فيديو: طريقة جاوس للحذف

يوضح الفيديو كيفية حل نظام معادلات خطية متعددة المتغيرات على الصورة المثلثية، وطريقة جاوس للحذف لتحويل أي نظام معادلات خطية إلى الصورة المثلثية، وأمثلةً عليها.

٠٨:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

طريقة جاوس للحذف.

في الفيديو ده هنتكلّم عن طريقة حل نظام من المعادلات الخطية متعددة المتغيرات على الصورة المثلثية. وعن طريقة جاوس للحذف؛ لتحويل أي نظام معادلات خطية إلى الصورة المثلثية.

نظام المعادلات الخطية متعددة المتغيرات، هو منظومة من المعادلات الخطية اللي فيها متغيرين أو أكتر. في طريقة الحذف كان بيتمّ إعادة كتابة المعادلات في النظام؛ بحيث إنها تكون على صورة مثلث مقلوب. ويكون المعامل الأول دائمًا بيساوي واحد.

يعني مثلًا هيظهر قدامنا نظام معادلات خطية متعددة المتغيرات. فهنلاحظ إن الطرف الأيمن لنظام المعادلات على شكل مثلث. أول معامل فيه بيساوي واحد. والمعادلة الأخيرة فيها متغيّر واحد. وكل معادلة فوقيها بتحتوي على المتغيرات اللي موجودة في المعادلة اللي تحتيها. يعني المعادلة الأولى فيها المتغيرات اللي موجودة في المعادلة التانية. والمعادلة التانية فيها المتغيرات اللي موجودة في المعادلة التالتة.

وبمجرد إن نظام المعادلات يوصل للشكل ده، بيكون من السهل استخدام التعويض لإيجاد المتغيرات. والمعادلة الأخيرة بتحدِّد قيمة المتغيّر الأخير. في نظام المعادلات اللي قدامنا، المتغيّر الأخير اللي هو ع، بيساوي سالب اتنين من المعادلة الأخيرة. فهنعوّض بالقيمة دي في المعادلة التانية. فالمعادلة هتبقى ص زائد أربعة في سالب اتنين بتساوي سالب خمسة. يعني هتساوي … ص ناقص تمنية بتساوي سالب خمسة. وبجمع تمنية على الطرفين، هنلاقي إن ص بتساوي تلاتة. وبكده عرفنا المتغيّر التاني.

بعدين نعوّض بقيمة المتغيرين في المعادلة الأولى. فالمعادلة هتبقى س ناقص تلاتة ناقص اتنين في سالب اتنين بتساوي خمسة. ده معناه إن س ناقص تلاتة زائد أربعة بتساوي خمسة. وإن س زائد واحد بتساوي خمسة. نطرح واحد من الطرفين. فهنلاقي س بتساوي أربعة. يبقى حل نظام المعادلات هو س بتساوي أربعة. وَ ص بتساوي تلاتة. وَ ع بتساوي سالب اتنين.

نتنقل لصفحة تانية. بنسمي طريقة الحل اللي بتحوّل نظام المعادلات الخطية متعددة المتغيرات إلى نظام مكافئ على الصورة المثلثية بطريقة جاوس للحذف. واتسمّت بالاسم ده؛ نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريك جاوس. والخطوات اللي بنعملها عشان نوصل لنظام مكافئ هتبقي بالشكل ده.

واحد: تغيير ترتيب المعادلات. اتنين: ضرب أحد المعادلات في عدد حقيقي لا يساوي الصفر. تلاتة: جمع مضاعف لأحد المعادلات مع معادلة أخرى.

وهنوضح الخطوات دي في المثال الجاي. نتنقل لصفحة تانية، ونحل مثال.

اكتب نظام المعادلات التالي على الصورة المثلثية باستخدام طريقة جاوس للحذف. ثم أوجد حل النظام.

الخطوة الأولى: المعامل الأول في المعادلة الأولى ما بيساويش واحد. فهنضرب المعادلة في المقلوب الضربي للمعامل الأول، اللي هو واحد على خمسة. فالمعادلة هتبقى واحد على خمسة في خمسة س ناقص خمسة ص ناقص خمسة ع، بتساوي واحد على خمسة في خمسة وتلاتين. ده هيساوي س ناقص ص ناقص ع، بتساوي سبعة. فنظام المعادلات هيبقى بالشكل ده.

ننقل الشكل الجديد لنظام المعادلات لصفحة تانية، ونكمّل حل.

الخطوة التانية: هنلغي معامل س في المعادلة التانية. وبنعمل كده بإننا هنبدّل المعادلة التانية بمجموع المعادلة الأولى والمعادلة التانية. فهنجمع المعادلتين. فهتبقى س ناقص ص ناقص ع بتساوي سبعة. زائد سالب س زائد اتنين ص ناقص تلاتة ع بتساوي سالب اتناشر. ده هيساوي ص ناقص أربعة ع بتساوي سالب خمسة.

فهنكتب المعادلة الجديدة مكان المعادلة التانية. فنظام المعادلات هيبقى بالشكل ده. ننقل نظام المعادلات الجديد لصفحة تانية، ونكمّل حل.

الخطوة التالتة: هنلغي معامل س في المعادلة التالتة؛ بتبديل المعادلة التالتة بسالب تلاتة في المعادلة الأولى زائد المعادلة التالتة. يعني هنضرب المعادلة الأولى في سالب تلاتة، فهتبقى بالشكل ده. بعدين نجمع عليها المعادلة التالتة. بعدين نحسب. فالناتج هيبقى بالشكل ده.

هنكتب المعادلة الجديدة مكان المعادلة التالتة. فنظام المعادلات هيبقى بالشكل ده. ننقل الشكل الجديد لنظام المعادلات في صفحة تانية، ونكمّل حل.

هنلغي معامل ص في المعادلة التالتة. وده بإننا هنبدّلها بسالب واحد في المعادلة التانية، زائد المعادلة التالتة. يعني هنضرب المعادلة التانية في سالب واحد، فهتبقى بالشكل ده. بعدين نجمع عليها المعادلة التالتة. فالناتج هيبقى بالشكل ده. بعدين نكتبها مكان المعادلة التالتة. فنظام المعادلات هيبقى بالشكل ده.

بعدين ننقل الشكل الجديد لنظام المعادلات لصفحة تانية، ونكمّل حل.

الخطوة الخامسة: هنساوي المعامل الأول في المعادلة التالتة بواحد. فهنضرب المعادلة في المقلوب الضربي للمعامل الأول، اللي هو واحد على أربعتاشر. فالمعادلة هتبقى واحد على أربعتاشر في أربعتاشر ع، بتساوي واحد على أربعتاشر في أربعتاشر. وده معناه إن ع بتساوي واحد. فنظام المعادلات هيبقى بالشكل ده. هنلاحظ إن نظام المعادلات دلوقتي بقى على الصورة المثلثية. والمعامل الأول في المعادلات التلاتة بيساوي واحد. وبالتالي من السهل استخدام التعويض لحل نظام المعادلات. فهنعوّض بقيمة ع في المعادلة التالتة في المعادلة التانية. فنوجد قيمة ص. بعدين نعوّض بقيمة ص وقيمة ع في المعادلة الأولى. فنوجد قيمة س.

فحل نظام المعادلات هيبقى س بتساوي سبعة. وَ ص بتساوي سالب واحد. وَ ع يساوي واحد. أو ممكن نعبّر عنه بالصورة: سبعة، سالب واحد، واحد. لاحظ إن تمثيل حل معادلتين في متغيرين بيبقى تقاطع خطين على مستوى. بينما تمثيل حل تلات معادلات في تلات متغيرات، بيبقى تقاطع تلات مستويات في الفراغ.

لو عاوزين نتحقق من الإجابة هنعوّض بالقيم بتاعة س وَ ص وَ ع في نظام المعادلات الأصلي. فإذا المعادلات اتحققت تبقى إجابتنا صحيحة.

وبكده نبقى خلّصنا الفيديو ده. اللي اتكلمنا فيه عن طريقة حل نظام من المعادلات الخطية متعددة المتغيرات على الصورة المثلثية، وعلى طريقة جاوس للحذف.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.