فيديو السؤال: إيجاد القيم الحرجة لدالة، إن وجدت، باستخدام قاعدة الضرب للاشتقاق الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم الحرجة للدالة دﺱ تساوي ﺱ تربيع مضروبًا في ﺱ ناقص واحد الكل تكعيب.

القيم الحرجة للدالة هي قيمة مشتقتها الأولى، د شرطة ﺱ، التي تساوي الصفر أو غير المعرفة. حسنًا، بالنظر إلى الدالة د ﺱ، نلاحظ أنها مجرد حاصل ضرب عدة كثيرات حدود. وبذلك نعرف أنه سيكون لها مشتقة عند جميع قيم ﺱ. لذا لا داعي للقلق بشأن القيم التي تكون عندها قيمة د شرطة ﺱ غير معرفة. لكن علينا التفكير في كيفية إيجاد مشتقة هذه الدالة، التي هي عبارة عن حاصل ضرب ﺱ تربيع وﺱ ناقص واحد تكعيب. يمكن توزيع الأقواس للحصول على كثيرة حدود في ﺱ. لكن قد تكون هذه عملية طويلة، وقد نواجه خطر ارتكاب خطأ في حساباتنا الجبرية.

بدلًا من ذلك، يمكننا أن نسمي عاملي الدالة دﺱ بـ ﻉ وﻕ، ثم نستخدم قاعدة الضرب لإيجاد مشتقتها. تنص قاعدة الضرب على أنه لأي دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ، فإن مشتقة حاصل ضربهما ﻉﻕ تساوي ﻉﻕ شرطة زائد ﻕﻉ شرطة. أي إننا نضرب كل دالة في مشتقة الدالة الأخرى ونجمع الناتجين معًا. لذا يمكننا أن نضع ﻉ يساوي ﺱ تربيع وﻕ يساوي ﺱ ناقص واحد الكل تكعيب. وبعد ذلك، علينا إيجاد مشتقة كل منهما بالنسبة إلى ﺱ. إن إيجاد ﻉ شرطة أو دﻉ على دﺱ هي عملية مباشرة. إذ يمكننا تطبيق قاعدة القوة للاشتقاق لنحصل على اثنين ﺱ. ولكن ماذا عن دﻕ على دﺱ؟

حسنًا، لدينا كثيرة الحدود ﺱ ناقص واحد أس ثلاثة. يمكننا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة القوة العامة، وهي تطبيق لقاعدة السلسلة. وهي تخبرنا أن مشتقة دالة ما ر ﺱ أس ﻥ تساوي ﻥ مضروبًا في ر شرطة ﺱ مضروبًا في ر ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. وهذا يشبه قاعدة القوة للاشتقاق. لكن لدينا العامل الإضافي ر شرطة ﺱ، أي مشتقة ما بين القوسين. بتطبيق قاعدة القوة العامة، يصبح لدينا ثلاثة مضروبًا في مشتقة ﺱ ناقص واحد، وهو ما يساوي واحدًا، مضروبًا في ﺱ ناقص واحد أس اثنين. وهو ما يبسط إلى ثلاثة فيﺱ ناقص واحد الكل تربيع. والآن، يمكننا التعويض في صيغة قاعدة الضرب.

‏د شرطة ﺱ تساوي ﻉﻕ شرطة، أي ﺱ تربيع مضروبًا في ثلاثة في ﺱ ناقص واحد الكل تربيع، زائد ﻕﻉ شرطة، أي ﺱ ناقص واحد الكل تكعيب مضروبًا في اثنين ﺱ. والآن يمكننا تحليل هذا التعبير. كل حد يحتوي على العامل المشترك ﺱ. ولهما أيضًا عامل آخر وهو ﺱ ناقص واحد الكل تربيع. يتبقى لدينا في الحد الأول العامل ثلاثة، وعامل آخر هو ﺱ. والحد الثاني، لدينا العامل اثنان والعامل الآخر ﺱ ناقص واحد. إذن، الصورة التحليلية للتعبير د شرطة ﺱ هي ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص واحد تربيع مضروبًا في ثلاثة ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص واحد. عند التبسيط داخل القوسين الأخيرين نحصل على د شرطة ﺱ يساوي ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص واحد تربيع مضروبًا في خمسة ﺱ ناقص اثنين.

قلنا إن القيم الحرجة تحدث عندما تساوي قيمة المشتقة الأولى صفرًا. إذن نأخذ تعبير د شرطة ﺱ، ونساويه بصفر، ونحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة ﺱ. ومساواة كل عامل بالصفر تعطي ﺱ يساوي صفرًا، وﺱ ناقص واحد تربيع يساوي صفرًا، وخمسة ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. حل المعادلتين الثانيتين يعطينا ﺱ يساوي واحدًا حلًّا متكررًا، وﺱ يساوي خمسين. يمكننا القول إذن إن الدالة د ﺱ لها قيم حرجة عند ﺱ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي خمسين، وﺱ يساوي واحدًا. لا يشترط إيجاد قيمة الدالة نفسها عند كل قيمة حرجة في هذا السؤال. لكن إذا أردنا فعل ذلك، فيمكننا العودة إلى الدالة د ﺱ والتعويض بكل قيمة من قيم ﺱ لإيجاد قيمة الدالة عند كل قيمة حرجة.