فيديو: استخدام معادلة دائرة ومعادلة خط مستقيم لتحديد العلاقة بينهما

لدينا الدائرة ‪(𝑥 − 5)² + (𝑦 + 2)² = 25‬‏. هل الخط المستقيم ‪𝑦 − 3 = 0‬‏ مماس للدائرة أم قاطع لها أم منفصل عنها؟

٠٤:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

لدينا الدائرة 𝑥 ناقص خمسة الكل تربيع زائد 𝑦 زائد اثنين الكل تربيع يساوي 25. هل الخط المستقيم 𝑦 ناقص ثلاثة يساوي صفرًا مماس للدائرة أم قاطع لها أم منفصل عنها؟

لدينا معادلة الدائرة ومعادلة الخط المستقيم، ولدينا ثلاثة احتمالات للعلاقة بين الخط المستقيم والدائرة. سننظر في تلك الاحتمالات الثلاثة بتمعن أكثر بعد قليل، ولكن أولًا دعونا نتناول معادلة هذا الخط المستقيم.

الخط 𝑦 ناقص ثلاثة يساوي صفرًا مكافئ للخط 𝑦 يساوي ثلاثة، ويمكنك التحقق من ذلك بإضافة ثلاثة إلى كلا طرفي المعادلة. وبما أن هذا الخط معادلته هي 𝑦 يساوي ثابتًا، فإنه في الواقع خط أفقي. والآن، لنفكر في الاحتمالات الثلاثة: مماس للدائرة أم قاطع لها أم منفصل عنها.

لنفترض أن هذه هي الدائرة التي لدينا في السؤال. الاحتمال الأول هو: أن يكون هذا الخط الأفقي، الممثل بالمعادلة 𝑦 يساوي ثلاثة، أعلى الدائرة بالكامل أو أسفلها بالكامل، ومن ثم يكون منفصلًا عنها. الاحتمال الثاني: أن يكون هذا الخط مارًا عبر الدائرة، ومن ثم تكون هناك نقطتا تقاطع بين الدائرة والخط المستقيم. الاحتمال الثالث والأخير: ألا يكون الخط مارًا داخل الدائرة، وإنما يمس فقط محيطها عند نقطة واحدة، ومن ثم يكون مماسًا للدائرة.

إذن هذا هو التفسير العملي للاحتمالات الثلاثة التي يقدمها السؤال. لنر الآن كيف سنتمكن من تحديد أي من هذه الاحتمالات يمثل الحالة التي لدينا. حسنًا، جميعها مرتبط بعدد نقاط التقاطع بين الخط والدائرة أو، بعبارة أخرى، مرتبط بعدد حلول معادلتي الخط والدائرة عندما نحلهما آنيًا. إذا لم يكن هناك حل للمعادلتين الآنيتين، فالخط والدائرة منفصلان، وإذا كان هناك حل واحد، فالخط مماس للدائرة، وإذا كان هناك حلان مختلفان، فالخط قاطع للدائرة.

إذن بحل المعادلتين الآنيتين، سنتمكن من معرفة أي من هذه الاحتمالات الثلاثة صحيح. فلنحل هاتين المعادلتين الآنيتين. وسنستخدم النسخة المعاد ترتيبها لمعادلة الخط المستقيم: 𝑦 يساوي ثلاثة. أكثر الطرق مباشرة لحل هاتين المعادلتين الآنيتين هي التعويض بقيمة معادلة الخط المستقيم في معادلة الدائرة.

إذن سنعوض بثلاثة عن 𝑦. فيصبح لدينا 𝑥 ناقص خمسة الكل تربيع زائد ثلاثة زائد اثنين الكل تربيع يساوي 25. حسنًا، ثلاثة زائد اثنين يساوي خمسة، وخمسة تربيع يساوي 25. فلدينا 25 في كلا طرفي المعادلة، وهو ما يجعلنا نحذفه من الطرفين مباشرة. يتبقى لدينا بعد ذلك 𝑥 ناقص خمسة الكل تربيع يساوي صفرًا. ثم علينا إيجاد الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة. إذن لدينا 𝑥 ناقص خمسة يساوي صفرًا.

وأخيرًا، لحل هذه المعادلة وإيجاد قيمة 𝑥، علينا إضافة خمسة إلى كلا الطرفين. فنتوصل إلى أن 𝑥 يساوي خمسة. تذكر أن معادلة الخط المستقيم كانت 𝑦 يساوي ثلاثة، ومن ثم فهذه هي قيمة 𝑦. وبالتالي أصبح لدينا زوج واحد من القيم لـ 𝑥 و𝑦. حيث 𝑥 يساوي خمسة و𝑦 يساوي ثلاثة.

هذا يعني أن لدينا حلًا واحدًا للمعادلتين الآنيتين. ويعني أيضًا أن الخط المستقيم والدائرة يتقاطعان عند نقطة واحدة فقط، وهي نقطة إحداثياتها خمسة، ثلاثة. إذن فالإجابة عن أي الاحتمالات الثلاثة صحيح هي أن الخط المستقيم مماس للدائرة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.