فيديو الدرس: أصفار الدوال الكثيرات الحدود

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مجموعة أصفار الدالة التربيعية أو التكعيبية، أو كثيرة الحدود ذات الدرجات العليا. نبدأ بتذكر معنى أصفار الدالة. إيجاد أصفار الدالة يعني إيجاد جذورها. وهي قيم ﺱ التي تجعل قيمة كثيرة الحدود تساوي صفرًا.

إذا فكرنا في هذا التعريف بيانيًّا، فسنجد أنه عند مساواة الدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ بصفر، فما سيهمنا هو المواضع التي يقطع فيها التمثيل البياني المحور ﺱ. وعليه، فإن جذور الدالة أو أصفارها هي عندما يقطع المحور ﺱ التمثيل البياني. ولكننا لا نريد دائمًا رسم التمثيلات البيانية للدوال. إذن، سنسأل أنفسنا عن الأساليب الأخرى التي لدينا لحل كثيرة الحدود ﺩﺱ تساوي صفرًا. بالطبع، في حالة الدوال القابلة للتحليل، نعلم أنه يمكننا تحليل التعبير وإيجاد الجذور بهذه الطريقة. إذن، دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

باستخدام التحليل، أوجد أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٣٥.

تذكر أن أصفار الدالة هي نفسها جذورها. ونحصل على الجذور لأي دالة بحل المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا. وبذلك، يمكننا إيجاد أصفار الدالة بجعل التعبير ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٣٥ يساوي صفرًا وإيجاد قيمة ﺱ. يوضح لنا السؤال الطريقة التي يتعين علينا استخدامها بالفعل. سنحلل التعبير ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٣٥.

أولًا، نلاحظ أن هذا التعبير تربيعي، ومن ثم سنحلله إلى زوج من الأقواس، كما هو موضح. وسيتكونان من ذواتي حدين. لا بد أن يكون الحد الأول في كل ذات حدين هو ﺱ، لأن ﺱ مضروبًا في ﺱ يعطينا ﺱ تربيع. ثم لإيجاد الجزء العددي، علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما، أي عند ضربهما معًا، يساوي سالب ٣٥، وحاصل جمعهما اثنان. سنبدأ بإيجاد عددين حاصل ضربهما ٣٥. وسنفكر بعدها في إشارتيهما.

بالطبع لدينا واحد في ٣٥. حسنًا، ولدينا أيضًا خمسة في سبعة. بما أننا نريد الحصول على سالب ٣٥ ونعرف أن سالبًا مضروبًا في موجب يعطينا سالبًا، فإننا نستنتج أن أحد العددين الموجودين في زوج العوامل يجب أن يكون سالبًا. كيف نتأكد إذن من أن مجموع هذين العددين يساوي اثنين؟ حسنًا، إذا استخدمنا سالب خمسة وموجب سبعة، فإننا نعرف أن سالب خمسة في موجب سبعة يساوي سالب ٣٥، لكن سالب خمسة زائد سبعة يساوي اثنين. ومن ثم، نكتب سالب خمسة وسبعة بين القوسين. وعليه، فإن التعبير ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٣٥ يساوي ﺱ ناقص خمسة في ﺱ زائد سبعة.

إذن، كيف سيساعدنا ذلك في حل المعادلة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٣٥ يساوي صفرًا؟ حسنًا، نعلم أن ﺱ ناقص خمسة وﺱ زائد سبعة مضروبين معًا. وعندما نضربهما معًا، تكون الإجابة صفرًا. إذن، ما الذي يمكننا قوله عن إحدى ذواتي الحدين هاتين؟ نعلم أنه ليكون حاصل ضرب عددين صفرًا، يجب أن يكون أحد هذين العددين صفرًا. إذن في هذه الحالة، هذا يعني أنه إما ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا وإما ﺱ زائد سبعة يساوي صفرًا. سنحل كلًّا منهما كأي معادلة خطية عادية. في هذه الحالة، نضيف خمسة إلى كلا الطرفين. ونحصل بذلك على ﺱ يساوي خمسة. وفي المعادلة الثانية، نطرح سبعة. إذن ﺱ يساوي سالب سبعة.

تذكر أن أصفار الدالة هي قيم ﺱ التي تجعل قيمة كثيرة الحدود تساوي صفرًا. إذن، أصفار هذه الدالة هي ببساطة العددان سالب سبعة وخمسة. نعلم الآن أن الأصفار هي قيم ﺱ التي تجعل قيمة الدالة تساوي صفرًا. إذن يمكننا التأكد من الحل بالتعويض في المعادلة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ٣٥. في كلتا الحالتين، نحصل على صفر كما هو مطلوب. وبذلك نعرف أننا أجرينا العمليات الحسابية بشكل صحيح.

في المثال التالي، سنتعرف على كيفية إيجاد مجموعة الأصفار من دالة تكعيبية.

أوجد مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ في ﺱ تربيع ناقص ٨١ ناقص اثنين في ﺱ تربيع ناقص ٨١.

يمكننا أن نبدأ بتذكر أن أصفار الدالة كثيرة الحدود هي قيم ﺱ التي تجعل قيمة الدالة تساوي صفرًا. إذن، علينا أن نجعل التعبير ﺱ في ﺱ تربيع ناقص ٨١ ناقص اثنين في ﺱ تربيع ناقص ٨١ يساوي صفرًا ثم إيجاد قيمة ﺱ.

لو وزعنا الأقواس، فقد نحصل على دالة تكعيبية. لأن هذه كثيرة حدود من الدرجة الثالثة. ومن ثم، قد نعتقد أنه علينا توزيع الأقواس ثم متابعة الحل. لكن إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أنه يوجد عامل مشترك بين الحدين. فهما يشتركان في العامل ﺱ تربيع ناقص ٨١. إذن، لحل هذه المعادلة، سنحلل بإخراج العامل المشترك ﺱ تربيع ناقص ٨١.

إذا قسمنا الحد الأول على ﺱ تربيع ناقص ٨١، فلن يتبقى لدينا سوى ﺱ. وإذا قسمنا الحد الثاني على ﺱ تربيع ناقص ٨١، فسنحصل على سالب اثنين. وهكذا نرى أن التعبير ﺱ في ﺱ تربيع ناقص ٨١ ناقص اثنين في ﺱ تربيع ناقص ٨١ يساوي ﺱ تربيع ناقص ٨١ في ﺱ ناقص اثنين. ومن ثم، إذا انتبهنا جيدًا عند تحليل التعبير تحليلًا كاملًا لإيجاد الأصفار، فسيساعدنا هذا كثيرًا، حيث يجب أن نسأل أنفسنا: ما قيم ﺱ التي تجعل قيمة هذا التعبير تساوي صفرًا؟

وبما أننا نضرب ﺱ تربيع ناقص ٨١ في ﺱ ناقص اثنين، وهو ما يعطينا صفرًا، يمكننا القول إنه إما أن ﺱ تربيع ناقص ٨١ يساوي صفرًا، وإما أن ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. سنحل الآن كلًّا من هاتين المعادلتين تباعًا. سنحل المعادلة الأولى بإضافة ٨١ إلى كلا الطرفين. ويخبرنا هذا أن ﺱ تربيع يساوي ٨١. سنأخذ الآن الجذر التربيعي لكلا الطرفين. لكننا يجب علينا الانتباه قليلًا. علينا أخذ موجب وسالب الجذر التربيعي لـ ٨١.

ومن ثم، فإن حلي المعادلة ﺱ تربيع ناقص ٨١ يساوي صفرًا هما: ﺱ يساوي تسعة وﺱ يساوي سالب تسعة. المعادلة الأخرى أكثر وضوحًا. سنضيف اثنين إلى كلا الطرفين. وبهذا، نكون قد توصلنا إلى حل آخر للمعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا، ومن ثم، هذا يعني أن أحد أصفار الدالة يساوي اثنين. ووجدنا حلول المعادلة ﺩﺱ تساوي صفرًا، لكن السؤال يطلب منا إيجاد مجموعة أصفار الدالة. ومن ثم، نستخدم هذه الأقواس المتعرجة لتمثيل المجموعة التي تحتوي على العناصر: سالب تسعة، واثنين، وتسعة.

وهذه هي إجابة السؤال. إذن، مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ في ﺱ تربيع ناقص ٨١ ناقص اثنين في ﺱ تربيع ناقص ٨١ تحتوي على العناصر سالب تسعة واثنين وتسعة. لاحظ أنه يمكننا العودة إلى الدالة الأصلية للتحقق من صحة هذه الإجابات. علينا التعويض بكل من هذه القيم على حدة، والتأكد مرة أخرى من أننا نحصل بالفعل على الناتج صفر.

في المثال التالي، سنتناول كيفية إيجاد جذور معادلة تكعيبية بالتحليل باستخدام نظرية العوامل.

إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ ناقص ١٥، وﺩ لسالب واحد تساوي صفرًا، فأوجد الجذرين الآخرين لـ ﺩﺱ.

جذور ﺩﺱ أو أصفار الدالة هي قيم ﺱ التي تجعل قيمة الدالة تساوي صفرًا. وبالتالي، علينا إيجاد قيم ﺱ التي تجعل المعادلة ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٣ﺱ ناقص ١٥ تساوي صفرًا. إحدى الطرق التي نصل بها إلى هذا تحليل هذا التعبير التكعيبي بالكامل. لكن لن يمكننا فعل ذلك بسهولة دون الحاجة إلى معلومات إضافية. وهذه المعلومات معطاة لنا في المسألة. فنحن نعلم أن ﺩ لسالب واحد يساوي صفرًا. وتعني هذه المعلومة أن بإمكاننا استخدام نظرية العوامل لتساعدنا على تحليل التعبير التكعيبي.

تنص نظرية العوامل على أنه إذا كان ﺩﺃ يساوي صفرًا، فإن ﺱ ناقص ﺃ هو عامل لـ ﺩﺱ. عند مقارنة هذه الصورة العامة بالسؤال، نجد أن علينا جعل ﺃ يساوي سالب واحد. وبالتالي، يمكننا القول إن ﺱ ناقص سالب واحد، أي ﺱ زائد واحد، لا بد أن يكون عاملًا لـ ﺩﺱ. كيف سيساعدنا ذلك إذن؟ حسنًا، معنى هذا أنه يمكننا قسمة الدالة التكعيبية ﺩﺱ على ﺱ زائد واحد. بالضبط، لن يكون لدينا باق. وهكذا عند إجراء عملية القسمة هذه، يجب أن يتبقى لدينا تعبير تربيعي يمكننا تحليله بعد ذلك.

توجد عدة طرق يمكننا استخدامها. سأستخدم القسمة المطولة لكثيرة الحدود باستخدام طريقة القسمة القصيرة. وسأسأل نفسي أولًا: ما ناتج قسمة ﺱ تكعيب على ﺱ؟ ‏ﺱ تكعيب مقسومًا على ﺱ يساوي ﺱ تربيع. والآن سأضرب ﺱ تربيع في حدي المقسوم عليه. ‏ﺱ تربيع في ﺱ يساوي ﺱ تكعيب. وﺱ تربيع في واحد يساوي ﺱ تربيع. بعد ذلك، سأطرح كلا الحدين الناتجين للتو من الحدين الموجودين أعلاهما. ‏ﺱ تكعيب ناقص ﺱ تكعيب يساوي صفرًا. وثلاثة ﺱ تربيع ناقص ﺱ تربيع يساوي اثنين ﺱ تربيع.

نكتب الحد التالي بجوار الناتج. ثم نسأل أنفسنا: ما ناتج قسمة اثنين ﺱ تربيع على ﺱ؟ اثنان ﺱ تربيع مقسومًا على ﺱ يساوي اثنين ﺱ. إذن نكتب اثنين ﺱ أعلى ثلاثة ﺱ تربيع. وبعد ذلك، نضرب اثنين ﺱ في حدي المقسوم عليه. اثنان ﺱ في ﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع. واثنان ﺱ في واحد يساوي اثنين ﺱ. مرة أخرى، نطرح. اثنان ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ تربيع يساوي صفرًا. إذن، نحسب سالب ١٣ﺱ ناقص اثنين ﺱ، وهو ما يساوي سالب ١٥ﺱ.

هيا نكتب الحد الأخير بجواره. سنقسم الآن سالب ١٥ﺱ على ﺱ، وهو ما يساوي سالب ١٥. ثم نضرب سالب ١٥ في كلا حدي المقسوم عليه. يصبح لدينا سالب ١٥ﺱ ناقص ١٥. سنطرح مرة أخرى، ولكن هذه المرة نطرح سالب ١٥ﺱ ناقص ١٥ من سالب ١٥ﺱ ناقص ١٥، وهو ما يساوي صفرًا. ويخبرنا هذا، كما توقعنا، بأنه لن يوجد باق عند قسمة الدالة التكعيبية لدينا على ﺱ زائد واحد. ويعني هذا أيضًا أنه يمكننا إعادة كتابة الدالة التكعيبية على الصورة ﺱ زائد واحد في ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٥.

والآن، يمكننا حل هذه المعادلة بتحليل ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٥. نعلم أنه سيكون هناك ﺱ في كل من ذواتي الحدين لدينا. ونريد إيجاد عددين حاصل ضربهما سالب ١٥ وحاصل جمعهما اثنان. هذان العددان هما خمسة وسالب ثلاثة. إذن ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ١٥ يساوي ﺱ زائد خمسة في ﺱ ناقص ثلاثة.

مهمتنا الأخيرة هي حل هذه المعادلة. لكي يكون حاصل ضرب ثلاثة أعداد صفرًا، لا بد أن يكون أي من هذه الأعداد صفرًا. إذن، إما ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا، وإما ﺱ زائد خمسة يساوي صفرًا، وإما ﺱ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. إذا طرحنا واحدًا من طرفي المعادلة الأولى، فسنحصل على ﺱ يساوي سالب واحد. وبحل المعادلة الثانية، نحصل على ﺱ يساوي سالب خمسة. وبحل المعادلة الأخيرة، نحصل على ﺱ يساوي ثلاثة. نعرف بالفعل أن ﺱ يساوي سالب واحد هو أحد جذور المعادلة. ومن ثم، فإن الجذرين الآخرين لـ ﺩﺱ هما: ﺱ يساوي سالب خمسة وﺱ يساوي ثلاثة.

في المثال الأخير، سنتعرف على كيفية إيجاد مجموعة الأصفار لدالة من الدرجة الرابعة أو دالة كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة.

أوجد مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس أربعة ناقص ١٧ﺱ تربيع زائد ١٦.

تذكر أن أصفار الدالة كثيرة الحدود هي قيم ﺱ التي تجعل قيمة هذه الدالة تساوي صفرًا. أي إنه لإيجاد أصفار الدالة، علينا حل المعادلة ﺱ أس أربعة ناقص ١٧ﺱ تربيع زائد ١٦ يساوي صفرًا. وإحدى الطرق التي لدينا لإيجاد مجموعة الأصفار هذه هي بتحليل المقدار.

إذن كيف يمكننا تحليل ﺱ أس أربعة ناقص ١٧ﺱ تربيع زائد ١٦؟ حسنًا، قد يصعب علينا ملاحظة ذلك، لكن هذا التعبير يشبه إلى حد ما الدالة التربيعية. سنجري خطوة تعويض. نفترض أن ﺹ يساوي ﺱ تربيع. ومن ثم، إذا اعتبرنا أن ﺱ أس أربعة يساوي ﺱ تربيع الكل تربيع، فإن ﺱ أس أربعة يمكن كتابته بالصورة ﺹ تربيع. وبالمثل، يمكن كتابة سالب ١٧ﺱ تربيع على صورة سالب ١٧ﺹ. إذن، تصبح المعادلة ﺹ تربيع ناقص ١٧ﺹ زائد ١٦ يساوي صفرًا.

لدينا الآن معادلة تربيعية منظمة يمكن حلها عن طريق التحليل. سيكون لدينا ذواتا حدين، ولا بد أن تبدأ كل منهما بـ ﺹ. علينا بعد ذلك إيجاد عددين حاصل ضربهما ١٦، ومجموعهما سالب ١٧. وهذان العددان هما سالب واحد وسالب ١٦. تذكر أن سالب في سالب يساوي موجبًا. إذن معادلتنا هي ﺹ ناقص واحد في ﺹ ناقص ١٦ يساوي صفرًا. ولكي يكون حاصل ضرب ذواتي الحدين صفرًا، يمكننا القول إنه إما ﺹ ناقص واحد يساوي صفرًا، وإما ﺹ ناقص ١٦ يساوي صفرًا. وإذا حللنا كالمعتاد، فسنلاحظ أن ﺹ يساوي واحدًا أو ١٦.

ولكننا نريد إيجاد أصفار الدالة. وسبق أن ذكرنا أنها قيم ﺱ التي تجعل قيمة ﺩﺱ تساوي صفرًا. إذن، سنعوض الآن عن ﺹ بالقيمة الأصلية، وهي ﺹ يساوي ﺱ تربيع. وبالتالي، ﺱ تربيع يساوي واحدًا أو ﺱ تربيع يساوي ١٦. نحل هذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي لطرفي كل معادلة، ونتذكر بالتأكيد أخذ موجب وسالب الجذر التربيعي لواحد و ١٦. وبذلك نحصل على ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد وﺱ يساوي موجب أو سالب أربعة. والآن، نريد كتابتها باستخدام رمز المجموعة. سنستخدم هذه الأقواس المتعرجة. إذن، مجموعة أصفار الدالة ﺩﺱ هي المجموعة التي تحتوي على العناصر سالب أربعة، وسالب واحد، وواحد، وأربعة.

والآن، سنلخص النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. أولًا، رأينا أن أصفار الدالة هي قيم ﺱ التي تجعل قيمة الدالة تساوي صفرًا. ونطلق عليها أيضًا إيجاد جذور المعادلة. كما رأينا أنه إذا كانت الدالة قابلة للتحليل، فسنعمل على تحليل كثيرة الحدود لمساعدتنا في حل ﺩﺱ تساوي صفرًا.