فيديو السؤال: إيجاد مساحة مثلث متساوي الساقين بمعلومية قيمة الدالة المثلثية لزاوية قاعدته الرياضيات

أوجد مساحة سطح المثلث ﺃﺏﺟ، إذا كان ﺃﺏ = ﺃﺟ، ﺏﺟ = ٢٠ سم، جتا ﺏ = ٥‏/‏١٣.

٠٦:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة سطح المثلث ﺃﺏﺟ، إذا كان ﺃﺏ يساوي ﺃﺟ وﺏﺟ يساوي ٢٠ سنتيمترًا، وجتا ﺏ يساوي خمسة على ١٣.

نوجد مساحة سطح المثلث بضرب طول قاعدته في ارتفاعه العمودي والقسمة على اثنين. في هذه المسألة، لدينا فقط طول أحد أضلاع المثلث: ﺏﺟ يساوي ٢٠ سنتيمترًا. لإيجاد المساحة، علينا كذلك معرفة الارتفاع العمودي لهذا المثلث والذي سأشير إليه بـ ﺃﺩ.

تخبرنا المسألة أن ضلعي المثلث ﺃﺏ وﺃﺟ متساويان في الطول. وبالتالي، فإن المثلث ﺃﺏﺟ مثلث متساوي الساقين. هذا يعني أنه عند رسم ارتفاع عمودي من الرأس المشترك بين الضلعين المتساويين في الطول إلى الضلع المقابل، فهذا يؤدي إلى تقسيم المثلث إلى مثلثين قائمي الزاوية متطابقين. يعني ذلك أن طول الضلع ﺏﺟ البالغ ٢٠ سنتيمترًا سينقسم إلى نصفين متساويين تمامًا، طول كل نصف ١٠ سنتيمترات.

لا نعرف إلا طول ضلع واحد في كل مثلث من هذين المثلثين قائمي الزاوية. لنلق نظرة على المعلومات الأخرى الواردة في المسألة. تخبرنا المسألة أن جيب تمام الزاوية ﺏ أو جتا ﺏ يساوي خمسة على ١٣. تذكر تعريف نسبة جيب التمام في المثلث القائم الزاوية، وهو أن جيب تمام زاوية معينة 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر.

دعونا نسم الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية ﺃﺏﺩ بالنسبة للزاوية ﺏ. الوتر والضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية هو الضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة. إذن هو الضلع ﺃﺏ. الضلع المقابل هو الضلع الذي يقابل الزاوية المعلومة. إذن هو الضلع ﺃﺩ. الضلع المجاور هو الضلع الأخير. إذن هو الضلع بين الزاوية المعلومة والزاوية القائمة، وهو الضلع ﺏﺩ في هذه الحالة.

تذكر أن نسبة جيب التمام تخبرنا بالنسبة بين الضلع المجاور والوتر. بالتعويض عن طول الضلع المجاور بـ ١٠ وعن الوتر بـ ﺃﺏ، نجد أن جتا ﺏ يساوي ١٠ على ﺃﺏ. يجب أن يساوي هذا خمسة على ١٣، لأنه مذكور في المسألة أن جتا ﺏ يساوي خمسة على ١٣. يعطينا هذا معادلة يمكننا حلها لإيجاد طول ﺃﺏ.

في النهاية، نجد أن ﺃﺏ ليس هو الضلع الذي نريد إيجاد طوله، ولكن نريد إيجاد طول الضلع ﺃﺩ الذي يمثل الارتفاع العمودي للمثلث. ولكن لا يسمح لنا الوضع الآن بإيجاد طول ﺃﺩ مباشرة. ومع ذلك، إذا كان بإمكاننا إيجاد طول ﺃﺏ أولًا، فسنتمكن بعد ذلك من إيجاد طول ﺃﺩ. يؤدي الضرب التبادلي إلى التخلص من المقامين في هذه المعادلة، وبالتالي نحصل على ١٠ في ١٣ يساوي خمسة في ﺃﺏ. لإيجاد طول ﺃﺏ، علينا قسمة كل من طرفي المعادلة على خمسة، إذن ﺃﺏ يساوي ١٠ في ١٣ على خمسة. يمكن القسمة على العامل المشترك خمسة في البسط والمقام، لنحصل على اثنين في ١٣، ما يساوي ٢٦.

إذن، طول الضلع ﺃﺏ يساوي ٢٦ سنتيمترًا. تذكر أننا نريد إيجاد طول الضلع ﺃﺩ. فلنفكر إذن في كيفية إيجاد ذلك. لدينا مثلث قائم الزاوية، وهو المثلث ﺃﺏﺩ الذي نعرف طول ضلعين فيه. وهذا يعني أنه يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع الثالث.

تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر مساويًا لمربع طول الوتر. في هذا المثلث، يعني هذا أن ﺃﺩ تربيع زائد ﺏﺩ تربيع يساوي ﺃﺏ تربيع. بالتعويض بالطول المعلوم للضلعين ﺏﺩ وﺃﺏ، نحصل على ﺃﺩ تربيع زائد ١٠ تربيع يساوي ٢٦ تربيع.

لدينا الآن معادلة يمكننا حلها لإيجاد طول ﺃﺩ. ١٠ تربيع يساوي ١٠٠ و٢٦ تربيع يساوي ٦٧٦. إذن نحصل على ﺃﺩ تربيع زائد ١٠٠ يساوي ٦٧٦. بطرح ١٠٠ من طرفي المعادلة، نحصل على ﺃﺩ تربيع يساوي ٥٧٦. وبحساب الجذر التربيعي بعد ذلك، يصبح لدينا ﺃﺩ يساوي ٢٤.

إذا كنت على دراية بثلاثيات فيثاغورس، أي المثلثات القائمة الزاوية التي تكون جميع أضلاعها الثلاثة أعدادًا صحيحة، يمكنك ملاحظة أن ١٠ و٢٤ و٢٦ مثال على ثلاثيات فيثاغورس. وإذا كنت قد لاحظت ذلك مباشرة أو خضت في خطوات الحل باستخدام نظرية فيثاغورس، فنحن نعلم الآن أن الارتفاع العمودي للمثلث يساوي ٢٤ سنتيمترًا. وبالتالي، يمكننا إيجاد المساحة.

تذكر أن قاعدة المثلث الأصلي ﺃﺏﺟ تساوي ٢٠ سنتيمترًا. لذا نضرب ٢٠ في ٢٤ ونقسم على اثنين. يمكن القسمة على العامل المشترك اثنين في كل من البسط والمقام، لنحصل على ١٠ في ٢٤ على واحد، وهو ما يساوي ٢٤٠.

إذن مساحة سطح المثلث ﺃﺏﺟ تساوي ٢٤٠ سنتيمترًا مربعًا.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.