فيديو السؤال: إيجاد معادلة العمودي على منحنى معادلته معرفة ضمنيًّا عند نقطة معطاة الرياضيات

عند النقطة (٠‎، −٢)، أوجد معادلة العمودي على المنحنى الذي تمثله المعادلة ٦ﺱ^٣ + ٢ﺱ^٢ + ٢ﺱ − ٩ﺹ^٢ − ٨ﺹ + ٢٠ = ٠.

٠٩:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

عند النقطة صفر، سالب اثنين، أوجد معادلة العمودي على المنحنى الذي تمثله المعادلة ستة ﺱ تكعيب زائد اثنين ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص تسعة ﺹ تربيع ناقص ثمانية ﺹ زائد ٢٠ يساوي صفرًا.

حسنًا، مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد معادلة العمودي على المنحنى المعرف ضمنيًّا بالمعادلة ستة ﺱ تكعيب زائد اثنين ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص تسعة ﺹ تربيع ناقص ثمانية ﺹ زائد ٢٠ يساوي صفرًا عند النقطة صفر، سالب اثنين. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا استرجاع معنى أن يكون هناك خط عمودي على منحنى.

لعلنا نتذكر أننا نقول إن الخط عمودي على منحنى عند نقطة ما إذا كان عموديًّا على مماس المنحنى عند تلك النقطة. ونحن نعرف أنه إذا كان مماس المنحنى عند هذه النقطة له الميل ﻡ، فإن ميل العمودي على هذا المنحنى عند تلك النقطة لا بد أن يساوي سالب واحد مقسومًا على ﻡ. تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه إذا كان خط المماس أفقيًّا عند هذه النقطة، فإن الخط العمودي سيكون رأسيًّا. وهذا يعني، من الناحية العملية، أن قيمة ميله ستكون غير معرفة. والعكس صحيح. إذا كان الخط العمودي أفقيًّا، فإن خط المماس سيكون رأسيًّا.

إذن لإيجاد معادلة العمودي على المنحنى عند النقطة صفر، سالب اثنين، علينا إيجاد ميل مماس المنحنى عند النقطة صفر، سالب اثنين. وبما أننا نعلم أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يخبرنا بميل المماس، فيمكننا إيجاد ميل المماس باشتقاق طرفي المعادلة الضمنية بالنسبة إلى ﺱ. هذا يعطينا مشتقة ستة ﺱ تكعيب زائد اثنين ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص تسعة ﺹ تربيع ناقص ثمانية ﺹ زائد ٢٠ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة صفر بالنسبة إلى ﺱ.

يمكننا حساب ذلك عن طريق اشتقاق كل حد على حدة. إننا نعلم أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لصفر تساوي صفرًا. يمكننا إيجاد مشتقة ستة ﺱ تكعيب واثنين ﺱ تربيع واثنين ﺱ و٢٠ بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. سنضرب في الأس ثم نقلل الأس بمقدار واحد. لاشتقاق سالب تسعة ﺹ تربيع وسالب ثمانية ﺹ، علينا ملاحظة أن ﺹ دالة في المتغير ﺱ.

بما أن ﺹ دالة في ﺱ، فيمكننا اشتقاقها باستخدام قاعدة السلسلة. هذا يعطينا مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺹ مضروبة في مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وعليه، يصبح لدينا مشتقة سالب تسعة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة سالب تسعة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺹ مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ. ويمكننا اشتقاق سالب تسعة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺹ باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. وهذا يعطينا سالب ١٨ﺹ.

يمكننا فعل الأمر نفسه لاشتقاق سالب ثمانية ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. هذا يعطينا مشتقة سالب ثمانية ﺹ بالنسبة إلى ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. ويمكننا اشتقاق سالب ثمانية ﺹ بالنسبة إلى ﺹ باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. وهذا يساوي سالب ثمانية. إذن، أصبح لدينا الآن ١٨ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد اثنين ناقص ١٨ﺹﺩﺹ على ﺩﺱ ناقص ثمانية ﺩﺹ على ﺩﺱ زائد صفر يساوي صفرًا.

إننا نريد إيجاد ميل المماس عند النقطة صفر، سالب اثنين؛ لنتمكن من إيجاد ميل العمودي عند هذه النقطة. ولفعل ذلك، علينا إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث يكون ﺩﺹ على ﺩﺱ هو المتغير التابع. سنطرح ١٨ﺱ تربيع وأربعة ﺱ واثنين من طرفي هذه المعادلة. وسنأخذ ﺩﺹ على ﺩﺱ عاملًا مشتركًا من الحدين المتبقيين بالطرف الأيمن من المعادلة. وهذا يعطينا سالب ١٨ﺹ ناقص ثمانية مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ١٨ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ ناقص اثنين.

يمكننا بعد ذلك جعل ﺩﺹ على ﺩﺱ المتغير التابع في هذه المعادلة بقسمة طرفي المعادلة على سالب ١٨ﺹ ناقص ثمانية. هذا يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ١٨ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ ناقص اثنين الكل مقسوم على سالب ١٨ﺹ ناقص ثمانية. يمكننا تبسيط ذلك بحذف العامل المشترك سالب اثنين من البسط والمقام، ما يجعلنا نحصل على تسعة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد واحد، الكل مقسوم على تسعة ﺹ زائد أربعة.

بما أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يخبرنا بميل المماس، فيمكننا إيجاد ميل مماس المنحنى عند النقطة صفر، سالب اثنين بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي سالب اثنين. هذا يعطينا ميل مماس المنحنى عند النقطة صفر، سالب اثنين يساوي تسعة في صفر تربيع زائد اثنين في صفر زائد واحد، الكل مقسوم على تسعة في سالب اثنين زائد أربعة، وبحساب ذلك نحصل على سالب واحد مقسومًا على ١٤.

لكن هذا هو ميل المماس. يمكننا إيجاد ميل العمودي بحساب سالب واحد مضروبًا في مقلوب هذه القيمة. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن ميل العمودي على المنحنى عند النقطة صفر، سالب اثنين يساوي سالب واحد مضروبًا في مقلوب سالب واحد مقسومًا على ١٤، وهو ما يساوي ١٤. لكن مطلوب منا في السؤال إيجاد معادلة العمودي على المنحنى عند هذه النقطة. هناك عدة طرق لإيجاد معادلة هذا الخط المستقيم. على سبيل المثال، يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم على الصورة ﺹ يساوي ميل الخط المستقيم في ﺱ زائد الجزء المقطوع من المحور ﺹ، وسنطلق عليه ﺟ.

في الواقع، نحن نحاول إيجاد معادلة العمودي على المنحنى عند النقطة صفر، سالب اثنين. هذا يعني أنه يمر بالنقطة صفر، سالب اثنين. وإذا كان الخط المستقيم يمر بالنقطة صفر، سالب اثنين التي تقع على المحور ﺹ، فهذا يعني أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي سالب اثنين. إذن، ﺟ يساوي سالب اثنين. ومعادلة العمودي على المنحنى عند النقطة صفر، سالب اثنين هي ﺹ يساوي ١٤ﺱ ناقص اثنين. يمكننا إعادة ترتيب ذلك لنحصل على ﺹ ناقص ١٤ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أن معادلة العمودي على المنحنى الممثل بالمعادلة ستة ﺱ تكعيب زائد اثنين ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص تسعة ﺹ تربيع ناقص ثمانية ﺹ زائد ٢٠ يساوي صفرًا هي ﺹ ناقص ١٤ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.