نسخة الفيديو النصية
أوجد فترات تزايد وتناقص الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ تساوي سالب تسعة ﺱ لكل ﺱ أقل من صفر، وﺩﺱ تساوي تسعة ﺱ لكل ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا.
في هذا السؤال، لدينا دالة متعددة التعريف ﺩﺱ. ومطلوب منا إيجاد فترات تزايد وتناقص هذه الدالة. ويمكننا تذكر أن دالة ما تكون تزايدية على فترة عندما تزداد القيمة المدخلة في الفترة فتزداد القيمة المخرجة لها. ونقول إن دالة ما تكون تناقصية على فترة عندما تزداد القيمة المدخلة في الفترة فتتناقص القيمة المخرجة لها. وهذا يعطينا طريقتين لإيجاد فترات تزايد وتناقص هذه الدالة.
الطريقة الأولى لفعل ذلك هي رسم تمثيل بياني لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ. يمكننا فعل ذلك برسم كل دالة جزئية على حدة. هيا نبدأ برسم ﺹ يساوي سالب تسعة ﺱ؛ حيث ﺱ يجب أن يكون أقل من صفر. أولًا: هذا خط مستقيم مكتوب بصيغة الميل والمقطع. يمكننا أن نرى أن نقطة تقاطعه مع المحور ﺹ تقع عند صفر، وميله يساوي سالب تسعة. لكن تذكر أننا سنرسم هذه الدالة الجزئية فقط لقيم ﺱ أقل من صفر. إذن، علينا وضع دائرة مفرغة عند نقطة التقاطع هذه مع المحور ﺹ. هذا يعطينا الرسم التالي.
علينا الآن رسم التمثيل البياني للدالة الجزئية الثانية. أي ﺹ يساوي تسعة ﺱ لقيم ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. ومرة أخرى، هذا خط مستقيم بصيغة الميل والمقطع. الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي صفرًا، وميله يساوي تسعة. بما أن ﺱ يساوي صفرًا في هذه الدالة الجزئية، فعلينا إضافة الجزء المقطوع من المحور ﺹ عند نقطة الأصل. هذا يعطينا رسمًا يبدو كما يلي.
يمكننا استخدام هذا لإيجاد فترات تزايد وتناقص الدالة. لنبدأ بفترات التزايد. فترات تزايد الدالة هي الفترات التي عندها تزداد القيمة المدخلة فتزداد القيمة المخرجة. في المخطط، هذه هي أي فترة تميل فيها الدالة لأعلى. بما أن هذه دالة متعددة التعريف مكونة من خطين مستقيمين، فيمكننا ملاحظة أن هذا سيتحقق فقط على الفترة التي تكون فيها قيمة ﺱ موجبة. إذن، تكون الدالة تزايدية فقط عندما تكون قيمة ﺱ موجبة. نريد كتابة ذلك على صورة فترة. أي الفترة المفتوحة من صفر إلى ∞.
يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد فترة التناقص من الرسم. مرة أخرى، فترة التناقص هي الفترة التي عندها تزداد القيمة المدخلة لـ ﺱ فتتناقص القيمة المخرجة للدالة. في التمثيل البياني، يكون هذا أي موضع تميل فيه الدالة لأسفل. ويمكننا أن نلاحظ على المخطط أن هذا يتحقق عندما تكون قيمة ﺱ سالبة. لذلك من الرسم، يمكننا أن نرى أن فترة التناقص لهذه الدالة هي الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى صفر. هذا يكفي إذن للإجابة عن السؤال. يمكننا القول إن الدالة ﺩﺱ تكون تزايدية على الفترة المفتوحة من صفر إلى ∞، وتناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى صفر.
يمكننا التوقف هنا. لكن هناك طريقة أخرى يمكننا استخدامها للإجابة عن هذا السؤال. يمكننا أن نلاحظ أن ﺩﺱ دالة خطية متعددة التعريف. وبما أن الدوال الخطية قابلة للاشتقاق، فهذا يعني أن ﺩﺱ دالة قابلة للاشتقاق متعددة التعريف. ونعرف أنه يمكننا إيجاد فترات التزايد والتناقص لدالة قابلة للاشتقاق باستخدام إشارة مشتقتها. على وجه التحديد، إذا كان ﺩ شرطة ﺱ موجبًا على الفترة ﻑ، فيمكننا القول إن ﺩ يزيد على هذه الفترة ﻑ. وإذا كان ﺩ شرطة ﺱ سالبًا على الفترة ﻑ، فإن ﺩ يتناقص على ﻑ.
ويمكننا ملاحظة ذلك على التمثيل البياني الذي رسمناه. عندما يكون للدالة ميل سالب، تكون مخرجات الدالة تناقصية. وعندما يكون للدالة ميل موجب، تكون مخرجات الدالة تزايدية. علينا إذن إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ. يمكننا فعل ذلك من خلال اشتقاق كل من الدالتين الجزئيتين على حدة؛ لأن هذه دالة قابلة للاشتقاق متعددة التعريف.
لكن ثمة أمرًا بسيطًا علينا ملاحظته. علينا التفكير فيما يحدث عند أطراف المجالات الجزئية. على وجه التحديد، في الحالة لدينا، يمكننا أن نعرف أن الدالة لن تكون قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي صفرًا. وهذا لأنه عندما يقترب ﺱ من صفر من الجهة اليسرى، فإن مشتقته تساوي سالب تسعة. لكن عندما يقترب ﺱ من الصفر من جهة اليمين، فإن مشتقته تساوي موجب تسعة. وبما أن النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر من جهة اليسار، والنهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر من جهة اليمين لهذه الدالة غير متساويتين، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر ليست موجودة. لذا، فإننا لا نضيف طرف هذه الفترة.
ﺩ شرطة ﺱ يساوي سالب تسعة إذا كان ﺱ أقل من صفر. وﺩ شرطة ﺱ يساوي تسعة إذا كان ﺱ أكبر من صفر. ويمكننا بعد ذلك الإجابة عن السؤال مباشرة من هذه الدالة. يكون ﺩ شرطة ﺱ موجبًا عندما يكون ﺱ أكبر من صفر؛ لذا فهو يزداد عندما يكون ﺱ أكبر من صفر. ويكون ﺩ شرطة ﺱ سالبًا عند ﺱ أقل من صفر، ومن ثم فإن ﺩ شرطة ﺱ يتناقص عند ﺱ أقل من صفر. وهذا يعطينا طريقة ثانية لحل هذا السؤال.
بذلك نكون قد استطعنا إثبات أن الدالة ﺩﺱ تزايدية على الفترة المفتوحة من صفر إلى ∞، وتناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى صفر.
