فيديو: إيجاد نهاية دالة كسرية عند نقطة

أوجد ‪lim_(𝑥 → 4) (3𝑥² − 18𝑥 + 24)/(𝑥² − 16)‬‏.

٠٨:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية ثلاثة 𝑥 تربيع ناقص 18𝑥 زائد 24 الكل على 𝑥 تربيع ناقص 16 عند اقتراب 𝑥 من أربعة.

هذه دالة كسرية. ونعلم أننا نستطيع حساب نهاية دالة كسرية عند اقتراب 𝑥 من قيمة معينة في مجالها بالتعويض المباشر فحسب. يمكننا صياغة هذه الحقيقة بأسلوب أقرب إلى القواعد الرياضية. ملحوظة هامشية: إذا كانت نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عند اقتراب 𝑥 من 𝑐 تساوي الدالة 𝑓 في المتغير 𝑐، فإننا نقول: إن الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 متصلة عند 𝑐. وبهذه الطريقة، يمكن إعادة صياغة العبارة بأكملها على النحو التالي: الدالة الكسرية متصلة على مجالها.

على أي حال، كيف تساعدنا هذه العبارة فيما يتعلق بالنهاية التي نريد إيجاد قيمتها؟ الدالة التي لدينا دالة كسرية. إذا كان العدد أربعة موجودًا في مجال هذه الدالة، فإنه من أجل إيجاد النهاية، نستطيع التعويض مباشرة بأربعة في الدالة.

حسنًا، رائع! إذن كيف نعلم ما إذا كان العدد أربعة في المجال؟ حسنًا، نحاول إيجاد قيمة 𝑓 لأربعة ونرى ما إذا كان ثمة خلل ما سيحدث؟ إذا كان العدد أربعة موجودًا في المجال، فإن 𝑓 لأربعة ستكون معرفة، وستكون قيمتها هي قيمة النهايات التي نبحث عنها. إذا كان العدد أربعة غير موجود في المجال، فسنجد أن 𝑓 لأربعة غير معرفة، وسنحتاج لاستخدام طريقة مختلفة لإيجاد قيمة النهاية.

سنعوض بأربعة عن 𝑥 في القاعدة الجبرية للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥. وبالتبسيط، نحصل على الصيغة غير المعينة صفر على صفر. إذن 𝑓 لأربعة غير معرفة، والعدد أربعة غير موجود في مجال الدالة 𝑓. حسنًا، ماذا سنفعل الآن؟ يبدو أن التعويض المباشر لم يفلح. حصلنا على القيمة صفر على صفر حين حاولنا إيجاد 𝑓 لأربعة؛ لأن قيمة كل من كثيرتي الحدود في البسط والمقام للدالة صارت صفرًا عند 𝑥 يساوي أربعة. لعلكم تتذكرون أن نظرية العوامل الخطية تشير إلى أن كلتيهما تشتملان على العامل 𝑥 ناقص أربعة.

إذن هيا نحاول تحليل كثيرتي الحدود في البسط والمقام للدالة الكسرية التي لدينا. يمكننا تمييز المقام 𝑥 تربيع ناقص 16 على أساس أنه الفرق بين مربعين. ونرى العامل 𝑥 ناقص أربعة الذي توقعناه من معرفتنا بنظرية العوامل الخطية.

فماذا عن البسط؟ حسنًا، حيث إنه عند إيجاد قيمة البسط عند 𝑥 يساوي أربعة نحصل على صفر، نعلم أنه يشتمل على العامل 𝑥 ناقص أربعة. السؤال هو: ما هو العامل الآخر؟ حسنًا، لكي يكون لدينا ثلاثة 𝑥 تربيع هنا، لا بد أن يساوي حد 𝑥 في العامل الآخر ثلاثة 𝑥. وحتى يكون لدينا حد ثابت من 24 هنا، لا بد أن تكون قيمة 𝑏 هي 24 على سالب أربعة، وهو ما يساوي سالب ستة.

بالطبع، ثمة طرق أخرى كان من الممكن أن نستخدمها حتى نحلل هذا البسط، منها على سبيل المثال، أخذ العامل المشترك ثلاثة من المعاملات. لكننا سنحصل على الحل نفسه في النهاية. نرى أن لدينا العامل المشترك 𝑥 ناقص أربعة هنا. نود حذف العامل المشترك 𝑥 ناقص أربعة.

بالطبع، هذا يغير مجال الدالة. هاتان الدالتان متساويتان. أي تعطيان المخرج نفسه لمدخل معطى بعيدًا عن 𝑥 يساوي أربعة التي عندها تكون الدالة ثلاثة 𝑥 تربيع ناقص 18 زائد 24 الكل على 𝑥 تربيع ناقص 16 غير معرفة.

بعبارة أخرى، إذا جعلنا الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 يساوي ثلاثة 𝑥 ناقص ستة على 𝑥 زائد أربعة — الصورة المبسطة للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بشكل ما — فإن الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 إذا لم يكن 𝑥 يساوي أربعة، وغير معرفة إذا كان 𝑥 يساوي أربعة.

ما نبحث عنه هو نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عند اقتراب 𝑥 من أربعة. هذا مثل نهاية الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 عند اقتراب 𝑥 من أربعة. لماذا؟ حسنًا، السبب في ذلك هو أن نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عند اقتراب 𝑥 من أربعة يعتمد على قيم 𝑥 بالقرب من أربعة، وليس حين 𝑥 يساوي أربعة، وهذا هو الأهم. وبالنسبة لكل قيم 𝑥 وخاصة كل قيم 𝑥 بالقرب من أربعة، فإن الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 والدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 متطابقتان.

الآن سنركز على إيجاد نهاية الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 عند اقتراب 𝑥 من أربعة. الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 دالة كسرية. ومن ثم إذا كان العدد أربعة في مجالها، فقيمة هذه النهاية هي قيمة الدالة 𝑔 عند 𝑥 يساوي أربعة. وكما فعلنا من قبل، فإن الطريقة التي نرى بها ما إذا كان أربعة في مجال 𝑔 هي محاولة إيجاد قيمة 𝑔 عند 𝑥 يساوي أربعة. باستخدام تعريف الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥، نحصل على ثلاثة في أربعة ناقص ستة على أربعة زائد أربعة، وهو ما يساوي ستة على ثمانية. ويجري تبسيط ذلك إلى ثلاثة على أربعة أو ثلاثة أرباع.

من ثم العدد أربعة موجود في مجال الدالة 𝑔. لذا سنتخلص من علامة الاستفهام هذه الموضوعة أعلى علامة التساوي. نهاية الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 عند اقتراب 𝑥 من أربعة تساوي 𝑔 لأربعة. وهكذا باتباع سلسلة علامات التساوي مع الأخذ في الاعتبار الطريقة التي عرفنا بها الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، نرى أن نهاية ثلاثة 𝑥 تربيع ناقص 18 زائد 24 الكل على 𝑥 تربيع ناقص 16 عند اقتراب 𝑥 من أربعة يساوي ثلاثة على أربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.