نسخة الفيديو النصية
إذا كان المتجه ﻝﻡ يساوي خمسة، خمسة جذر ثلاثة، فإن الصورة القطبية للمتجه ﻝﻡ هي فراغ. (أ)١٠، 𝜋؛ أو (ب)١٠، 𝜋 على اثنين؛ أو (ج)١٠، 𝜋 على ثلاثة؛ أو (د)١٠، 𝜋 على ستة.
في هذا السؤال، لدينا المتجه ﻝﻡ على الصورة الكارتيزية، ومطلوب منا التعبير عنه على الصورة القطبية. نبدأ بتذكر أن أي متجه ﻥ مكتوب على الصورة الكارتيزية أو على الصورة الإحداثية ﺱ، ﺹ يمكن التعبير عنه أيضًا على الصورة القطبية ﻝ، 𝜃، حيث ﻝ هو معيار المتجه أو طوله، و𝜃 هي الزاوية التي يصنعها المتجه مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. يمكننا التحويل من صورة إلى أخرى باستخدام حقيقة أن ﺱ يساوي ﻝ جتا 𝜃 وﺹ يساوي ﻝ جا 𝜃. يمكننا أيضًا تمثيل ذلك بيانيًّا برسم المتجه على المستوى الإحداثي.
في هذا السؤال، المتجه ﻝﻡ يساوي خمسة، خمسة جذر ثلاثة. يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية لمساعدتنا في حساب قيمتي ﻝ و𝜃 كما هو موضح. باستخدام نظرية فيثاغورس، نحصل على ﻝ تربيع يساوي خمسة تربيع زائد خمسة جذر ثلاثة تربيع. يبسط الطرف الأيسر إلى ٢٥ زائد ٧٥. وهذا يعني أن ﻝ تربيع يساوي ١٠٠. وبأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٠٠. وبما أن معيار المتجه أو طوله يجب أن يكون موجبًا، فإن ﻝ يساوي ١٠.
بتذكر نسبة الظل في المثلثات القائمة الزاوية، لدينا ظا 𝜃 يساوي خمسة جذر ثلاثة على خمسة. كل من البسط والمقام يقبل القسمة على خمسة. إذن، ظا 𝜃 يساوي جذر ثلاثة. نتذكر من الزوايا الخاصة أن ظا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة. وبما أن ١٨٠ درجة يساوي 𝜋 راديان، فإن ظا 𝜋 على ثلاثة راديان لا بد أيضًا أن يساوي جذر ثلاثة. وهذا يعطينا قيمة 𝜃 تساوي 𝜋 على ثلاثة.
هناك طريقة بديلة، وهي أخذ الدالة العكسية للظل لطرفي المعادلة. وبالتأكد من أننا في وضع الراديان، نجد أن الدالة العكسية لـ ظا جذر ثلاثة تعطينا 𝜋 على ثلاثة راديان. لدينا الآن الصورة القطبية للمتجه ﻝﻡ. وهي ١٠، 𝜋 على ثلاثة. ومن بين الخيارات الأربعة المعطاة، نجد أن هذه الإجابة توافق الخيار (ج).
لو استخدمنا حقيقة أن ﺱ يساوي ﻝ جتا 𝜃 وﺹ يساوي ﻝ جا 𝜃، فسنبدأ بالتعويض بخمسة عن ﺱ وخمسة جذر ثلاثة عن ﺹ. وسيكون لدينا بعد ذلك معادلتان آنيتان يمكننا حلهما مرة أخرى لحساب قيمتي ﻝ و𝜃. ومع أن هذه طريقة صحيحة تمامًا، فإنها تستغرق وقتًا أطول في هذه الحالة.
