فيديو: امتحان الإحصاء • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثالث

امتحان الإحصاء • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثالث

٠٧:٣٧

‏نسخة الفيديو النصية

صندوق به عشر كرات بيضاء، وخمستاشر كرة حمراء. إذا سُحِبت كرتان على التوالى دون إحلال، فأوجد احتمال … أ: أن تكون الكرتان حمراوين. ب: أن تكون الكرة الثانية حمراء بشرط أن تكون الأولى بيضاء. ج: أن تكون الكرة الثانية بيضاء بشرط أن تكون الأولى حمراء.

فعشان نقدر نجاوب على السؤال ده، هنحتاج نستخدم الشجرة البيانية. فعند سحب أول كرة من الصندوق، هيبقى عندنا نتيجتين ممكن نحصل عليهم، اللي همّ إن الكرة اللي نسحبها تكون لونها أبيض أو أحمر. فبالتالي هتبقى هي دي نتائج السحبة الأولى. بعد كده بالنسبة للسحبة التانية، فلو فرضنا إن في السحبة الأولى كانت الكرة اللي عندنا كرة بيضاء. فهيبقى عندنا في السحبة التانية نتيجتين ممكن نحصل عليهم، واللي همّ برضو أن تكون الكرة بيضا أو حمرا. وبنفس الطريقة لو كانت السحبة الأولى كرة حمرا. فبالتالي في السحبة التانية هيبقى عندنا نتيجتين، اللي همّ برضو بيضاء أو حمراء. فبكده يبقى إحنا كونَّنا شجرة بيانية. بعد كده عايزين نوجد الاحتمالات.

وفي الأول لما نيجي نشوف السؤال، هنلاحظ إن معطى عندنا إن سُحبت كرتان على التوالي دون إحلال. ودون إحلال معناها إننا لما ننسحب أول كرة من الصندوق مش هنرجعها تاني. يعني معنى كده إن عدد الكرات اللي داخل الصندوق هتقل بمقدار واحد. أو بمعنى آخر إن فضاء عينة السحبة التانية هتقل بمقدار واحد من فضاء عينة السحبة الأولى. وبالتالي هتكون احتمالات السحبة التانية هي احتمالات مشروطة بالسحبة الأولى.

بعد كده لما نيجي نشوف الاحتمالات اللي عندنا، هنلاحظ إن لو سحبنا الكرة الأولى باللون الأبيض. فهيبقى الاحتمال هو عبارة عن عشرة، اللي هو عدد الكرات البيضاء، على عدد نتائج فضاء العينة، واللي هيبقى عندنا بخمسة وعشرين؛ لأن عندنا هنا عشر كرات وخمستاشر كورة. فهيبقى المجموع خمسة وعشرين. وأما في حالة إن السحبة الأولى كانت كرة حمراء. فهيبقى الاحتمال هو خمستاشر اللي هو عدد الكرات الحمراء، على خمسة وعشرين اللي هو عدد الكرات الكلي. فبالتالي هيبقى احتمال إن الكرة الأولى حمراء بيساوي خمستاشر على خمسة وعشرين. بعد كده هنبدأ نوجد احتمالات السحبة التانية. وزي ما عرفنا إن فضاء عينة السحبة التانية هتقل بمقدار واحد من فضاء عينة السحبة الأولى. فمعنى كده إن في جميع احتمالات السحبة التانية، هيبقى عندنا البسط هو أربعة وعشرين اللي عدد الكرات الكلي؛ لأن زي ما عرفنا إن سُحبت الكراتان على التوالي دون إحلال. وعشان كده هيبقى عدد الكرات الكلي قَلّ بمقدار واحد اللي هي اتسحبت في السحبة الأولى.

بعد كده هنوجد احتمال إن في السحبة التانية اتسحبت كرة بيضاء. فهنلاحظ إن الاحتمال اللي عندنا ده كان إن السحبة التانية كرة بيضاء، بعد ما كانت السحبة الأولى أيضًا باللون الأبيض. فمعنى كده إن عدد الكرات البيضاء اللي هو كان عشرة في السحبة الأولى، هيقل بمقدار واحد؛ يعني هيبقى تسعة. وبالتالي هيبقى احتمال إن الكرة التانية بيضاء هو تسعة على أربعة وعشرين.

وأما لو كانت السحبة التانية الكرة باللون الأحمر، ففي الحالة دي عدد الكرات الحمراء هيفضل خمستاشر زي ما هو؛ وده لأن السحبة الأولى هناك كانت كرة بيضاء. فبالتالي عدد الكرات الحمراء ما اتغيرش. يعني معنى كده إن خمستاشر على أربعة وعشرين، هيكون عبارة عن احتمال أن تكون الكرة التانية حمراء، بشرط أن تكون الأولى بيضاء.

بعد كده هنبدأ نوجد احتمال إن السحبة التانية تكون كرة بيضاء إذا كانت الأولى كرة حمراء. وبما إن السحبة الأولى كانت كرة حمراء. فبالتالي عدد الكرات البيضاء مش هيتغير وهيفضل عشرة زي ما هو. فبالتالي هيبقى عشرة على أربعة وعشرين هو عبارة عن احتمال أن تكون الكرة التانية بيضاء إذا كانت الأولى حمراء، أو بشرط أن تكون الأولى حمراء. وأما آخر احتمال عايزين نوجده، وهو إن السحبة التانية تكون كورة باللون الأحمر، إذا كانت السحبة الأولى برضو باللون الأحمر. فمعنى كده إن في السحبة التانية هيبقى عدد الكرات الحمراء هيقِلّ بمقدار واحد. يعني هيبقى عدد الكرات الحمراء في السحبة التانية هو أربعتاشر؛ لأنه قَلّ بمقدار واحد عن السحبة الأولى؛ لأنها كانت باللون الأحمر برضو. فبكده يبقى إحنا أوجدنا الاحتمالات اللي عندنا. بعد كده هنبدأ نشوف المطاليب اللي عندنا في السؤال.

فهنبدأ نشوف المطلوب أ، اللي هو أوجد احتمال أن تكون الكرتان حمراوين.

فبالتالي هيبقى احتمال أن تكون الكرتان حمراوين هو عبارة عن احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء، اللي هو خمستاشر عدد الكرات الحمراء على خمسة وعشرين. في احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء، واللي هو هيبقى عبارة عن أربعتاشر؛ وده لأن عدد الكرات الحمراء قَلّت بمقدار واحد اللي اتسحبت في السحبة الأولى، على … على أربعة وعشرين اللي هو عدد الكرات الكلي بعد ما سحبنا كرة في السحبة الأولى.

وكنا نقدر برضو نوجد احتمال أن تكون الكرتان حمراوين باستخدام الشجرة البيانية اللي عملناها. فهيبقى احتمال أن تكون الكرتان حمراوين، بيساوي احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء اللي هو خمستاشر على خمسة وعشرين. في احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء، بشرط أن تكون الأولى حمراء، اللي هو أربعتاشر على أربعة وعشرين. فبالتالي لما نوجد حاصل ضرب خمستاشر على خمسة وعشرين في أربعتاشر على أربعة وعشرين، هتبقى بتساوي سبعة على عشرين. وبالتالي هيبقى هو ده احتمال أن تكون الكرتان حمراوين. وهتبقى هي دي إجابة المطلوب أ في السؤال.

بعد كده هنبدأ نشوف المطلوب ب، واللي هو أوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء، بشرط أن تكون الأولى بيضاء. وزي ما عرفنا إن احتمالات السحبة التانية هتكون احتمالات مشروطة بالسحبة الأولى. فبالتالي عشان نوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء، بشرط أن تكون الأولى بيضاء، يبقى عايزين نشوف في الشجرة البيانية اللي عندنا. وهندوّر على إن السحبة الأولى تكون باللون الأبيض، اللي هي دي. وبعد كده السحبة التانية تكون باللون الأحمر. فبالتالي هيبقى خمستاشر على أربعة وعشرين هو احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء، بشرط أن تكون الأولى بيضاء. فبالتالي هيبقى الاحتمال هو خمستاشر على أربعة وعشرين. ونقدر نبسَّط الكسر فهيبقى بيساوي خمسة على تمنية. وبالتالي هيبقى خمسة على تمنية هو احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء، بشرط أن تكون الأولى بيضاء. وهتبقى دي إجابة المطلوب ب في السؤال.

بعد كده نبدأ نشوف المطلوب ج. والمطلوب ج هو إننا نوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية بيضاء، بشرط أن تكون الأولى حمراء. فهنوجد الاحتمال ده بنفس الفكرة اللي أوجدنا بيها الاحتمال في المطلوب ب. لكن في المطلوب ج عايزين نوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية بيضاء، بشرط أن تكون الأولى حمراء. يعني هنيجي عند السحبة الأولى في الشجرة البيانية وهنختار الكرة الحمراء. وبعد كده عايزين تكون الكرة اللي في السحبة التانية بيضاء. فبالتالي هيبقى عشرة على أربعة وعشرين هو احتمال أن تكون الكرة الثانية بيضاء، بشرط أن تكون الأولى حمراء. فهيبقى الاحتمال هو عشرة على أربعة وعشرين. ونقدر نبسّط الكسر فهيبقى بيساوي خمسة على اتناشر.

وبالتالي هيبقى احتمال أن تكون الكرة الثانية بيضاء بشرط أن تكون الأولى حمراء هو خمسة على اتناشر. وهتبقى هي دي إجابة المطلوب ج في السؤال. وبكده يبقى إحنا جاوبنا على جميع مطاليب السؤال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.