فيديو: تقدير النهايات للدوال من جهة واحدة ومن جهتين بيانيًّا

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو تقدير نهايات الدوال من جهة واحدة (اليسار أو اليمين) أو من جهتين (عند نقطةٍ ما) بيانيًّا.

٠٩:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو هنتكلّم على تقدير النهايات للدوال من جهة واحدة، ومن جهتين، بيانيًّا. هنشوف إزّاي هنقدّر النهايات للدوال من جهة واحدة، أو من جهتين. عند تقدير النهاية للدالة باستخدام التمثيل البياني، أو جدول القيم، فإننا نبحث عن قيمة للدالة د س، عندما تقترب س من ك. يعني لو عندنا دالة بالشكل ده. هنا س تساوي ك. بيبقى لها قيمة مقابلة لها، اللي هي قيمة الدالة س عند النقطة ك. اللي هي مثلًا بنقول عليها ل. القيمة دي بنسميها ل. بنقدّر النهاية للدالة، بإن إحنا بنشوف سلوك الدالة لمّا بتيجي تقرّب للنقطة ك، بيبقى شكله إيه. هيأثّر هنا في دالة س، هيبقى شكله عامل إزّاي.

طيب لمّا بنيجي نقرّب من الـ ك من ناحية اليمين، أو نقرّب لِلـ ك من ناحية اليسار. ده بيبقى اسمه سلوك الدالة عن يمين عدد وعن يساره. وبنسميها النهاية من جهة واحدة. عايزين نشوف لمّا هنقرّب للـ ك من ناحية اليمين، أو من ناحية اليسار، إيه اللي هيحصل لِـ د س. هنسميها النهاية من اليمين: إذا اقتربت قيم دالة س من قيمة وحيدة ل واحد، عند اقتراب قيم س من العدد ك من اليمين. يعني العدد ك ده هنيجي من ناحية اليمين، هيِدّي لنا قيمة هنا لِـ س، اللي هي ل واحد. يبقى دي النهاية من ناحية اليمين، وهنرمز لها ك بالقيمة الموجبة كده. ونقول نهاية الـ د س، لمّا الـ س تقترب من الـ ك مِ الناحية اليمين. وهي النهاية بتاعتها هتبقى قيمتها ل واحد.

طيب إذا اقتربت قيم د س من قيمة وحيدة ل اتنين. عند اقتراب قيم س من العدد ك، بس من اليسار. فإن نهاية الدالة س، لمّا الـ س بتروح للـ ك من اليسار … هنعملها كده بالـ ك، وعليها شرطة علامة سالبة كده. يبقى نهاية د س، عندما تقترب س من ك من اليسار، هي ل اتنين. بنستخدم التعريفين دول، اللي هم النهاية من اليمين والنهاية من اليسار، علشان نقول إن النهاية من الجهتين موجودة.

نقلب الصفحة، ونشوف هنجمّع التعريف ده إزّاي في جملة واحدة؛ اللي هي النهاية عند نقطة. تكون النهاية للدالة د س موجودة، عندما تقترب س من ك. إذا — وإذا فقط — كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين، ومتساويتين. يعني القيمة للنهاية من اليمين، بتساوي قيمة النهاية من اليسار.

أيْ أن نهاية د س لمّا الـ س بتئول للـ ك مِ الناحية اليمين، تساوي نهاية د س لمّا الـ س بتئول للـ ك من الناحية اليسار. الاتنين قيمتهم واحدة، اللي هي ل. ما عادش بقى فيه ل واحد، وَ ل اتنين. هتبقى قيمة واحدة، اللي هي ل. إذا — وفقط إذا — كانت نهاية د س، س لمّا بتئول للـ ك تساوي ل. يبقى النهاية تبقى موجودة، لمّا النهايتين يبقوا موجودين ومتساويتين. وبالتالي بنقول إن نهاية الـ د س، لمّا الـ س بتئول للـ ك، بتساوي ل.

معنى الكلام ده، إن لو عندنا دي، هتوصّلنا لِدِي. اللي هي نهاية د س تساوي قيمة ل، لمّا الـ س بتئول للـ ك؛ يبقى معناها إن فيه نهاية يمين، وفيه نهاية شمال. أو لو عندنا نهاية يمين ونهاية شمال بيساووا قيمة ل، يبقى نهاية الدلة كلها عند النقطة ك، هي تساوي ل. معنى كده إذا كانت النهايتان من اليسار ومن اليمين غير متساويتين، يبقى النهاية غير موجودة.

نقلب الصفحة، وناخد مثال. قدّر إن أمكن كلًّا من النهايات الآتية، باستخدام التمثيل البياني للدالة. نهاية القيمة المطلقة اتنين س على س، لمّا الـ س بتئول للصفر من ناحية اليسار. وعايزين كمان نهاية القيمة المطلقة لاتنين س على س، لمّا الـ س تئول للصفر من ناحية اليمين. ونهاية الدالة القيمة المطلقة اتنين س على س، لمّا الـ س بتئول للصفر.

هنرسم الدالة القيمة المطلقة لاتنين س على س. هتبقى بالشكل ده. يمين محور الصادات واخِذ القيمة اتنين. وشمال محور الصادات واخد القيمة سالب اتنين. وعند النقطة صفر وصفر، الدالة مش معرّفة؛ علشان كده عاملين دايرة مفرَّغة. ليه؟ لأن المقام لا يمكن أن يساوي صفر. يعني الـ س لا تساوي صفر.

التمثيل البياني للدالة د س يساوي القيمة المطلقة لاتنين س على س … يوضّح أن نهاية الدالة س، لمّا الـ س بتئول للصفر من ناحية اليسار، قيمتها سالب اتنين. ونهاية الدالة س، لمّا الـ س تئول للصفر من ناحية اليمين، قيمتها اتنين. معنى كده إن الدالة من اليسار، مختلفة عن من اليمين. يبقى معنى كده إن النهايتين ما بيساووش بعض. يبقى ما فيش نهاية. يبقى النهاية غير موجودة.

يبقى نقول: إذا كانت النهايتين غير متساويتين … فإن نهاية الدالة القيمة المطلقة لاتنين س على س، لمّا الـ س بتئول للصفر، غير موجودة.

نقلب الصفحة، وناخذ مثال كمان. ر س تساوي أربعة، لمّا الـ س لا تساوي سالب تلاتة. وبتساوي سالب اتنين، لمّا الـ س بتساوي سالب تلاتة. اوجد نهاية الدالة ر س، لمّا الـ س بتئول للسالب تلاتة من ناحية اليسار. ونهاية الدالة ر س، لمّا الـ س بتئول للسالب تلاتة من ناحية اليمين. ونهاية الدالة ر س، لمّا الـ س بتئول لسالب تلاتة.

هنرسم الدالة دي. زيّ ما إحنا شايفين، الدالة بتاخد قيمة ثابتة، لمّا الـ س لا تساوي سالب تلاتة، اللي هي القيمة أربعة. يعني ده ص يساوي أربعة. وبتختلف قيمتها عند النقطة سالب تلاتة، بتبقى قميتها سالب اتنين. علشان كده خلّينا فيه دايرة مفرَّغة. لمّا الـ ص تساوي الأربعة، حطّينا دايرة مفرَّغة عند النقطة س تساوي سالب تلاتة.

التمثيل البياني للدالة ر س بيوضّح لنا … إن الدالة لمّا هتيجي تقترب للنقطة س تساوي سالب تلاتة من اليمين ومن اليسار، هتبقى قيمتهم أربعة. يعني نهاية الدالة ر س، لمّا الـ س بتئول للسالب تلاتة من اليسار، هتساوي أربعة. ونهاية الدالة ر س، لمّا الـ س بتئول للسالب تلاتة من اليمين، هتبقى أربعة. يبقى القيمتين متساويتين. يبقى النهايتين للسالب تلاتة، من اليمين ومن اليسار، متساوية. ده معناه إن النهاية عند النقطة سالب تلاتة تساوي أربعة. يبقى نهاية الدالة ر س، لمّا الـ س بتئول للنقطة سالب تلاتة، موجودة وتساوي أربعة.

وناخد بالنا إن اختلاف قيمة الدالة عند النقطة س تساوي سالب تلاتة، ما أثّرش معانا في وجود النهاية. حيث أن قيمة الدالة مالهاش علاقة بقيمة النهاية. النهاية هي القيمة اللي الدالة بتساويها، لمّا نقرّب للنقطة. لكن مش معناها إنها قيمة الدالة عند النقطة. نهاية الدالة عند ك، تعني قيمة الدالة عندما تقترب س من ذلك العدد. وليس معناها قيمة الدالة عند ذلك العدد.

يبقى في الفيديو ده اتكلمنا على تقدير النهايات للدوال من جهة واحدة، ومن جهتين، بيانيًّا. عرفنا يعني إيه النهاية من اليمين. ويعني إيه النهاية من اليسار. ويعني إيه النهاية عند نقطة، لمّا تكون النهاية من اليمين بتساوي النهاية من اليسار. ولو وُجد نهاية عند نقطة، يبقى معناها إن فيه نهاية من اليمين، ونهاية من اليسار. وعرفنا إيه معنى إن النهاية تبقى غير موجودة. لمّا يكون القيمتين للنهايتين اللي عَ اليمين واللي على اليسار، مش متساويتين. وقتها بنقول إن النهاية غير موجودة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.