فيديو الدرس: الاحتمال النظري الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نفسر مجموعة بيانات عن طريق إيجاد قيمة الاحتمالات النظرية وحسابها. نبدأ بتذكر أن احتمال وقوع حدث ما هو مدى أرجحية حدوثه. وهكذا كلما زاد احتمال وقوع حدث ما، كان وقوعه مرجحًا ترجيحًا أكبر. جميع الاحتمالات لها قيم تقع في المدى من صفر إلى واحد. على سبيل المثال، الحدث ذو الاحتمال الذي يساوي صفرًا لا يمكن أن يقع؛ ومن ثم يكون مستحيلًا، في حين يكون الحدث ذو الاحتمال الذي يساوي واحدًا مؤكد الحدوث.

كما نلاحظ من خط الأعداد، يمكننا التعبير عن الاحتمالات على صورة كسور وأعداد عشرية، ومع ذلك فإن المطلوب منا في العديد من الأمثلة هو التعبير عن الاحتمال بصورة معينة. عند التعامل مع الاحتمالات نلاحظ عادة أنشطة مثل إلقاء حجر نرد أو إلقاء قطعة نقود أو اختيار كرة من الحقيبة. على سبيل المثال، قد يطلب منا إيجاد احتمال الحصول على العدد أربعة عند إلقاء حجر نرد أو احتمال اختيار كرة زرقاء من حقيبة.

بما أن هذه الأنشطة عملية ويشار إليها بالتجارب، فقد نظن أن علينا إجراءها في الحياة اليومية لحساب أي احتمالات. ومع ذلك فإن هذا ليس هو الحال بالضرورة. الاحتمال النظري يصف السلوك الذي نتوقع حدوثه من الناحية النظرية. لحساب الاحتمال النظري لوقوع حدث ما، يجب أن يكون لدينا وصف دقيق للنظام الذي أدى إلى وقوع ذلك الحدث. نستخدم بعد ذلك المنطق لتحليل النظام ومعرفة كيفية سلوكه من الناحية النظرية.

قبل أن نتناول بعض الأمثلة سنتذكر أولًا بعض المصطلحات الأساسية المتعلقة بالتجارب. تعرف النتائج المحتملة لأي تجربة باسم النواتج. فضاء العينة ﻑ هو مجموعة كل النواتج الممكنة. الحدث ﺃ مجموعة من النواتج التي يكون لها احتمال ما. وهو مجموعة جزئية من فضاء العينة ﻑ مكتوبة كما هو موضح. نستخدم مصطلح «النواتج المرغوبة» للإشارة إلى النواتج التي نريد اختبارها في التجربة. في أي تجربة معطاة، بمجرد تحديد فضاء العينة والحدث الذي نريد اختباره، يمكننا حساب الاحتمال النظري لهذا الحدث باستخدام الصيغة الآتية. احتمال وقوع حدث ما يساوي عدد النواتج المرغوبة مقسومًا على إجمالي عدد النواتج الممكنة.

يمكن كتابة ذلك كتابة أكثر منهجية على النحو الآتي. افترض أن ﻑ هو فضاء العينة، وأن ﺃ؛ أي المجموعة الجزئية من ﻑ، هو الحدث، وأن ﻥ ﻑ هو عدد العناصر في ﻑ، وأن ﻥ ﺃ هو عدد العناصر في ﺃ. إذن نوجد احتمال وقوع الحدث ﻝ ﺃ من الصيغة: ﻝ ﺃ يساوي ﻥ ﺃ على ﻥ ﻑ.

الآن سنتناول بعض الأمثلة التي علينا فيها حساب الاحتمال النظري لوقوع حدث ما.

يحتوي صندوق على خمس كرات حمراء، وثماني كرات خضراء، وأربع كرات صفراء. إذا اختيرت كرة عشوائيًّا، فما احتمال أن تكون حمراء؟

نبدأ بتناول المعطيات الموجودة في السؤال. لدينا صندوق يحتوي على كرات حمراء وخضراء وصفراء. يوجد في الصندوق خمس كرات حمراء، وثماني كرات خضراء، وأربع كرات صفراء. المطلوب منا إيجاد احتمال أن تكون الكرة المختارة عشوائيًّا حمراء. يعد هذا مثالًا للاحتمال النظري. نتذكر أن احتمال وقوع حدث ما يمكن كتابته على صورة كسر؛ حيث يكون البسط هو عدد النواتج المرغوبة والمقام هو إجمالي عدد النواتج الممكنة. في هذا السؤال لدينا خمس كرات حمراء. بما أن خمسة زائد ثمانية زائد أربعة يساوي ١٧ ؛ إذن يوجد ١٧ كرة إجمالًا. ومن ثم يمكننا استنتاج أن احتمال اختيار كرة حمراء هو خمسة من ١٧ أو خمسة على ١٧.

في المثال التالي علينا إيجاد احتمال وقوع حدث ما في تجربة حجر النرد.

ما احتمال الحصول على رقم أكبر من أو يساوي أربعة إذا ألقي حجر نرد منتظم؟

نبدأ بتذكر أن حجر النرد المنتظم له ستة أوجه مرقمة من واحد إلى ستة. هذا يعني أنه عند إلقاء حجر النرد توجد ستة نواتج ممكنة. في هذا السؤال ما يعنينا في حدث إلقاء النرد هو ظهور رقم أكبر من أو يساوي أربعة. هناك ثلاث طرق لتحقيق ذلك؛ وهي الحصول على رقم أربعة أو خمسة أو ستة. نتذكر أنه يمكننا كتابة احتمال وقوع حدث ما على صورة كسر؛ حيث يكون البسط هو عدد النواتج المرغوبة، والمقام هو إجمالي عدد النواتج الممكنة.

في هذا السؤال، احتمال الحصول على رقم أكبر من أو يساوي أربعة هو ثلاثة من ستة أو ثلاثة أسداس. بما أن البسط والمقام يقبلان القسمة على ثلاثة؛ إذن يمكننا تبسيط هذا الكسر. يمكننا إذن استنتاج أن احتمال الحصول على رقم أكبر من أو يساوي أربعة عند إلقاء حجر نرد منتظم هو نصف. جدير بالذكر أنه يمكننا أيضًا كتابة الإجابة على صورة عدد عشري أو نسبة مئوية. نصف يساوي ٠٫٥، و٥٠ بالمائة.

في المثال التالي، مطلوب منا حساب احتمال وقوع حدث ما دون معرفة عدد عناصر فضاء العينة.

تحتوي حقيبة على عدد غير معلوم من الكرات. سدس الكرات أبيض، وخمس الكرات أخضر، وباقي الكرات أزرق، إذا سحبت كرة عشوائيًّا من الحقيبة، فما احتمال أن تكون زرقاء؟

في هذا السؤال، نعلم أن الحقيبة تحتوي على ثلاثة ألوان مختلفة للكرات. هذه الألوان هي الأبيض والأخضر والأزرق. نحن لا نعرف عدد الكرات لكل لون أو إجمالي عدد الكرات في الحقيبة. لكننا نعلم أن سدس الكرات أبيض. هذا يعني أن احتمال اختيار كرة بيضاء عشوائيًّا هو سدس. وبالمثل نعلم أن خمس الكرات أخضر؛ إذن احتمال اختيار كرة خضراء هو خمس. واحتمال اختيار كرة زرقاء، الذي نسميه ﺱ، هو ما نحاول حسابه.

نتذكر أن مجموع احتمالات كل النواتج في فضاء العينة يجب أن يساوي واحدًا. هذا يعني، في هذا السؤال، أن احتمال اختيار كرة بيضاء زائد احتمال اختيار كرة خضراء زائد احتمال اختيار كرة زرقاء يجب أن يساوي واحدًا. بالتعويض بالقيم التي نعرفها، نحصل على سدس زائد خمس زائد ﺱ يساوي واحدًا. في الطرف الأيسر من المعادلة يمكننا البدء بجمع سدس وخمس بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين، وهو ما يساوي ٣٠. سدس يكافئ خمسة على ٣٠، وخمس يكافئ ستة على ٣٠.

بجمع البسطين نجد أن سدسًا زائد خمس يساوي ١١ على ٣٠. يمكننا تبسيط المعادلة إلى: ١١ على ٣٠ زائد ﺱ يساوي واحدًا. نتذكر أن الواحد الصحيح يساوي ٣٠ على ٣٠. يمكننا طرح ١١ على ٣٠ من كلا الطرفين. هذا يعطينا: ﺱ يساوي ١٩ على ٣٠. يمكننا إذن استنتاج أن احتمال اختيار كرة زرقاء من الحقيبة يساوي ١٩ على ٣٠.

في بعض الأسئلة بدلًا من حساب احتمالات وقوع الأحداث، يعطى لنا الاحتمال وعلينا العمل بطريقة عكسية باستخدام الصيغة لإيجاد عدد عناصر مجموعة النواتج المناظرة لحدث معين. هذا ينطبق على المثال الآتي.

تحتوي حقيبة على ٣٠ كرة ملونة. احتمال اختيار كرة بيضاء عشوائيًّا يساوي خمسين. كم كرة بيضاء في الحقيبة؟

نبدأ بتذكر أن احتمال وقوع حدث ما يساوي عدد النواتج المرغوبة مقسومًا على إجمالي عدد النواتج الممكنة. يمكن كتابة ذلك كتابة أكثر منهجية على النحو الموضح. ‏ﻝ ﺃ يساوي ﻥ ﺃ على ﻥ ﻑ؛ حيث ﻑ هو فضاء العينة، وﻥ ﻑ هو عدد عناصره، وﺃ هو الحدث الذي يعنينا، وﻥ ﺃ هو عدد عناصره، وﻝ ﺃ هو احتماله النظري.

في هذا السؤال، احتمال اختيار كرة بيضاء يساوي عدد الكرات البيضاء مقسومًا على إجمالي عدد الكرات. نعلم من السؤال أن هناك إجمالي ٣٠ كرة، وأن خمسيها من الكرات البيضاء. إذا افترضنا أن عدد الكرات البيضاء هو ﺱ، فإن خمسين يساوي ﺱ على ٣٠. يمكننا ضرب طرفي هذه المعادلة في ٣٠ ؛ بحيث ﺱ يساوي خمسين في ٣٠. وبما أن خمسًا في ٣٠ يساوي ستة، فإن خمسين في ٣٠ يساوي ١٢. يمكننا إذن استنتاج أن هناك ١٢ كرة بيضاء في الحقيبة.

توجد طريقة بديلة تتمثل في ملاحظة أن الكسرين خمسين وﺱ على ٣٠ لا بد أن يكونا متكافئين. وبما أن خمسة مضروبًا في ستة يساوي ٣٠، واثنين مضروبًا في ستة يساوي ١٢ ؛ فإن عدد الكرات البيضاء يجب أن يساوي ١٢.

الآن سنتناول مثالًا أخيرًا يتضمن الاحتمال النظري.

فصل به ٥٠ طالبًا، نجح ٣٣ منهم في اختبار الرياضيات، ونجح ٣١ آخرون في اختبار اللغة. أوجد احتمال رسوب طالب قد اختير عشوائيًّا في اختبار اللغة؟

في هذا النوع من الأسئلة، من المهم أن نتمكن من تحديد المعطيات التي لدينا. نحن لا نهتم إلا بما حدث في اختبار اللغة. هذا يعني أن حقيقة أن ٣٣ طالبًا قد نجحوا في اختبار الرياضيات لا تعنينا. ونعلم أنه يوجد ٥٠ طالبًا إجمالًا. من بين هؤلاء، نجح ٣١ طالبًا في اختبار اللغة. بما أن ٥٠ ناقص ٣١ يساوي ١٩، فإننا نعلم أن ١٩ طالبًا رسبوا في اختبار اللغة. هذا هو احتمال وقوع الحدث الذي نحاول حسابه.

نعلم أن احتمال وقوع حدث ما يمكن كتابته على صورة كسر. وهو عدد النواتج المرغوبة مقسومًا على إجمالي عدد النواتج الممكنة. وعليه فإن احتمال رسوب طالب قد اختير عشوائيًّا في اختبار اللغة يساوي ١٩ على ٥٠، وهو ما يمكن كتابته أيضًا على صورة عدد عشري ٠٫٣٨ أو ٣٨ بالمائة.

الآن نختتم هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية.

عندما يكون لدينا وصف لتجربة ما، علينا تحديد فضاء العينة لتلك التجربة؛ أي مجموعة كل النواتج الممكنة، والحدث الذي نريد إيجاده؛ وهو مجموعة النواتج المرغوبة. يعبر عن الاحتمال النظري لوقوع حدث كهذا بالصيغة الآتية. احتمال وقوع حدث ما يساوي عدد النواتج المرغوبة مقسومًا على إجمالي عدد النواتج الممكنة. ويمكن كتابة ذلك كتابة أكثر منهجية على النحو الموضح؛ حيث ﻑ هو فضاء العينة، وﺃ؛ أي المجموعة الجزئية من ﻑ، هو الحدث، وﻥ ﻑ هو عدد العناصر في ﻑ، وﻥ ﺃ هو عدد العناصر في ﺃ، وﻝ ﺃ هو احتمال وقوع الحدث ﺃ.

رأينا في هذا الفيديو أن بوسعنا العمل بطريقة عكسية ابتداء من احتمال معطى، وباستخدام الصيغة؛ لإيجاد عدد عناصر مجموعة النواتج المناظرة لحدث معين. وأخيرًا رأينا أنه يمكننا في بعض الأحيان حساب احتمال نظري ناقص، حتى وإن كنا لا نعرف عدد عناصر فضاء العينة. وذلك لأن الاحتمال النظري لوقوع حدث ما هو أيضًا نسبة من إجمالي عدد النواتج المرغوبة.