نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺃ وﺏ حدثان في فضاء عينة تتكون من نواتج متساوية الاحتمال. إذا كان عدد النواتج في ﺃ يساوي ثلاثة، وعدد النواتج في ﺏ يساوي ١١، وعدد النواتج المشتركة بين الحدثين ﺃ وﺏ يساوي اثنين، واحتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ثلاثة أثمان، فأوجد احتمال ﺃ شرطة اتحاد ﺏ.
سنبدأ بتذكر بعض الترميزات المستخدمة في هذا السؤال. ﺃ شرطة، الذي يكتب أحيانًا ﺃ شرطة، يشير إلى الحدث المكمل للحدث ﺃ. وهذا يمثل مجموعة النواتج التي لا تنتمي إلى الحدث ﺃ. واتحاد الحدثين ﺃ وﺏ يشير إلى مجموعة النواتج التي تنتمي إلى الحدث ﺃ أو الحدث ﺏ أو كليهما. تتمثل إحدى طرق الإجابة عن هذا النوع من الأسئلة في البدء برسم شكل فن.
في هذا السؤال، علمنا أن هناك حدثين ﺃ وﺏ. وعلمنا أن عدد النواتج في الحدث ﺃ يساوي ثلاثة، وعدد النواتج في الحدث ﺏ يساوي ١١، وعدد النواتج المشتركة بينهما يساوي اثنين. تتمثل النواتج المشتركة بين الحدثين في تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ. وفي شكل فن أمامنا، يتمثل هذا التقاطع في التداخل بين الدائرتين.
بما أن عدد النواتج في الحدث ﺃ يساوي ثلاثة، ونحن نعلم أن اثنين من هذه النواتج مشتركان بين الحدثين ﺃ وﺏ، يمكننا إذن حساب عدد النواتج في الحدث ﺃ فقط عن طريق طرح اثنين من ثلاثة. هذا يساوي واحدًا. وبالطريقة نفسها، بما أن ١١ ناقص اثنين يساوي تسعة، فإن عدد النواتج في الحدث ﺏ فقط هو تسعة.
يخبرنا السؤال أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ثلاثة أثمان. ووفقًا لشكل فن، نلاحظ أن هذا يمثل ١٢ ناتجًا. بالتفكير في الكسور المتكافئة وضرب كل من البسط والمقام في أربعة، نجد أن ثلاثة على ثمانية يساوي ١٢ على ٣٢. يمكننا إيجاد احتمال وقوع أي حدث من خلال قسمة عدد النواتج الناجحة على إجمالي عدد النواتج الممكنة. بما أن البسط يساوي ١٢ وعدد نواتج اتحاد الحدثين ﺃ وﺏ يساوي ١٢ أيضًا، فإننا نعلم بذلك أن إجمالي عدد النواتج هو ٣٢ ناتجًا. بطرح ١٢ من ٣٢، نحصل على ٢٠. يمكننا إضافة هذه القيمة إلى شكل فن. إذن هناك ٢٠ ناتجًا لا ينتمي إلى الحدث ﺃ أو الحدث ﺏ.
إننا نريد إيجاد احتمال وقوع الحدث المكمل للحدث ﺃ اتحاد الحدث ﺏ. الحدث المكمل للحدث ﺃ يحتوي على ٢٩ ناتجًا. وعليه فإن احتمال وقوع هذا الحدث يساوي ٢٩ على ٣٢. نحن نريد إيجاد احتمال وقوع هذا الحدث المكمل اتحاد الحدث ﺏ مع ملاحظة أن احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي ١١ على ٣٢. وبما أن هناك تسعة نواتج مشتركة بين كلا هذين الحدثين، فإنه ليس علينا عدها مرتين. ومن ثم فإن عدد نواتج اتحاد هذين الحدثين هو ٢٠ زائد تسعة زائد اثنين، وهو ما يساوي ٣١. إذن، احتمال وقوع الحدث المكمل للحدث ﺃ اتحاد الحدث ﺏ يساوي ٣١ على ٣٢.
هناك طريقة بديلة للإجابة عن هذا السؤال تتمثل في استخدام قاعدة الجمع للاحتمالات. تنص هذه القاعدة على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. يمكننا تعديل هذه القاعدة لتناسب السؤال لدينا بحيث يكون احتمال ﺃ شرطة اتحاد ﺏ مساويًا لاحتمال ﺃ شرطة زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ شرطة تقاطع ﺏ.
لقد أوجدنا بالفعل قيمتي أول احتمالين في الطرف الأيسر من هذه المعادلة. وكما ذكرنا من قبل، فإن عدد نواتج تقاطع هذين الحدثين هو تسعة. إذن، احتمال وقوع الحدث المكمل للحدث ﺃ اتحاد الحدث ﺏ يساوي ٢٩ على ٣٢ زائد ١١ على ٣٢ ناقص تسعة على ٣٢. وبما أن المقامات متساوية، يمكننا ببساطة جمع أول بسطين ثم طرح البسط الثالث منهما، وهو ما يعطينا مرة أخرى الناتج ٣١ على ٣٢.
