نسخة الفيديو النصية
ماذا يمكن أن يقال عن نهاية د ﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب ستة للدالة د ﺱ تساوي سالب تسعة ﺱ ناقص تسعة إذا كان ﺱ أقل من سالب ستة، ود ﺱ يساوي ٤٥ إذا كان ﺱ أكبر من سالب ستة؟
هذا السؤال يعطينا الدالة المتعددة التعريف د ﺱ. ويطلب منا السؤال بحث نهاية د ﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب ستة. لأول وهلة، ربما نشعر بالقلق من ذلك. بما أن النهاية لدينا، عندما يقترب ﺱ من سالب ستة، موجودة، فيمكننا ملاحظة أن الدالة د ﺱ غير معرفة عند ﺱ يساوي سالب ستة. لكن لا داعي للقلق من ذلك. فعندما نقول إن النهاية، عندما يقترب ﺱ من سالب ستة، موجودة، فإننا نريد أن نعرف ما يحدث عندما يقترب ﺱ أكثر فأكثر من سالب ستة. ولا نحتاج، في الواقع، إلى معرفة ما يحدث عند ﺱ يساوي سالب ستة.
لكن الآن، يمكن أن تظهر المشكلة الثانية أمام أعيننا. فعند ﺱ أقل من سالب ستة، نجد أن الدالة د ﺱ تساوي سالب تسعة ﺱ ناقص تسعة. لكن عند ﺱ أكبر من سالب ستة، فإن الدالة د ﺱ تساوي الثابت ٤٥. فكيف نحسب قيمة النهاية لهذه الدالة عندما يقترب ﺱ من سالب ستة؟ ويمكننا تفادي ذلك بملاحظة النهاية اليسرى والنهاية اليمنى للدالة د ﺱ، بدلًا من حساب نهاية د ﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب ستة. نقول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة د ﺱ موجودة إذا تحققت الخصائص الثلاث التالية. أولًا، يجب أن تكون نهاية الدالة د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من ﺃ من اليسار، موجودة. ثانيًا، يجب أن تكون نهاية الدالة د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من ﺃ من اليمين، موجودة. ثالثًا، يجب أن تكون هاتان النهايتان متساويتين.
إذا تحققت كل هذه الشروط، فإن النهايتين اليسرى واليمنى تساويان قيمة محددة ما هي ﻝ. ومن ثم يمكننا القول إن النهاية، عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة د ﺱ، تساوي ﻝ. وبما أننا نريد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة للدالة د ﺱ، فسوف نجعل ﺃ يساوي سالب ستة. لذا، علينا الآن التحقق مما إذا كانت كل من هذه الخصائص الثلاث متحققة. هيا نبدأ بالتحقق من نهاية الدالة د ﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب ستة من اليسار. بما أننا نحسب النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة من اليسار، فإن جميع قيم ﺱ سوف تكون أقل من سالب ستة. ويمكننا أن نلاحظ من التعريف المتعدد للدالة د ﺱ أنه إذا كان ﺱ أقل من سالب ستة، فإن الدالة د ﺱ تساوي سالب تسعة ﺱ ناقص تسعة بالضبط.
إذن، عندما نحسب النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة من اليسار، فإن الدالة د ﺱ تساوي سالب تسعة ﺱ ناقص تسعة بالضبط. وهذا يعني أن نهايتيهما متساويتان في هذه الحالة. والآن يمكننا ملاحظة أننا نحاول إيجاد قيمة نهاية دالة خطية. ويمكننا فعل ذلك بالتعويض المباشر. بالتعويض عن ﺱ بسالب ستة، نحصل على سالب تسعة في سالب ستة ناقص تسعة، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على ٤٥. وبهذا نكون قد أوضحنا أن النهاية، عندما يقترب ﺱ من سالب ستة للدالة د ﺱ، موجودة. وهي تساوي ٤٥. والآن علينا التحقق من النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة من يمين الدالة د ﺱ. ويمكننا فعل هذا بطريقة مماثلة تمامًا. فبما أن ﺱ يقترب من سالب ستة من اليمين، فستكون قيم ﺱ أكبر من سالب ستة.
وحسب التعريف المتعدد للدالة د ﺱ، تكون الدالة د ﺱ، عند ﺱ أكبر من سالب ستة، مساوية تمامًا للثابت ٤٥. لذا عند ﺱ أكبر من سالب ستة، فإن الدالة د ﺱ تساوي ٤٥ بالضبط. ومن ثم فإن نهايتيهما، عندما يقترب ﺱ من سالب ستة من اليمين، تكونان متساويتين. ونلاحظ الآن أننا نحاول إيجاد قيمة النهاية لثابت. ونعرف أن الثابت لا يتغير بتغير قيمة ﺱ التي لدينا. لذا، فإن النهاية للعدد ٤٥، عندما يقترب ﺱ من سالب ستة من اليمين، ستساوي ٤٥.
وبذلك نكون قد أوضحنا أن النهاية، عندما يقترب ﺱ من سالب ستة من يمين الدالة د ﺱ، موجودة أيضًا. وهي تساوي ٤٥ أيضًا. والشرط الأخير لدينا هو أن تكون النهاية اليسرى والنهاية اليمنى متساويتين. وقد أوضحنا أن كلتا النهايتين تساوي ٤٥. لذا فالشرط الثالث متحقق أيضًا. ونتذكر أنه إذا تحققت جميع هذه الشروط الثلاثة، يمكننا القول إن النهاية، عندما يقترب ﺱ من سالب ستة للدالة د ﺱ، تساوي القيمة المشتركة للنهايتين اليسرى واليمنى، وهي في هذه الحالة ٤٥. من ثم، فإننا لم نوضح فحسب أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب ستة للدالة د ﺱ موجودة، وإنما أوضحنا أيضًا أنها تساوي ٤٥.
