فيديو السؤال: إيجاد متجه عزم قوتين توثران على أضلاع متوازي مستطيلات حول نقطة الأصل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في الشكل التالي، أوجد مجموع متجهات العزم للقوتين ٨٦ و٦٥ نيوتن حول ﻭ بالنيوتن سنتيمتر.

في هذا السؤال، سنحسب متجهات العزم لقوتين مختلفتين. وبهدف التوضيح، دعونا نسم هذه القوة الأولى التي تساوي ٨٦ نيوتن ﻕ واحدًا، والقوة الثانية التي تساوي ٦٥ نيوتن ﻕ اثنين. لحساب عزم أي قوة حول نقطة، يمكننا استخدام الصيغة ﺝ يساوي ﺭ ضرب اتجاهي ﻕ؛ حيث ﺝ وﺭ وﻕ هي كميات متجهة كلها.

قبل أن نباشر الحل، سنسترجع معًا بإيجاز ما يمثله كل حد من هذه الحدود. ﺝ هو العزم بالطبع. على الرغم من أنه يمكننا التفكير في العزوم على أنها كميات دورانية، فلا يزال بإمكاننا تمثيلها باستخدام المتجهات. وبالطبع، مقدار المتجه يمثل مقدار العزم. يعطينا اتجاه المتجه محور دوران العزم، كما يعطينا اتجاه الدوران في فضاء ثلاثي الأبعاد. وقد علمنا بالفعل أن ﻕ يمثل القوى. لكن لاحظ أن ﻕ في هذه الصيغة كمية متجهة، وسيتضح لنا أهمية ذلك في الحال. وأخيرًا، ﺭ هو متجه موضع النقطة التي تؤثر عندها القوة ﻕ.

لفهم ذلك بشكل أوضح، دعونا نستخدم الشكل المعطى. تؤثر القوة الأولى، ﻕ واحد، عند النقطة ﺟ. بعد ذلك، نتذكر أنه عند التعامل مع العزوم، فإننا نحسب قيمتها حول نقطة معينة. المطلوب منا في هذا السؤال هو حساب العزوم حول النقطة ﻭ، التي سنعتبرها نقطة الأصل للنظام. بالنسبة للقوة الأولى ﻕ واحد، نحتاج إلى متجه موضع النقطة ﺟ، أي المتجه من ﻭ إلى ﺟ. يمكننا الآن تحديد ذلك على الشكل، وسنسميه المتجه ﺭ واحد، وسوف نعود إليه لاحقًا. رائع، والآن بعد أن عرفنا ما يعنيه كل حد من الحدود، هيا ننتقل إلى الخطوات الحسابية.

في هذه المرحلة، نتذكر أنه يمكن حساب حاصل الضرب الاتجاهي باستخدام محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة كما هو موضح هنا. لن نتوسع أكثر في تناول هذه الخطوة. ولكن للتذكير سريعًا، نجد أن عناصر الصف الأول هي متجهات الأساس ﺱ وﺹ وﻉ، والصف الثاني هو مركبات متجه الموضع ﺭ، والصف الثالث هو مركبات القوة ﻕ. وتذكر أن حاصل الضرب الاتجاهي ليس عملية إبدالية، ما يعني أن ﺭ ضرب اتجاهي ﻕ لا يساوي ﻕ ضرب اتجاهي ﺭ. وهذا يعني أننا إذا بدلنا عن طريق الخطأ ترتيب الصفين الثاني والثالث في المحدد لدينا، فسنحصل على متجه عزم يشير في الاتجاه المعاكس.

هناك ملاحظة جانبية أخيرة قبل أن نمضي في الحل، تذكر أن السؤال يطلب منا التعبير عن العزم بوحدة النيوتن سنتيمتر. بما أن القوى معطاة بالنيوتن، وجميع الأبعاد في النظام بالسنتيمتر، فلن نحتاج إلى إجراء أي تحويلات في الوحدات أثناء الإجابة عن هذا السؤال. حسنًا، لحساب عزم القوة التي مقدارها ٨٦ نيوتن حول نقطة الأصل، سنحتاج أولًا إلى متجه الموضع، الذي أطلقنا عليه ﺭ واحدًا. بالنظر إلى الشكل لدينا، نلاحظ أن النقطة ﺟ لها إزاحة تساوي ثمانية سنتيمترات في اتجاه المحور ﺱ.

لكن مرة أخرى، سنتجاهل هنا وحدات السنتيمتر؛ لذا سنكتب فقط ثمانية ﺱ. النقطة ﺟ ليس لها إزاحة في الاتجاه ﺹ. ومع ذلك، فإن لها إزاحة تساوي ست وحدات في اتجاه المحور ﻉ. هذا يعني أن متجه الموضع ﺭ واحد يساوي ثمانية ﺱ زائد ستة ﻉ. في هذه الخطوة، استخدمنا القياسات الموجودة في الشكل المعطى لمتوازي المستطيلات؛ لنحصل على مركبتي متجه الموضع.

يمكننا أن نستخدم متوازي المستطيلات أيضًا لاستنتاج مركبات متجه القوة ﻕ واحد. نحن نعلم من السؤال أن مقدار ﻕ واحد يساوي ٨٦ نيوتن. لكن بالنظر إلى الشكل لدينا، نلاحظ أن هذا المتجه يشير إلى اتجاه المحور ﺹ، ما يعني أنه ليس لديه مركبة في اتجاه ﺱ وﻉ على الإطلاق. من ثم، يمكننا تمثيل المتجه ﻕ واحد على أنه يساوي ٨٦ﺹ. لاحظ أنه يمكننا كتابة ﺭ واحد وﻕ واحد على الصورة المتجهة كما هو موضح. وكما ذكرنا من قبل، سنحسب عزم القوة الأولى، الذي سنسميه ﺝ واحدًا، باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺭ واحد وﻕ واحد. يمكننا فعل ذلك باستخدام محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وذلك بعد التعويض عن قيمتي المركبة ﺭ واحد وﻕ.

وإيجاد قيمة هذا الضرب الاتجاهي يعد عملية حسابية مطولة لا يسعنا كتابتها بالكامل هنا. جدير بالملاحظة أنه لدينا في هذه الحالة تحديدًا بضعة عناصر مفيدة، مثل الأصفار، من شأنها أن تختصر العمليات الحسابية. بالنسبة إلى المركبة ﺱ لهذا العزم، لدينا صفر في صفر، وهو ما يساوي صفرًا بالطبع، ناقص ٨٦ في ستة. وبالنسبة إلى سالب المركبة ﺹ، سيكون لدينا ثمانية في صفر ناقص صفر في ستة. من ثم، سيلغى هذا الحد. وبالنسبة إلى المركبة ﻉ، سيكون لدينا ثمانية في ٨٦ ناقص صفر في صفر. بتبسيط كل هذه الحدود، نحصل على العزم ﺝ واحد للقوة الأولى. وهو يساوي سالب ٥١٦ﺱ زائد ٦٨٨ﻉ.

حسنًا، كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد عزم القوة الثانية، الذي سنسميه ﺝ اثنين. وسنضيف ذلك إلى ﺝ واحد. دعونا نفرغ بعض المساحة للقيام بذلك. تؤثر القوة ﻕ اثنان عند النقطة ﺡ، وﺭ اثنان هو متجه موضع ﺡ، ويجب أن نلاحظ أن هذا المتجه يساوي تسع وحدات في اتجاه ﺹ، وست وحدات في اتجاه ﻉ. هذا يعني أن المتجه يساوي تسعة ﺹ زائد ستة ﻉ. أما متجه القوة ﻕ اثنين، فهو أكثر صعوبة قليلًا. نعرف أن مقداره يساوي ٦٥ نيوتن. لكن بما أنه لا يشير ببساطة في أحد الاتجاهات الأصلية الأربعة، فعلينا إيجاد مركبتيه.

للقيام بذلك، سنستخدم الشكل مرة أخرى. دعونا نفكر فيما يمكننا استنتاجه إذا نظرنا إلى هذا الجزء من منظور جانبي. وبناء على ذلك، سنحصل على الشكل الآتي. تؤثر القوة ﻕ اثنان لدينا في المستوى الذي يوازي المستوى ﺱﻉ. ومن ثم، فهي لا تحتوي على أي مركبة في الاتجاه ﺹ، ومن ثم يمكننا صنع مثلث قائم الزاوية مع المركبتين ﺱ وﻉ. يمكننا أن نلاحظ أن هذا المتجه له مركبة في الاتجاه السالب للمحور ﻉ وفي الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. لإيجاد المركبات بدقة، يمكننا استخدام القياسات المعطاة في الشكل لنحصل على نسب أطوال الأضلاع. نلاحظ أن القوة ﻕ اثنين تصل بين قطري السطح العلوي لمتوازي المستطيلات.

على الرغم من أن المركبتين لا تساويان ستة وثمانية بشكل مباشر، يمكننا القول إن هذا المثلث سيكون له التناسبان نفسهما. وهذا يعني أن طول الضلع له النسبة ستة إلى ثمانية. ويمكننا تمثيل ذلك بالصورة ستة ﻡ وثمانية ﻡ إذا أردنا أن نكون أكثر دقة. الآن، يمكننا المتابعة وإيجاد نسبة الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس، لكن ثمة طريقة مختصرة وسهلة يمكننا استخدامها هنا. لعلنا نعرف أنه عندما نقول إن شيئًا يمثل النسبة ستة إلى ثمانية فهذا يعني أيضًا أنه يمثل النسبة ثلاثة إلى أربعة. وبناء عليه، يمكننا بسهولة تعريف المثلث على أنه يمثل ثلاثية فيثاغورس ثلاثة - أربعة - خمسة.

إذن، خطوتنا الأخيرة هي إيجاد المثلث القائم الزاوية الذي له نسب تساوي ثلاثة – أربعة – خمسة، ووتر مقداره ٦٥. باستخدام الثابت ﻡ الذي لدينا، يمكننا القول إن خمسة ﻡ يساوي ٦٥، ومن ثم ﻡ يساوي ١٣. هذا يعني أن مركبتي ﺱ وﻉ هما ٥٢ و٣٩، على الترتيب. وبالرغم من أن طول الضلع الأقصر في هذا المثلث يساوي ٣٩ وحدة، تجدر الإشارة إلى أن مركبة القوة تشير فعليًّا في الاتجاه السالب لـ ﻉ. ومن ثم، تساوي المركبة سالب ٣٩. حسنًا، باستخدام ثلاثية فيثاغورس، نجد أن القوة ﻕ اثنين تحتوي على المركبتين ٥٢ في اتجاه المحور ﺱ، وسالب ٣٩ في اتجاه المحور ﻉ.

يمكننا الآن المتابعة لإيجاد قيمة ﺝ اثنين، وهو عزم القوة الثانية، باستخدام محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة كما فعلنا من قبل. موضح هنا الخطوات الحسابية التي يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة هذا المحدد. إذا بسطنا ذلك، فسنحصل في النهاية على قيمة ﺝ اثنين. لدينا الآن متجها العزم ﺝ واحد وﺝ اثنان، والخطوة الأخيرة المتبقية هي جمعهما معًا. دعونا نفرغ بعض المساحة للقيام بذلك.

يمكننا جمع هذين العزمين معًا عن طريق جمع المركبات ﺱ وﺹ وﻉ للمتجهات كل على حدة. لاحظ أن ﺝ واحد لا تحتوي على مركبة ﺹ. لذا سنضيف المركبة ﺹ لـ ﺝ اثنين. وبتبسيط ذلك، يصبح لدينا سالب ٨٦٧ﺱ زائد ٣١٢ﺹ زائد ٢٢٠ﻉ. وهذه هي إجابة السؤال. لقد أوجدنا مجموع متجهي العزم للقوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين حول نقطة الأصل ﻭ. تذكر أن الإجابة هي بالفعل بوحدة نيوتن سنتيمتر كما هو مطلوب في السؤال. هذا لأننا استخدمنا على مدار العمليات الحسابية وحدة السنتيمترات لمتجه الموضع ﺭ، ووحدة النيوتن للقوة ﻕ.