نسخة الفيديو النصية
إذا كانت النقاط ﺱ، واحد؛ وثلاثة، ﺱ؛ وصفر، سالب اثنين تقع على استقامة واحدة، فاستخدم المحددات لإيجاد جميع قيم ﺱ الممكنة. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
في هذا السؤال، لدينا ثلاث نقاط مع قيم غير معروفة لـ ﺱ. ونعلم من المعطيات أن هذه النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة، وعلينا استخدام المحددات لتحديد كل قيم ﺱ الممكنة. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر كيف نستخدم المحددات لتحديد إذا ما كانت ثلاث نقاط على استقامة واحدة.
نتذكر أنه إذا كان لدينا ثلاث نقاط مختلفة: ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ وﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة؛ تكون هذه النقاط على استقامة واحدة إذا كان محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة: ﺱ واحد، ﺹ واحد، واحد؛ ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، واحد؛ ﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة، واحد، يساوي صفرًا. وإذا كان هذا المحدد لا يساوي صفرًا، فإن النقاط الثلاث لا تقع على استقامة واحدة.
وتجدر الإشارة إلى أن هذه الخاصية تنطبق على نحو مزدوج. فإذا كان لدينا ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة، فإننا نعرف أن المحدد يساوي صفرًا. وإذا كان المحدد يساوي صفرًا، فإننا نعرف أن النقاط الثلاث تكون على استقامة واحدة. ويمكننا أن نطرح قاعدة شبيهة في حالة وجود ثلاث نقاط مختلفة ليست على استقامة واحدة. فإذا كان محدد هذه المصفوفة لا يساوي صفرًا، فإن النقاط الثلاث لا تقع على استقامة واحدة. وإذا كان لدينا ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة، فإن المحدد غير صفري.
ومن ثم، بما أننا نعلم أن النقاط الثلاث المعطاة في المسألة على استقامة واحدة، فإن محدد هذه المصفوفة الذي نعوض فيه بإحداثيات هذه النقاط الثلاث يجب أن يساوي صفرًا. وهكذا محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة: ﺱ، واحد، واحد؛ ثلاثة، ﺱ، واحد؛ صفر، سالب اثنين، واحد يساوي صفرًا. والآن، إذا فككنا هذا المحدد، فسنحصل على معادلة بدلالة ﺱ.
وهناك بعض الطرق المختلفة التي يمكننا بها إيجاد قيمة هذا المحدد. سنفك باستخدام العمود الأول لأنه يحتوي على قيمة تساوي صفرًا. وتذكر أنه عند الفك باستخدام صف أو عمود، فإن زوجية أو فردية مجموع رقم الصف ورقم العمود سوف تؤثر على إشارة هذا الحد. وعلى وجه التحديد، إذا كان رقم الصف زائد رقم العمود زوجيًّا، فستكون الإشارة لدينا موجبة؛ وإذا كان فرديًّا، فسنحصل على إشارة سالبة.
نحن الآن جاهزون لإيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة من خلال الفك باستخدام العمود الأول. نضرب موجب ﺱ في المصفوفة الصغرى التي نحصل عليها بحذف الصف الأول والعمود الأول. هذا هو محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: ﺱ، واحد؛ سالب اثنين، واحد. بعد ذلك، نكرر الأمر نفسه مع العنصر الثاني في هذا العمود. ولا تنس أن علينا ضرب هذا في سالب واحد. نحصل على سالب ثلاثة في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: واحد، واحد؛ سالب اثنين، واحد. وأخيرًا، علينا الفك باستخدام العنصر الثالث في العمود، ولكنه يساوي صفرًا. إذن، الحد الثالث يحتوي على صفر، ويساوي صفرًا. وهذا يعطينا التعبير ﺱ في المحدد: ﺱ، واحد، سالب اثنين، واحد ناقص ثلاثة؛ في المحدد: واحد، واحد، سالب اثنين، واحد.
علينا الآن إيجاد قيمة هذا التعبير. نتذكر أنه لإيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، علينا إيجاد الفرق بين حاصل ضرب القطرين. محدد المصفوفة الأولى يساوي ﺱ في واحد ناقص سالب اثنين في واحد، وهو ما يساوي ﺱ زائد اثنين. ومحدد المصفوفة الثانية يساوي واحدًا في واحد ناقص واحد في سالب اثنين، وهو ما يساوي واحدًا زائد اثنين. وهذا يعطينا ﺱ في ﺱ زائد اثنين ناقص ثلاثة في واحد زائد اثنين، وبعد التوزيع والتبسيط، نحصل على ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص تسعة.
وتذكر أنه نظرًا لأن النقاط الثلاث على استقامة واحدة، فإننا نعرف أن هذا التعبير لا بد أن يساوي صفرًا. ومن ثم، لدينا معادلة تربيعية بدلالة ﺱ. يمكننا تجربة حل هذه المعادلة عن طريق التحليل. لكننا نلاحظ أن هذا صعب جدًّا. لذا، بدلًا من ذلك، سنحل هذه المعادلة باستخدام القانون العام. تذكر أنه ينص على أنه إذا كانت لدينا معادلة تربيعية ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، فإن جذري هذه المعادلة يساويان سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل على اثنين ﺃ. ولدينا افتراضان. أولًا، قيمة ﺃ لا يمكن أن تساوي صفرًا؛ لأن هذه معادلة تربيعية. وبعد ذلك، المميز ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ لا يمكن أن يكون سالبًا، وإلا فلن يكون لدينا حلول حقيقية.
في الحالة التي لدينا، قيمة ﺃ تساوي واحدًا، وﺏ تساوي اثنين، وﺟ تساوي سالب تسعة. سنعوض بهذه القيم في القانون العام. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على قيمتين محتملتين للجذور. لدينا ﺱ يساوي سالب اثنين زائد الجذر التربيعي لاثنين تربيع ناقص أربعة في واحد في سالب تسعة الكل مقسوم على اثنين في واحد، وﺱ يساوي سالب اثنين ناقص الجذر التربيعي لاثنين تربيع ناقص أربعة في واحد مضروبًا في سالب تسعة الكل مقسوم على اثنين في واحد.
يمكننا البدء في تبسيط هذه التعابير. لكن السؤال لا يطلب سوى تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. على الرغم من أن ذلك ليس ضروريًّا، يمكننا إيجاد تعابير دقيقة للجذور. الجذر الأول هو سالب واحد زائد جذر ١٠، والجذر الثاني هو سالب واحد ناقص جذر ١٠. يمكننا بعد ذلك استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيمة العشرية لهذين الجذرين. الجذر الأول يساوي ٢٫١٦٢ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالنسبة إلى الجذر الثاني، فهو يساوي سالب ٤٫١٦٢ وهكذا مع توالي الأرقام. وفي كلتا الحالتين، كان الرقم العشري الثالث يساوي اثنين. إذن، يمكننا فقط حذف المفكوك العشري، فنحصل على الجذرين ٢٫١٦ وسالب ٤٫١٦ لأقرب منزلتين عشريتين.
وبذلك، تمكنا من توضيح أنه إذا كانت النقاط الثلاث ﺱ، واحد؛ وثلاثة، ﺱ؛ وصفر، سالب اثنين على استقامة واحدة، فإن لدينا قيمتين محتملتين لـ ﺱ. إذن، الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين تساوي ٢٫١٦ وسالب ٤٫١٦.
