نسخة الفيديو النصية
أي المعادلات الآتية تربط ربطًا صحيحًا بين الطول الموجي 𝜆 للضوء المنبعث من زوج من الشقوق الضيقة، والمسافة 𝑠 بين الشقين، والمسافة 𝑑 من مركز نمط التداخل الناتج بواسطة الضوء على الشاشة، والمسافة 𝐷 من الشقين إلى هدبة مضيئة في النمط رتبتها 𝑛؟
دعونا نبدأ بتحديد المكان الذي ستظهر فيه هذه المتغيرات على شكل يوضح نمط التداخل الناتج عن زوج من الشقوق الضيقة. يتكون نمط التداخل من موجة الضوء هذه أثناء مرورها أو سقوطها على الشقين الضيقين. والمسافة بين الشقين هي المتغير 𝑠. الطول الموجي لموجة الضوء قبل مرورها من الشقين هو 𝜆، وبعد مرورها من الشقين تنقسم الموجة إلى موجتين. وموجتا الضوء هاتان لهما أيضًا الطول الموجي 𝜆. وبذلك هو لم يتغير. الفرق بين موجتي الضوء هاتين وهما في طريقهما إلى نقطة واحدة هو المسافة التي تقطعها كل منهما.
إحدى موجتي الضوء هاتين تقطع مسافة أطول قليلًا من الأخرى. هذه المسافة تسمى فرق طول المسار. قد تصاب بالملل سريعًا إذا حاولت إيجاد فرق طول المسار لكل نقطة على الشاشة عن طريق القياس اليدوي لكل خط مستقيم محتمل يمر من الشقين. وبدلًا من ذلك، يمكننا إيجاد قيمة فرق طول المسار باستخدام حساب المثلثات. يمثل طولا هذين الخطين المستقيمين مع المسافة الواقعة بين الشقين مثلثًا. يمكننا أن نرسم خطًّا يمتد من طول المسار الأقصر إلى طول المسار الأطول، وهذا سيكون زاوية قياسها 90 درجة. إذن، يتيح لنا ذلك إيجاد هذه الزاوية هنا، التي سنسميها 𝜃. نحن نعلم طول المسافة بين الشقين، 𝑠، وهو هذا الطول هنا.
يمكننا الآن استخدام ما نعرفه عن sin 𝜃. في المثلث القائم الزاوية، sin 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 مقسومًا على طول الوتر. الضلع المقابل هنا هو فرق طول المسار، وهو ما نريد إيجاده، والوتر هو 𝑠. هذا يعني أنه في هذا المثلث، sin 𝜃 يساوي فرق طول المسار مقسومًا على 𝑠. إذا ضربنا الطرفين في 𝑠، فسنحذف 𝑠 مع 𝑠 من طرف المعادلة الأيمن، وهو ما يعني أن المعادلة النهائية هي حاصل ضرب 𝑠 وsin 𝜃 يساوي فرق طول المسار.
يرجع سبب فعل كل ذلك إلى أننا نريد الحصول على الهدب المضيئة في النمط. عندما تمر موجة الضوء هذه من الشقين، تظهر الهدب المضيئة على فواصل منتظمة على الشاشة؛ حيث تتكون بواسطة التداخل البناء بين الموجتين عند مرورهما من الشقين. يحدث التداخل البناء عندما تتحاذى موجتان، وهما في هذه الحالة الموجة الأولى من الخط الأول والموجة الثانية من الخط الثاني، وهذا يعني أن الموجتين تفعلان الشيء نفسه في ذات الوقت. ويمكننا أن نصف ذلك أيضًا بالقول إنهما متفقتان في الطور. عندما تسقط هاتان الموجتان المتفقتان في الطور على نقطة واحدة، فإنهما تتداخلان تداخلًا بناء، ويتكون بذلك موجة ذات سعة أكبر، وهو ما يجعلها أكثر سطوعًا في حالة موجات الضوء.
إذن، لكي تتداخل هاتان الموجتان تداخلًا بناء، وتكونا هذه الهدب المضيئة، يجب أن تكونا متفقتين في الطور. وتبين لنا أن هاتين الموجتين تكونان متفقتين في الطور إذا كان فرق طول المسار بينهما هو 𝜆 أو أي عدد مضاعف صحيح لـ 𝜆، وسنرمز إليه بـ 𝑛. ولكي تكون هناك هدبة مضيئة على نقطة، يجب أن يكون فرق طول المسار يساوي 𝑛𝜆، وهو ما يساوي أيضًا 𝑠 sin 𝜃. بالرجوع إلى نص السؤال، لدينا المتغيرات 𝜆 و𝑠 و𝑛. لكن الآن علينا إيجاد قيمة حرف 𝑑 الصغير، وهي المسافة من مركز نمط التداخل، وقيمة حرف 𝐷 الكبير، وهي المسافة من الشقين إلى الهدبة المضيئة.
والطريقة التي نوجد بها ذلك هي استخدام حيلة رائعة. نفترض أن موجتي الضوء هاتين متوازيتان بالرغم من تطابقهما عند نقطة واحدة. في الواقع، يمكننا فعل ذلك بأمان حقًّا؛ لأن المسافة التي تقطعها موجتا الضوء هاتان كبيرة جدًّا مقارنة بـ 𝜆. إذا افترضنا أن هذين الخطين المستقيمين متوازيان، يمكننا رسم خطين أفقيين من الشقين الضيقين وإيجاد قياس زاويتيهما المرسومتين مع خطي موجتي الضوء الأصليتين. هذه الزاوية متساوية في القياس لكلا الخطين، وهي تساوي 𝜃؛ لأنها الزاوية نفسها. ولأننا نفترض أن هذين الخطين المستقيمين متوازيان، لن نعود بحاجة إلى هذين الخطين المستقيمين، بل نحتاج فقط إلى خط مستقيم واحد قادم من مركز الشقين لنكون زاوية 𝜃 مع خط أفقي ممتد من مركز الشقين.
يمثل هذا الخط المستقيم المسافة من الشقين إلى الهدبة المضيئة في النمط، التي يرمز إليها بحرف 𝐷 الكبير. لدينا أيضًا المسافة التي يرمز إليها بحرف 𝑑 الصغير، وهي المسافة من المركز إلى نمط التداخل. إذن، لدينا مثلث قائم الزاوية بالزاوية 𝜃، والضلع المقابل لها المعلوم، والوتر. علينا أن نتذكر أن sin 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وطول الضلع المقابل هنا هو 𝑑 الصغير وطول الوتر هو 𝐷 الكبير. هذا يعني أن sin 𝜃 يساوي 𝑑 الصغير على 𝐷 الكبير، وهو ما يمكننا التعويض به في هذه المعادلة.
بالنظر إلى الإجابات المتاحة، نجد أن جميعها يحتوي على 𝑠 في أحد طرفي المعادلة، ومن ثم علينا أن نبدأ بفعل الشيء نفسه في الحل. ولكي نتخلص من حرف 𝐷 الكبير في المقام، نضرب الطرفين في 𝐷 الكبير، وبذلك نحذف 𝐷 مع 𝐷 في الطرف الأيسر من المعادلة. فيتبقى 𝑠 وحرف 𝑑 الصغير في الطرف الأيسر. بقسمة الطرفين على حرف 𝑑 الصغير، يمكننا حذفهما من الطرف الأيسر، فنحصل بذلك على هذه المعادلة: 𝑠 يساوي حاصل ضرب 𝑛𝜆 في 𝐷 الكبير مقسومًا على 𝑑 الصغير.
إذن، المعادلة التي تربط ربطًا صحيحًا بين الطول الموجي 𝜆 للضوء، والمسافة 𝑠 بين الشقين، والمسافة 𝑑 من مركز نمط التداخل الناتج بواسطة الضوء على الشاشة، والمسافة 𝐷 من الشقين إلى هدبة مضيئة في النمط رتبتها 𝑛 هي الخيار ج.
