فيديو الدرس: الدالة العكسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد الدالة العكسية عن طريق تغيير المتغير التابع للمعادلة.

لكي نتناول الدالة العكسية، يجب أولًا أن نكون على دراية بالدالة نفسها. وعلينا أن نتذكر أن الدالة، التي يمكن تسميتها د، تربط القيمة المدخلة ﺱ بالقيمة المخرجة د ﺱ. وتعرف باستخدام معادلة توضح كيفية حساب القيمة المخرجة بمعلومية القيمة المدخلة. على سبيل المثال، الدالة د ﺱ تساوي اثنين ﺱ ناقص ثلاثة تضاعف قيمة ﺱ. ثم تطرح منها ثلاثة للحصول على قيمة مخرجة. وإذا عوضنا عن ﺱ بالقيمة أربعة في هذه الدالة، فسنجد أن د لأربعة تساوي اثنين مضروبًا في أربعة ناقص ثلاثة، أي ثمانية ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي خمسة. ومن ثم، فإن القيمة المدخلة أربعة ينتج عنها القيمة المخرجة خمسة.

يمكننا أيضًا تمثيل هذه الدالة بيانيًّا لتوضيح الخطوات المتضمنة في ربط قيمة مدخلة بقيمة مخرجة. وفي هذه الدالة، نضرب أربعة في اثنين لنحصل على ثمانية، ثم نطرح ثلاثة لنحصل على خمسة. وإذا رسمنا التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي د ﺱ، فإننا في هذه الحالة نحصل على خط مستقيم يمثل تحويل جميع المدخلات الممكنة لـ ﺱ إلى مخرجات د ﺱ. ويمكننا بعد ذلك استخدام هذا التمثيل البياني لإيجاد القيمة المخرجة بمعلومية قيمة مدخلة. على سبيل المثال، عند القيمة المدخلة اثنين، سنتحرك لأعلى ابتداء من المحور ﺱ حتى نصل إلى الخط المستقيم. ومن هذه النقطة على الخط المستقيم، سنتحرك أفقيًّا إلى اليسار وصولًا إلى المحور ﺹ، وسنجد أن القيمة المخرجة المناظرة للقيمة المدخلة اثنين تساوي واحدًا.

يمكننا أيضًا استخدام هذا التمثيل البياني لتوضيح ما نعنيه بمجال الدالة ومداها. مجال الدالة هو مجموعة كل القيم المدخلة الممكنة؛ أي ما يناظر جميع القيم على المحور ﺱ التي يمكن أن يشملها التمثيل البياني. وفي هذه الحالة، يكون مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. أما مدى الدالة، فهو مجموعة كل القيم المخرجة، أي جميع قيم ﺹ في التمثيل البياني. وبما أن هذا الخط المستقيم يستمر إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين، فإن مدى هذه الدالة يكون أيضًا مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها.

والآن بعد أن استرجعنا مفهوم الدالة نفسها، دعونا نتناول الدالة العكسية. سنفترض أن لدينا القيمة المخرجة ﺹ، وفي هذه الحالة ﺹ يساوي ثلاثة، ونريد إيجاد القيمة المدخلة المناظرة لها. حسنًا، يمكننا الحصول على هذه القيمة من التمثيل البياني. يمكننا التحرك إلى اليمين من القيمة ﺹ تساوي ثلاثة حتى نصل إلى الخط المستقيم، ثم نتحرك لأسفل وصولًا إلى المحور ﺱ لإيجاد القيمة المدخلة المناظرة لها، والتي تساوي أيضًا ثلاثة. لكن سيكون من الجيد أن نتمكن من إيجاد هذه القيمة دون الحاجة إلى رسم التمثيل البياني. ولفعل ذلك، يمكننا التعويض بهذه القيمة في الدالة باعتبارها قيمة مخرجة، ثم الحل لإيجاد قيمة ﺱ. وعندما نفعل ذلك، نجد أن القيمة المخرجة ثلاثة ترتبط بالفعل بالقيمة المدخلة ثلاثة أيضًا.

لكن إذا أردنا إيجاد القيمة المدخلة للعديد من القيم المخرجة، فسيكون من الأفضل والأكثر فعالية إيجاد معادلة عامة يمكننا استخدامها لفعل ذلك بدلًا من التعويض بكل قيمة وحل المعادلة في كل مرة. ولفعل ذلك، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة العامة ﺹ يساوي دﺱ بحيث يصبح ﺱ المتغير التابع. سنبدأ بالمعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص ثلاثة، حيث يمكننا إضافة ثلاثة إلى كلا الطرفين ما يجعلنا نحصل على ﺹ زائد ثلاثة يساوي اثنين ﺱ، ثم نقسم طرفي المعادلة على اثنين ويصبح لدينا ﺹ زائد ثلاثة على اثنين يساوي ﺱ. وبذلك، نكون قد أعدنا ترتيب المعادلة بحيث يصبح ﺱ المتغير التابع. وكما فعلنا من قبل، إذا عوضنا بالقيمة المخرجة أو قيمة ﺹ التي تساوي ثلاثة، فسنحصل على ﺱ يساوي ثلاثة زائد ثلاثة على اثنين، ما يساوي ستة على اثنين؛ أي ثلاثة.

لكن يمكننا استخدام نفس المعادلة لإيجاد القيمة المدخلة لأي قيمة مخرجة. على سبيل المثال، إذا كان ﺹ يساوي صفرًا، فإن ﺱ يساوي صفرًا زائد ثلاثة على اثنين؛ أي ١٫٥. والعملية التي استعرضناها توضح كيفية إيجاد الدالة العكسية. بطريقة غير منهجية، الدالة العكسية هي دالة تلغي تأثير الدالة الأصلية. فإذا كان حساب قيمة الدالة د عند القيمة المدخلة ﺱ يعطي القيمة المخرجة ﺹ، فإن الدالة العكسية لـ د، التي نشير إليها بـ د مع إضافة سالب واحد بالأعلى، يكون لها القيمة المدخلة ﺹ وتعطينا القيمة المخرجة ﺱ. ومن ثم، نكون قد عدنا إلى حيث بدأنا. يمكننا ملاحظة ذلك في هذا المثال، فإذا كانت لدينا قيمة ﺱ، يمكننا إيجاد قيمة ﺹ، والتي تساوي د ﺱ، باستخدام المعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص ثلاثة. وإذا كانت لدينا قيمة ﺹ، أو دﺱ، يمكننا إيجاد قيمة ﺱ باستخدام المعادلة ﺱ يساوي ﺹ زائد ثلاثة على اثنين.

لكننا نريد كتابة الدالة العكسية على صورة دالة بدلالة ﺱ، وليس على صورة دالة بدلالة ﺹ. وعليه، فإننا نبدل موضعي ﺱ وﺹ، ونعرف الدالة العكسية لـ دﺱ على أنها تساوي ﺹ. إذن، الدالة العكسية لدينا هي معكوس الدالة دﺱ يساوي ﺱ زائد ثلاثة على اثنين. يمكننا أيضًا أن نتناول الرابط بين التمثيلين البيانيين للدالة ودالتها العكسية. عند تبديل موضعي ﺱ وﺹ في الدالة، هذا يعني أن المنحنى قد أصبح مقلوبًا بحيث يكون المحور ﺹ للدالة الأصلية في موضع المحور ﺱ للدالة العكسية والعكس.

التحويل الهندسي الذي يحدث هنا يمثل انعكاسًا حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. ويمكننا ملاحظة ذلك إذا أضفنا الخط المستقيم ﺹ يساوي الدالة العكسية لـ دﺱ إلى الرسم لدينا. وبما أننا بدلنا المحورين ﺱ وﺹ، سيترتب على ذلك أن يصبح مجال الدالة دﺱ هو مدى الدالة العكسية لـ دﺱ. وسيصبح مدى الدالة دﺱ هو مجال دالتها العكسية.

يمكننا صياغة الطريقة العامة المتبعة لإيجاد الدالة العكسية على النحو التالي. سنفترض أولًا أن ﺹ يساوي الدالة دﺱ. وبعد ذلك، نعيد ترتيب المعادلة بحيث يصبح ﺱ المتغير التابع. ثم نبدل بين ﺱ وﺹ، أي بدلًا من أن تكون المعادلة على الصورة ﺱ يساوي دالة ما في ﺹ، فإنها ستصبح على الصورة ﺹ يساوي دالة ما في ﺱ. وأخيرًا، نعرف هذه الدالة الجديدة لـ ﺱ على أنها الدالة العكسية لـ دﺱ. دعونا الآن نتناول بعض الأمثلة التي نوجد فيها الدالة العكسية جبريًّا، بدءًا بدالة خطية.

أوجد الدالة العكسية لـ دﺱ عندما تكون دﺱ تساوي نصف ﺱ زائد ثلاثة.

حسنًا، لدينا الدالة دﺱ، ومطلوب منا إيجاد تعبير لدالتها العكسية. سنبدأ بجعل ﺹ يساوي دﺱ. علينا بعد ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث يصبح ﺱ المتغير التابع. الخطوة الأولى هي طرح ثلاثة من طرفي المعادلة، ما يعطينا ﺹ ناقص ثلاثة يساوي نصف ﺱ. يمكننا بعد ذلك ضرب طرفي المعادلة في اثنين، ما يعطينا اثنين مضروبًا في ﺹ ناقص ثلاثة يساوي ﺱ. وبفك القوسين في الطرف الأيمن بالتوزيع، يصبح لدينا اثنان ﺹ ناقص ستة يساوي ﺱ. ما لدينا الآن هو ﺱ في صورة دالة لـ ﺹ، لكننا نريد كتابة الدالة العكسية في صورة دالة لـ ﺱ. وعليه، فإننا سنبدل موضعي ﺱ وﺹ. ومن ثم، بتبديل موضعي ﺱ وﺹ في المعادلة لدينا، يصبح ﺱ في موضع ﺹ والعكس. وبذلك، يصبح لدينا ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص ستة.

الخطوة الأخيرة هي تعريف هذه الدالة الجديدة لـ ﺱ على أنها الدالة العكسية لـ دﺱ. ولدينا الدالة العكسية لـ دﺱ تساوي اثنين ﺱ ناقص ستة. وهذه هي الدالة التي تربط جميع القيم المخرجة القديمة بالقيم المدخلة الأصلية. ويمكننا ملاحظة ذلك إذا حددنا قيمة مدخلة، على سبيل المثال، أربعة. عند حساب قيمة الدالة دﺱ عند القيمة أربعة، فإننا نحصل على القيمة المخرجة خمسة. وعند تطبيق الدالة العكسية التي أوجدناها باستخدام القيمة المخرجة خمسة، نجد أن الدالة العكسية د لخمسة تساوي اثنين مضروبًا في خمسة ناقص ستة، أي ١٠ ناقص ستة، وهو ما يعطينا القيمة المدخلة الأصلية أربعة.

تجدر الإشارة أيضًا إلى أن خطوتي إعادة ترتيب المعادلة بحيث يصبح ﺱ المتغير التابع، ثم تبديل موضعي ﺱ وﺹ يمكن تطبيقهما بأي ترتيب. وحسبما تفضل، يمكنك تبديل موضعي ﺱ وﺹ في البداية، ثم إعادة ترتيب المعادلة بحيث يصبح ﺹ المتغير التابع. وسنحصل على الإجابة نفسها، وهي أن الدالة العكسية لـ دﺱ تساوي اثنين ﺱ ناقص ستة.

سنتناول الآن مثالًا أكثر تعقيدًا بعض الشيء تكون فيه الدالة التي نحاول إيجاد دالتها العكسية هي دالة جذر تربيعي. كما سنوجد مجال الدالة العكسية هذه.

أوجد الدالة العكسية للدالة دﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد ثلاثة، وأوجد المجال.

لإيجاد الدالة العكسية، سنبدأ بجعل ﺹ يساوي دﺱ. إذن، لدينا ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد ثلاثة. وبعد ذلك، سنعيد ترتيب المعادلة بحيث يصبح ﺱ المتغير التابع. سنبدأ بطرح ثلاثة من طرفي المعادلة، وبذلك نحصل على ﺹ ناقص ثلاثة يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ. وبتربيع طرفي المعادلة أو رفعهما إلى القوة اثنين، نحصل على ﺹ ناقص ثلاثة تربيع يساوي ﺱ. ويمكننا هنا فك القوسين بالتوزيع، إلا أننا لسنا بحاجة لذلك. لدينا الآن ﺱ باعتبارها دالة لـ ﺹ، ولكننا نريد أن تكون الدالة العكسية دالة لـ ﺱ. وعليه، فإننا سنبدل موضعي ﺱ وﺹ ليصبح لدينا ﺱ ناقص ثلاثة تربيع يساوي ﺹ. وأخيرًا، نعرف الدالة العكسية لـ دﺱ على أنها تساوي التعبير الدال على ﺹ. إذن، لدينا الدالة العكسية لـ دﺱ تساوي ﺱ ناقص ثلاثة الكل تربيع.

مطلوب منا أيضًا إيجاد مجال الدالة العكسية لـ د. إننا نعلم أن مجموعة كل القيم المدخلة للدالة العكسية لـ د تساوي نفس مجموعة كل القيم المخرجة للدالة د. أو بعبارة أخرى، مجال الدالة العكسية لـ د هو نفسه مدى الدالة الأصلية د. لذا دعونا نتناول الدالة دﺱ، ونحدد مداها أو مجموعة كل القيم المخرجة لها. نحن نعلم أن دالة الجذر التربيعي تعطينا قيمًا غير سالبة. والقيمة الصغرى التي سنحصل عليها هي صفر إذا كان ﺱ نفسه يساوي صفرًا. ولا يوجد قيد للقيمة العظمى التي يمكن أن نحصل عليها. وإذا أخذنا الجذر التربيعي لعدد موجب كبير جدًّا، فإننا نحصل على عدد موجب كبير آخر.

سنضيف إذن ثلاثة إلى هذه القيمة. وهذا يعني أن القيمة الصغرى لـ دﺱ ستكون صفرًا زائد ثلاثة؛ أي ثلاثة. وكما أوضحنا سابقًا، لا توجد قيمة عظمى محددة. وعليه، فإن مدى الدالة دﺱ يساوي جميع القيم الأكبر من أو تساوي ثلاثة. إذن، مجموعة القيم هذه نفسها تساوي مجال الدالة العكسية لـ د. ولكن بما أن هذه القيم هي القيم المدخلة للدالة العكسية لـ د؛ فهي أيضًا قيم لـ ﺱ. يمكننا إذن قول إن مجال الدالة العكسية لـ دﺱ هو ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. وبذلك، نكون قد أكملنا حل المسألة. الدالة العكسية لـ دﺱ تساوي ﺱ ناقص ثلاثة تربيع، والمجال هو ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة.

لقد تناولنا حتى الآن مثالين حول كيفية إيجاد الدالة العكسية لإحدى الدوال جبريًّا. لكن ليس من الممكن دائمًا إيجاد الدالة العكسية على مجالها بالكامل. دعونا نتناول الدالة دﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد ثلاثة. التمثيل البياني للدالة ﺹ تساوي دﺱ سيكون هكذا. إنه يمثل قطعًا مكافئًا موجبًا يقطع المحور ﺹ عند ثلاثة. وإذا كانت لدينا قيمة مدخلة، أي ﺱ، يمكننا إيجاد قيمة مخرجة، أي ﺹ، بالتحرك لأعلى في التمثيل البياني ثم التحرك أفقيًّا لليسار وصولًا إلى المحور ﺹ. لكن ماذا إذا أردنا إيجاد قيمة من الاتجاه الآخر؟

سنفترض أن لدينا القيمة المخرجة خمسة، ونريد إيجاد القيمة المدخلة التي ترتبط بها. إذا تحركنا من قيمة ﺹ التي تساوي خمسة على التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن هناك نقطتين عندهما الإحداثي ﺹ يساوي خمسة. هذا يعني أن هناك قيمتين مدخلتين، إحداهما موجبة والأخرى سالبة، ترتبطان بهذه القيمة المخرجة. وهذا يعني أن الدالة العكسية غير معرفة تمامًا. فإذا كانت لدينا قيمة مخرجة تساوي خمسة، فكيف لنا أن نعلم إذا ما كان ذلك ناتجًا عن القيمة المدخلة واحد أم سالب واحد؟

هذا يقودنا إلى شرط مهم لوجود الدالة العكسية. وهو أن الدالة العكسية لا يمكن أن تكون موجودة على مجال الدالة الأصلية بالكامل إلا إذا كانت هذه الدالة أحادية. هذا يعني أن كل قيمة مدخلة في الدالة تعطي قيمة مخرجة وحيدة؛ فعندما نتبع الطريقة العكسية ونستخدم الدالة العكسية، نجد أن كل قيمة مدخلة في هذه الدالة تعطينا أيضًا قيمة مخرجة وحيدة. وإذا لم تكن الدالة أحادية على مجالها بالكامل، يمكننا تقييد المجال على مجموعة من القيم تكون فيها الدالة أحادية وإيجاد الدالة العكسية لهذا المجال المقيد فقط. على سبيل المثال، في هذه الدالة التربيعية، يمكن تقييد المجال على قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي صفرًا فقط. أو بالطبع، يمكننا استخدام قيم ﺱ الأقل من أو تساوي صفرًا. وعليه، ستكون الدالة أحادية على هذا المجال المقيد فقط، ومن ثم سيكون من الممكن إيجاد دالتها العكسية.

دعونا الآن نتناول مثالًا يوضح إذا ما كانت الدالة قابلة للعكس على مجالها بالكامل.

أي من الدوال الآتية ليس لها معكوس على مجالها بالكامل؟ (أ) دﺱ تساوي اثنين ﺱ. (ب) دﺱ تساوي اثنين أس ﺱ. (ج) دﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. أم (د) دﺱ تساوي ﺱ تربيع.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا التفكير في الشروط التي لابد من توفرها ليكون للدالة معكوس. لا يكون للدالة معكوس على مجالها بالكامل إلا إذا كانت دالة أحادية. هذا يعني أن كل قيمة مدخلة في الدالة تعطي قيمة مخرجة وحيدة، فعندما نتبع الطريقة العكسية ونستخدم الدالة العكسية، فإن كل قيمة مدخلة في هذه الدالة تعطينا أيضًا قيمة مخرجة وحيدة. يمكننا معرفة أي من هذه الدوال ليست أحادية عن طريق رسم التمثيل البياني لكل دالة. بالنسبة إلى الخيار (أ)، التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي دﺱ أو ﺹ يساوي اثنين ﺱ هو تمثيل بياني لخط مستقيم يمر بنقطة الأصل. ومن الواضح أن هذا التمثيل البياني يمثل دالة أحادية على مجالها بالكامل. فكل قيمة مدخلة لها قيمة مخرجة وحيدة. وعند استخدام الطريقة العكسية، ينطبق ذلك أيضًا.

لكن بصفة عامة، يمكننا تحديد إذا ما كانت الدالة أحادية عن طريق رسم خطوط أفقية ورأسية على تمثيلها البياني. إذا كان كل خط أفقي وكل خط رأسي يتقاطع مع التمثيل البياني مرة واحدة بحد أقصى، فإن هذه الدالة تكون أحادية. التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي اثنين أس ﺱ هو تمثيل بياني أسي يمر بالنقطة صفر، واحد بخط تقارب أفقي هو المحور ﺱ. وهذه أيضًا دالة أحادية على مجالها بالكامل، وذلك لأن كل خط مستقيم رأسي يتقاطع مع التمثيل البياني مرة واحدة وكل خط أفقي يتقاطع مع التمثيل البياني مرة واحدة بحد أقصى.

وفي التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ، هناك جزآن؛ أحدهما في الربع الأول، حيث ﺱ وﺹ كلاهما موجب، والآخر في الربع الثالث، حيث ﺱ وﺹ كلاهما سالب. يمكننا ملاحظة أن الدالة أحادية على مجالها بالكامل. وعليه، لا يتبقى لدينا سوى الخيار (د). التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ تربيع هو قطع مكافئ موجب تقع القيمة الصغرى له عند نقطة الأصل. يمكننا ملاحظة أنه إذا رسمنا خطوطًا أفقية على التمثيل البياني، فستتقاطع بعض هذه الخطوط مع التمثيل البياني في أكثر من موضع. وهذا يعني أنه لقيم مخرجة معينة، هناك قيمتان مدخلتان محتملتان لكل قيمة، ومن ثم فإن الدالة دﺱ ليست أحادية. هذا يعني أنه لا يمكننا إيجاد معكوس الدالة دﺱ على مجالها بالكامل؛ لأننا لا نعلم أي من القيم المدخلة يجب ربطها بأي من القيم المخرجة عن طريق معكوس الدالة. إذن، إجابتنا هي أن الدالة التي ليس لها معكوس على مجالها بالكامل هي دﺱ تساوي ﺱ تربيع.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يمكننا بطريقة غير منهجية تعريف الدالة العكسية على أنها دالة تلغي تأثير الدالة الأصلية. وبطريقة أكثر منهجية، إذا كانت قيمة ﺱ تقع في مجال الدالة د وكانت دﺱ تساوي ﺹ، فإن الدالة العكسية د ﺹ تساوي ﺱ. القيم الواقعة في مجال الدالة دﺱ تكون مدى الدالة العكسية لـ دﺱ، والعكس كذلك. القيم الواقعة في مدى الدالة دﺱ تكون مجال الدالة العكسية لـ دﺱ. ولاحظنا أن الدالة العكسية توجد فقط إذا كانت الدالة أحادية؛ حيث ترتبط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة وحيدة. وعند استخدام الطريقة العكسية، فإن الدالة العكسية تربط كل قيمة مخرجة بقيمة مدخلة وحيدة.

وعرفنا أيضًا أنه لإيجاد الدالة العكسية لـ ﺹ تساوي دﺱ، علينا إعادة ترتيب المعادلة بحيث يصبح ﺱ المتغير التابع. ثم نبدل موضعي ﺱ وﺹ. ويمكن إجراء هاتين الخطوتين بأي ترتيب. إذ يمكننا أيضًا تبديل موضعي ﺱ وﺹ أولًا ثم إعادة ترتيب الصيغة بحيث يصبح ﺹ المتغير التابع الجديد. وأخيرًا، لاحظنا أيضًا أنه نتيجة لهذا التبديل بين موضعي ﺱ وﺹ، التمثيلان البيانيان للدالة ومعكوسها يكون أحدهما انعكاسًا للآخر حول الخط المستقيم ﺹ يساوي ﺱ.