فيديو: إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهات

افترض أن ﺃﺏﺟد مستطيل، فيه ﺃﺏ = ٣٢، ﺏﺟ = ١١. أوجد المتجه ﺃﺟ · المتجه ﺏد.

٠٣:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

افترض إن أ ب ﺟ د مستطيل، فيه أ ب يساوي اتنين وتلاتين، وَ ب ﺟ يساوي حداشر. أوجد المتجه أ ﺟ ضرب قياسي المتجه ب د.

هنرسم مستطيل أ ب ﺟ د زي ما هو واضح قدامنا، وهسمي نقطة تقاطع القطرين ﻫ، وعلشان أقدر أعرف حاصل الضرب القياسي للمتجهين، محتاج أعرف طول أو معيار المتجه الأول اللي هو أ ﺟ، وطول أو معيار المتجه التاني اللي هو ب د، وأيضًا قياس الزاوية المحصورة بينهما عند رسمهما داخلين أو خارجين معًا من نفس النقطة؛ وده لأن حاصل الضرب القياسي للمتجه أ ﺟ والمتجه ب د، يساوي معيار المتجه الأول اللي هو المتجه أ ﺟ، في معيار المتجه التاني اللي هو المتجه ب د، في جتا الزاوية المحصورة بينهم عند رسمهما داخلين أو خارجين معًا من نفس النقطة، ودي هسميها الزاوية 𝜃.

ولأن المستطيل جميع زواياه قائمة، أقدر أعتبر إن المثلث أ ب ﺟ هو مثلث قائم؛ وبالتالي أقدر أطبّق عليه نظرية فيثاغورس، علشان أقدر أوصل لطول أو معيار الضلع أ ﺟ. ولأن طول الضلع أ ب اتنين وتلاتين، وطول الضلع ب ﺟ حداشر، والزاوية ﺟ ب أ هي زاوية قائمة؛ بالتالي أقدر أطبق نظرية فيثاغورس، عشان أقدر أجيب طول الضلع أ ﺟ، اللي هو هيساوي الجذر التربيعي لاتنين وتلاتين تربيع، زائد حداشر تربيع؛ وده بيساوي جذر ألف مية خمسة وأربعين.

ولأن المستطيل قطراه متساويان، إذن ب د يساوي أ ﺟ، يساوي جذر ألف مية خمسة وأربعين.

ولأن المستطيل ينصّف قطراه كل منهما الآخر؛ بالتالي أقدر أقول إن المثلث ﻫ ب ﺟ هو مثلث متساوي الساقين، فيه ﻫ ﺟ يساوي ﻫ ب؛ وبالتالي زاويتي القاعدة يكونوا متساويين، وهسميهم 𝜙.

وناخد بالنا إن الزاوية 𝜃 هي زاوية خارجة عن المثلث ﻫ ب ﺟ؛ وبالتالي تساوي مجموع زوايا المثلث الداخلية ما عدا المجاورة لها. إذن 𝜃 تساوي اتنين 𝜙. وبالتالي لو قدرت أحسب قيمة 𝜙 هكون قدرت أحصل على قيمة 𝜃. ونلاحظ في المثلث أ ب ﺟ إن ظا الزاوية 𝜙، يساوي طول الضلع المقابل اللي هو اتنين وتلاتين، على طول الضلع المجاور اللي هو حداشر. ومنها 𝜙 تساوي تقريبًا واحد وسبعين درجة. إذن قياس الزاوية 𝜃 يساوي مية اتنين وأربعين درجة.

إذا جتا 𝜃 تساوي سالب تسعمية وتلاتة، على ألف مية خمسة وأربعين؛ وبالتالي حاصل الضرب القياسي للمتجه أ ﺟ ضرب قياسي المتجه ب د يساوي جذر ألف مية خمسة وأربعين، في جذر ألف مية خمسة وأربعين، في سالب تسعمية وتلاتة على ألف مية خمسة وأربعين؛ وده بيساوي سالب تسعمية وتلاتة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.