نسخة الفيديو النصية
أوجد طول ﺏﺟ لأقرب عدد صحيح.
بالنظر إلى الشكل المعطى، نلاحظ أن لدينا دائرة. يوجد مستقيم مماسي ﺃﺩ، وقطعة قاطعة ﺃﺟ، وهي تقطع الدائرة عند النقطتين ﺏ وﺟ. لدينا طول القطعة المستقيمة من النقطة ﺃ إلى نقطة التقاء المماس بالدائرة. ومطلوب منا إيجاد طول ﺏﺟ، وهو قطعة مستقيمة تنتمي إلى القاطع. نلاحظ أيضًا من الشكل أن هاتين العلامتين تشيران إلى أن القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺏﺟ متساويتان في الطول. وعليه، أيًّا يكن طول ﺏﺟ، فإنه سيكون نفس طول ﺃﺏ. وسيساوي طوله أيضًا نصف طول ﺃﺟ.
بما أننا نتعامل مع أطوال المماسات والقواطع لدائرة، نتذكر إذن نظرية المماس والقاطع. إنها حالة خاصة لنظرية القواطع المتقاطعة، التي يمكن تطبيقها عندما يكون أحد المستقيمات مماسًّا. وتكون كما هو موضح في الشكل. فإذا كان هناك مماس ﻫﺟ لدائرة وكان هناك قاطع ﻫﺃ لهذه الدائرة، وكان يقطع الدائرة أولًا عند ﺏ ثم عند ﺃ، فإن ﻫﺟ تربيع يساوي ﻫﺏ مضروبًا في ﻫﺃ.
لنر إذا ما كان بإمكاننا التعرف على الأطوال المختلفة في الشكل الذي لدينا. ﻫﺟ هو طول القطعة المماسة من النقطة الواقعة خارج الدائرة إلى النقطة التي يلتقي عندها المماس بالدائرة. إذن، في الشكل الذي لدينا، يناظر ذلك طول ﺃﺩ. وﻫﺏ هو طول القطعة المستقيمة التي تنتمي إلى القاطع من النقطة الواقعة خارج الدائرة إلى الموضع الأول لالتقاء القاطع بالدائرة. إذن، في الشكل الذي لدينا، هذا يناظر القطعة المستقيمة ﺃﺏ. ثم، ﻫﺃ هو القطعة القاطعة من النقطة الواقعة خارج الدائرة إلى النقطة الثانية لالتقاء القاطع بالدائرة. إذن، في الشكل لدينا، هذا هو ﺃﺟ. وهكذا، نحصل على المعادلة ﺃﺩ تربيع يساوي ﺃﺏ مضروبًا في ﺃﺟ.
نحن نعرف طول ﺃﺩ. فهو يساوي ١٦٤ سنتيمترًا. نعرف أيضًا أن طول ﺃﺏ يساوي طول ﺏﺟ، وهو الطول المطلوب منا إيجاده. وقد ذكرنا سابقًا أن طول ﺏﺟ يساوي نصف طول ﺃﺟ. ومن ثم، فإن اثنين ﺏﺟ يساوي ﺃﺟ. وبذلك، نحصل على المعادلة ١٦٤ تربيع يساوي ﺏﺟ مضروبًا في اثنين ﺏﺟ. ١٦٤ تربيع يساوي ٢٦٨٩٦. وفي الطرف الأيسر، ﺏﺟ مضروبًا في اثنين ﺏﺟ يساوي اثنين ﺏﺟ تربيع. بقسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، نحصل على ﺏﺟ تربيع يساوي ١٣٤٤٨. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺏﺟ بأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، مع أخذ القيمة الموجبة فقط لأن ﺏﺟ يعبر عن طول. بحساب قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على ١١٥٫٩٦٥٥ وهكذا مع توالي الأرقام.
ورد في السؤال أنه علينا تقريب الإجابة لأقرب عدد صحيح. إذن، بتقريب هذه القيمة، نجد أن طول ﺏﺟ يساوي ١١٦ سنتيمترًا. وهكذا، باستخدام نظرية المماس والقاطع، تمكنا من توضيح أن طول ﺏﺟ، وهو قطعة مستقيمة تنتمي إلى القاطع ﺃﺟ لهذه الدائرة، يساوي، لأقرب عدد صحيح، ١١٦ سنتيمترًا.
