونا الآن نسترجع العملية التي نوجد بها Δﺱ أو Δﺹ أو Δﻉ.
يمكننا البدء بكتابة محدد مصفوفة المعاملات، الذي يسمى Δ فقط. إنها هذه المصفوفة المكتوبة بالطرف الأيمن من النظام، لكن تعاد كتابتها باستخدام خطوط رأسية بدلًا من الأقواس. الخطوة التالية هي تسمية الأعمدة باستخدام المجاهيل من اليمين إلى اليسار؛ حيث يتم سرد العناصر من أعلى إلى أسفل. في الحالة لدينا، المجاهيل هي ﺱ وﺹ وﻉ. وأخيرًا، علينا جعل القيم من مصفوفة الثوابت تحل محل العمود ﺱ أو ﺹ أو ﻉ للحصول على Δﺱ أو Δﺹ أو Δﻉ. حسنًا، مصفوفة الثوابت هي المصفوفة الموجودة في الطرف الأيسر من النظام. إضافة إلى ذلك، نحن مهتمون فقط بالمحدد Δﻉ في هذا السؤال، ومن ثم سنستبدل العمود ﻉ.
دعونا نر كيف يمكن تطبيق هذه الخطوات على هذا المثال. في الخطوة الأولى، نكتب Δ، وهو مصفوفة المعاملات الموضحة أعلاه لكنه مكتوب في صورة محدد. بعد ذلك، من اليمين إلى اليسار، نخصص كل عمود من أعمدة المحدد الثلاثة للمتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ بالترتيب نفسه الذي تظهر به في مصفوفة المتغيرات.
وأخيرًا، بما أننا نريد إيجاد Δﻉ، علينا جعل مصفوفة الثوابت تحل محل العمود ﻉ، وهو العمود الثالث. هذا يعني أن علينا جعل العمود واحد، ستة، واحد يحل محل العمود سبعة، واحد، واحد. وتظل بقية العناصر كما هي. وبذلك نحصل على المحدد صفر، سالب ثلاثة، واحد، وصفر، سالب واحد، ستة، وواحد، واحد، واحد. وكما ذكرنا سابقًا، ليس علينا إيجاد قيمة هذا المحدد في هذا السؤال. إذن هذه هي إجابتنا النهائية لـ Δﻉ.
