فيديو الدرس: المتتابعات التكرارية الرياضيات

سنلقي نظرة تفصيلية على الصياغة وطريقة الكتابة المستخدمة لتمثيل متتابعات الأعداد باستخدام الصيغة التكرارية. وهذا يتضمن متتابعات يكون أحد حدودها دالة في الحد الذي يسبقه، ومتتابعات أخرى يكون أحد حدودها دالة في أكثر من حد من الذي يسبقه.

٢١:٣٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنرى كيف يمكننا تحديد متتابعة أعداد باستخدام الصيغة، ثم نتدرب على بعض الأسئلة المعتادة.

المتتابعة هي قائمة من الأعداد التي تكونت باستخدام قاعدة ثابتة. على سبيل المثال، اثنان، أربعة، ستة، ثمانية، ١٠، ١٢، وهكذا. تبدأ هذه المتتابعة بالعدد اثنين، ثم نضيف اثنين إلى كل حد لنحصل على الحد التالي. وهذه الطريقة لوصف المتتابعات عن طريق تحديد الحد الأول، وتحديد العلاقة بين كل حد والذي يليه؛ بحيث تخبرك بما عليك فعله لأحد الحدود لكي تحصل على الحد التالي في المتتابعة، تسمى الصيغة التكرارية. والآن، بدلًا من كتابة الوصف بطريقة عادية هكذا، يمكننا استخدام صيغة رياضية لتحديد القاعدة. وفي هذه الحالة، يمكننا كتابة ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد يساوي ‪𝑎𝑛‬‏ زائد اثنين، حيث ‪𝑎‬‏ واحد يساوي اثنين، و‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي واحدًا، و‪𝑛‬‏ عدد صحيح.

هذه الجزئية هنا تخبرك كيف بدأت المتتابعة. الحد الأول هو ‪𝑎‬‏ واحد يساوي اثنين. وهذه الجزئية هنا تحدد نظام ترقيم الحدود في المتتابعة، إذن سيكون لدينا الحد الأول، والحد الثاني، والحد الثالث، وهكذا. ولذا، سيكون ‪𝑛‬‏ سلسلة من الأعداد الصحيحة التي تبدأ بالعدد واحد. وهذه الجزئية هنا تحدد قاعدة الانتقال من حد إلى حد. إذ نعرف منها أن علينا أن نأخذ قيمة حد رتبته ‪𝑛‬‏، ونضيف إليها اثنين، وهذا سيعطينا الحد التالي في المتتابعة؛ أي الحد الذي رتبته ‪𝑛‬‏ زائد واحد في المتتابعة. إذن، تذكر أن ‪𝑎𝑛‬‏ تعني الحد الذي رتبته ‪𝑛‬‏ في المتتابعة. وبناء عليه، ‪𝑎‬‏ واحد تعني الحد الأول في المتتابعة، و‪𝑎‬‏ اثنان تعني الحد الثاني في المتتابعة، و‪𝑎‬‏ ثلاثة تعني الحد الثالث في المتتابعة، وهكذا.

وقبل أن نكمل، دعونا نوضح نقطة حول هذه الجزئية التي تحدد قيم ‪𝑛‬‏. من المهم أن نربط قيم ‪𝑛‬‏ بصيغة المتتابعة. إذن لدينا ‪𝑎‬‏ واحد، و‪𝑎‬‏ اثنان، و‪𝑎‬‏ ثلاثة، و‪𝑎‬‏ أربعة، إلى آخره، لكن ليس ‪𝑎‬‏ صفر، أو ‪𝑎‬‏ نصف، أو أي شيء من هذا القبيل. إذن، على سبيل المثال، إذا قلت إن ‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا، ثم وضعت هذا هنا، فسنحصل على حد ‪𝑎‬‏ صفر. وهذا ليس بحد صحيح في المتتابعة. وبالمثل، إذا قلت: ‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي اثنين، فإن أصغر قيمة يمكننا الحصول عليها هنا هي ‪𝑎‬‏ اثنان. وبذلك، لن نعرف أول حد في المتتابعة وهو ‪𝑎‬‏ واحد، ومن ثم لن تكون هذه الصيغة صحيحة.

والآن، إليكم طريقة أخرى لتعريف تلك الصيغة التكرارية للمتتابعة التي لدينا، وهي: ‪𝑎𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎𝑛‬‏ ناقص واحد زائد اثنين. الحد الأول هو اثنان. والآن، لنفكر جيدًا في قيم ‪𝑛‬‏ التي علينا تحديدها إذا كنا سنكتب المتتابعة على هذا النحو. إذا كانت قيم ‪𝑛‬‏ هي: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، وهكذا، فسيكون لدينا متتابعة بها ‪𝑎‬‏ واحد؛ أي عندما ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا، يساوي ‪𝑎𝑛‬‏ ناقص واحد؛ أي ‪𝑎‬‏ صفر زائد اثنين. ولا يمكن أن يكون لدينا حد صفري؛ لأن حدود المتتابعة يجب أن تكون الحد الأول، والثاني، والثالث، والرابع، وهكذا. إذن، علينا بدء العد من اثنين. لقد حددنا الحد الأول وهو اثنان، ولدينا الحد الثاني يساوي الحد الأول زائد اثنين.

باستخدام هذه الطريقة، إذا كنت تعرف قيمة أي حد في المتتابعة، فيمكنك بسهولة حساب قيمة الحد التالي. على سبيل المثال، إذا علمت من معطيات المسألة أن الحد الذي رتبته ١٠٢ قيمته ٢٠٤، فيمكنك ببساطة إضافة اثنين إلى ذلك لتحصل على قيمة الحد الذي رتبته ١٠٣. إذا كان الحد الذي رتبته ١٠٢ قيمته ٢٠٤، فهذا يعني أن ‪𝑎‬‏١٠٢ يساوي ٢٠٤. وباتباع هذا النمط، ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد يساوي ‪𝑎𝑛‬‏ زائد اثنين، فهذا يعني أن ‪𝑎‬‏١٠٣ يساوي ١٠٢ زائد اثنين. حسنًا، لقد قلنا إن الحد الذي رتبته ١٠٢ قيمته ٢٠٤، لذا يمكننا التعويض بذلك في الصيغة. إذن، الحد الذي رتبته ١٠٣ قيمته ٢٠٤ زائد اثنين، وهو ما يساوي ٢٠٦.

لكن بإعادة ترتيب الصيغة قليلًا، يمكنك أيضًا إيجاد قيمة الحد الذي رتبته ١٠١. وبالنظر إلى الصيغة، إذا طرحت اثنين من كلا طرفي المعادلة، فسأحصل على ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد ناقص اثنين يساوي ‪𝑎𝑛‬‏. والآن لدينا صيغة تخبرني بقيمة الحد الحالي إذا كنت أعرف قيمة الحد التالي. الحد التالي ناقص اثنين يعطينا الحد الحالي. أي إن الحد الذي رتبته ١٠٢ ناقص اثنين يعطينا الحد الذي رتبته ١٠١، وهو ما يعني أن ٢٠٤ ناقص اثنين يساوي الحد الذي رتبته ١٠١؛ أي إن الحد الذي رتبته ١٠١ قيمته ٢٠٢.

وهذا يعني أنه باستخدام الصيغة التكرارية يمكننا أن نأخذ أي حد في المتتابعة ونحسب قيمة الحد التالي وقيمة الحد السابق. لكن العيب الأساسي لاستخدام هذه الطريقة هي أننا لو أردنا معرفة الحد الذي رتبته مليون، فعلينا إجراء الكثير من الحسابات لإيجاد قيمته. عليك إيجاد قيمة الحد الثاني، ثم تطبيق القاعدة مرة أخرى لإيجاد قيمة الحد الثالث، ثم الحد الرابع، ثم الحد الخامس، وهكذا.

والطريقة الأخرى لتحديد قيم المتتابعة هي استخدام الرتبة لإيجاد الحد. وبالرجوع إلى المتتابعة الأصلية: اثنان، أربعة، ستة، ثمانية، ١٠، ١٢، وهكذا، إذا كتبنا رتبة كل حد في المتتابعة فوق العدد الفعلي، فقد تلاحظ أن قيمة كل حد تساوي ضعف رتبته في المتتابعة. اثنان في واحد يساوي اثنين، اثنان في اثنين يساوي أربعة، اثنان في ثلاثة يساوي ستة، اثنان في أربعة يساوي ثمانية، وهكذا. وهذا يعني أن قيمة الحد في المتتابعة يساوي ضعف رتبته، أي رتبته مضروبة في اثنين. أي إن ‪𝑎𝑛‬‏ يساوي اثنين ‪𝑛‬‏ في هذه الحالة.

وجدير بالذكر أن حرف ‪𝑛‬‏ هنا عبارة عن لاحقة أو حرف سفلي، ويكتب في صورة حرف ‪𝑛‬‏ صغير أسفل ‪𝑎‬‏ مباشرة، بينما حرف ‪𝑛‬‏ مكتوب بحجمه الكامل هنا بجوار الاثنين، وهو ما يعني اثنين في ‪𝑛‬‏. لذا، انتبه لذلك جيدًا. عندما أقول ‪𝑎𝑛‬‏، فأنا لا أعني ‪𝑎‬‏ في ‪𝑛‬‏ في هذه الحالة. بل أعني ‪𝑎‬‏ تلحقها ‪𝑛‬‏ صغيرة. والآن، تكمن روعة تلك الصيغة في أنها تعطيك قيمة الحد مباشرة إذا كنت تعرف رتبته. إذن، الحد الذي رتبته مليون؛ أي ‪𝑎‬‏ مليون، يساوي اثنين في مليون؛ أي مليونين.

والآن، لك أن تقارن كم من الوقت كنا سنستغرق لحساب الحد السابع، والثامن، والتاسع، وهكذا حتى نصل إلى الحد الذي رتبته مليون باستخدام الصيغة التكرارية. على أي حال، عودة إلى موضوع الفيديو، المتتابعات التكرارية. لنتدرب على بعض المسائل.

أوجد الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد يساوي اثنين في ‪𝑎𝑛‬‏ زائد خمسة، إذا كان الحد الأول ‪𝑎‬‏ واحد يساوي ١١، و‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي واحدًا، و‪𝑛‬‏ عددًا صحيحًا.

تخبرنا هذه الصيغة أننا إذا أخذنا أحد الحدود وضاعفناه، ثم أضفنا إليه خمسة، فسنحصل على قيمة الحد التالي في المتتابعة. لكي نحسب الحد الثاني، نضاعف الحد الأول ثم نضيف إليه خمسة. والحد الأول يساوي ١١. هذا ما لدينا من معطيات. ويعني هذا أن الحد الثاني يساوي اثنين في ١١ زائد خمسة، وهو ما يساوي ٢٢ زائد خمسة، أي ٢٧. والآن، يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد الحد الثالث. الحد الثالث يساوي اثنين في الحد الثاني زائد خمسة. وهذا يعني اثنين في ٢٧ زائد خمسة، ما يساوي ٥٤ زائد خمسة، أي ٥٩. إذن، لدينا الآن الحدود الثلاثة الأولى: ١١، و٢٧، و٥٩.

ننتقل إلى المسألة الثانية إذن.

أوجد الحدود الأربعة الأولى للمتتابعة ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد يساوي نصف ‪𝑎𝑛‬‏ ناقص أربعة، إذا كان ‪𝑎‬‏ اثنان يساوي ٣٦، و‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي واحدًا، و‪𝑛‬‏ عددًا صحيحًا.

هذه المسألة أصعب بعض الشيء، لأنها أخبرتنا بقيمة الحد الثاني، لكننا لا نعرف الحد الأول. لذا، علينا حساب ذلك. تخبرنا الصيغة أننا إذا أخذنا أحد الحدود وحسبنا نصفه ثم طرحنا أربعة، سنحصل على الحد التالي. فعلى سبيل المثال، ‪𝑎‬‏ اثنان، الحد الثاني، يساوي نصفًا في ‪𝑎‬‏ واحد؛ إذن نصف الحد الأول، ناقص أربعة. ونعلم أن قيمة الحد الثاني ٣٦، إذن ٣٦ يساوي نصفًا في ‪𝑎‬‏ واحد ناقص أربعة. والآن أريد حساب قيمة ‪𝑎‬‏ واحد. وإذا أضفت أربعة إلى طرفي المعادلة، فسأحصل على ٤٠ يساوي نصف ‪𝑎‬‏ واحد، الحد الأول. ثم إذا ضاعفت طرفي المعادلة، فسأجد أن الحد الأول لا بد وأن يساوي ٨٠.

والآن، يمكننا تطبيق الصيغة التكرارية لإيجاد قيمة الحد الثالث. تذكر أنه لكي نجد الحد التالي، علينا حساب نصف هذا الحد ثم نطرح أربعة. إذن، الحد الثالث يساوي نصف الحد الثاني ناقص أربعة. والآن صرنا نعرف قيمة الحد الثاني. إنها ٣٦. إذن، الحد الثالث يساوي نصف ٣٦ ناقص أربعة. حسنًا، نصف ٣٦ يساوي ١٨. و ١٨ ناقص أربعة يساوي ١٤. وأخيرًا، الحد الرابع يساوي نصف الحد الثالث ناقص أربعة. ووجدنا أن قيمة الحد الثالث تساوي ١٤، ما يعني أن قيمة الحد الرابع هي ثلاثة. إذن، الإجابة هي: الحد الأول ٨٠، والحد الثاني ٣٦، والحد الثالث ١٤، والحد الرابع ثلاثة.

لنلق نظرة على متتابعة تكرارية أصعب قليلًا.

أوجد الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة ‪𝑎𝑛‬‏ يساوي اثنين في ‪𝑎𝑛‬‏ ناقص واحد زائد ‪𝑎𝑛‬‏ ناقص اثنين، إذا كان ‪𝑎‬‏ واحد يساوي ثلاثة، و‪𝑎‬‏ اثنان يساوي خمسة، و‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي ثلاثة، و‪𝑛‬‏ عددًا صحيحًا.

تخبرنا هذه الصيغة أن الحد عبارة عن تركيبة ما من الحدين السابقين. إنه ضعف الحد الذي يسبقه مباشرة، مضافًا إليه الحد الذي يسبق ذلك. ولكي نستخدم هذه الصيغة، علينا معرفة حدين ابتدائيين؛ الحد الأول والحد الثاني، لكي نتمكن من إيجاد قيمة الحد الثالث. والآن، ‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي ثلاثة. إذا كان ‪𝑛‬‏ أقل من ثلاثة، وكانت بداية ‪𝑛‬‏ عند اثنين، فإن الحد الثاني سيساوي اثنين في الحد الأول زائد الحد الصفري. لذا، لا يمكن استخدام ذلك. بالتالي، فلا تصلح هذه الصيغة التكرارية إلا عندما يكون ‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي ثلاثة.

المطلوب منا في المسألة هو إيجاد الحدود الخمسة الأولى. ولدينا بالفعل أول حدين، لذا، لنحاول إيجاد الحد الثالث. وكما قلنا في الصيغة، لإيجاد قيمة حد محدد، نضاعف الحد السابق، ‪𝑛‬‏ ناقص واحد، ثم نضيف الحد الذي يسبقه، ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين. هيا نعوض بهذه القيم عن ‪𝑎‬‏ واحد و‪𝑎‬‏ اثنين. ‏‪𝑎‬‏ اثنان يساوي خمسة، و‪𝑎‬‏ واحد يساوي ثلاثة. إذن، ‪𝑎‬‏ ثلاثة يساوي اثنين في خمسة زائد ثلاثة، ما يساوي ١٠ زائد ثلاثة، أي ١٣.

والحد الرابع يساوي ضعف الحد الثالث زائد الحد الثاني. أي يساوي اثنين في ١٣ زائد خمسة. ها قد وجدنا قيمة الحد الثالث. اثنان في ١٣ يساوي ٢٦. ‏٢٦ زائد خمسة يساوي ٣١. وأخيرًا، الحد الخامس يساوي اثنين في الحد الرابع زائد الحد الثالث. وبالتعويض بقيم الحد الرابع والحد الثالث، نجد أن الحد الخامس يساوي ٧٥. وعلينا كتابة كل تلك الخطوات كاملة في إجابتنا.

وكانت هذه نظرة مبدئية حول كيفية استخدام الصيغة التكرارية. ولكن، بعض المتتابعات عبارة عن متتابعات حسابية. وهذا يعني أنه بين كل حدين متتاليين فارق ثابت. على سبيل المثال، ثلاثة، سبعة، ١١، ١٥، ١٩، وهكذا، علي إضافة أربعة إلى كل حد لكي أحصل على الحد الذي يليه. وهذا يجعلها متتابعة حسابية. و ٢٣، ٢١، ١٩، ١٧، ١٥، وهكذا، علي طرح اثنين من كل حد لكي أحصل على الحد التالي. وهذه أيضًا متتابعة حسابية. ويمكننا تمثيل كل من هاتين المتتابعتين باستخدام صيغة تكرارية. في المتتابعة الأولى، كل حد يساوي الحد الذي يسبقه زائد أربعة. لكن لا تنس أن علينا أن نحدد من أين نبدأ، وأن ‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي واحدًا في هذه الحالة. وبالنسبة إلى المتتابعة الثانية، فكل حد يساوي الحد الذي يسبقه ناقص اثنين. ومرة أخرى، علينا أن نحدد من أين نبدأ، ونحدد كذلك القيم المعطاة لـ ‪𝑛‬‏.

والآن، هيا نعد ترتيب تلك الصيغ. بالنسبة إلى الصيغة الأولى، ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد يساوي ‪𝑎𝑛‬‏ زائد أربعة. سأطرح ‪𝑎𝑛‬‏ من كلا الطرفين، ما يعطينا ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد ناقص ‪𝑎𝑛‬‏ يساوي أربعة. ‏‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد ناقص ‪𝑎𝑛‬‏، هذا هو الفرق بين حدين متتاليين. وتخبرنا هذه الصيغة أن الفرق دائمًا ثابت؛ إذ يساوي دائمًا أربعة في هذه الحالة. وإذا فعلت الشيء نفسه في الصيغة الأخرى، فسأجد أن الفرق بين حدين متتاليين ثابت أيضًا في هذه الحالة؛ إذ يساوي دائمًا سالب اثنين.

إذا كانت لديك صيغة تكرارية يمكنك إعادة ترتيبها للحصول على الفرق بين حدين متتاليين، ووجدت أن الناتج دائمًا ثابت، فلا بد أن تستنتج من ذلك أن ما لديك هو متتابعة حسابية. وهذه مجرد طريقة جبرية للتعبير عن ذلك؛ ففي كل مرة أنتقل من حد إلى الحد الذي يليه، أضيف دائمًا نفس الكمية. وأخيرًا، لنلق نظرة على بعض المتتابعات ونر إذا كان يمكننا كتابة صيغة تكرارية لكل منها.

اكتب صيغة تكرارية للمتتابعة: خمسة، سبعة، تسعة، ١١، ١٣، وهكذا.

حسنًا، فكرة جيدة أن نبدأ بإيجاد الفرق بين كل حدين. لكي نصل من خمسة إلى سبعة، علينا إضافة اثنين. ومن سبعة إلى تسعة، نضيف اثنين. وللتنقل بين الحد التالي والذي يليه، نضيف اثنين. وبين الحدين التاليين أيضًا، نضيف اثنين. ومن الجيد أن تحاول وصف ما يحدث قبل أن تحاول كتابته في شكل صيغة. إذن، لكي ننتقل من حد إلى الحد الذي يليه، نضيف اثنين في كل مرة. وفي الصيغة، إذا أخذت حدًّا، لنسمه مثلًا ‪𝑎𝑛‬‏، وأضفت إليه اثنين، فسأحصل على الحد التالي، ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد.

وفي الواقع، هذا هو الأمر بكل بساطة. تلك هي الصيغة الأساسية. لكن علينا أن نعرف من أين تبدأ، وعلينا كذلك أن نحدد قيم ‪𝑛‬‏ التي تصلح لتلك الصيغة. حسنًا، الحد الأول خمسة، إذن ‪𝑎‬‏ واحد يساوي خمسة. ونريد استخدام قيم ‪𝑛‬‏ التي نعرف من خلالها الحدود ‪𝑎‬‏ واحد، و‪𝑎‬‏ اثنين، و‪𝑎‬‏ ثلاثة، و‪𝑎‬‏ أربعة، و‪𝑎‬‏ خمسة، وهكذا. ولدينا في الصيغة ‪𝑎𝑛‬‏، ثم لدينا ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد. وبالتالي، يمكن أن تبدأ قيم ‪𝑛‬‏ لدينا من واحد فأكثر. إذن هذه هي الصيغة لدينا. ‏‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد يساوي ‪𝑎𝑛‬‏ زائد اثنين، حيث ‪𝑎‬‏ واحد يساوي خمسة، و‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي واحدًا، و‪𝑛‬‏ عدد صحيح.

كان يمكنني كتابة هذه الصيغة على نحو مختلف قليلًا. كان من الممكن أن أقول: الحد النوني، ‪𝑎𝑛‬‏، يساوي الحد السابق ‪𝑎𝑛‬‏ ناقص واحد زائد اثنين. مرة أخرى، الحد الأول، ‪𝑎‬‏ واحد، يساوي خمسة. لكن دعونا نفكر في قيم ‪𝑛‬‏. إذا جعلت ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا، فسأقول إن ‪𝑎‬‏ واحد، أي الحد الأول، يساوي ‪𝑎‬‏ واحد ناقص واحد، أي ‪𝑎‬‏ صفر. وبذلك، يكون لدينا حد صفري زائد اثنين. ولا يوجد ما يسمى بالحد الصفري، لذا سأحدد قيم ‪𝑛‬‏ من اثنين فأكثر. وهذا يعطينا صيغة تكرارية أخرى.

وننتقل الآن إلى مسألة أخيرة غير مباشرة.

اكتب صيغة تكرارية للمتتابعة: ثلاثة، تسعة، ٢١، ٤٥، ٩٣، وهكذا.

مرة أخرى، من الجيد أن نبدأ بإيجاد الفرق بين كل حد والحد الذي يليه. لكي ننتقل من ثلاثة إلى تسعة، علينا إضافة ستة. لكي ننتقل من تسعة إلى ٢١، علينا إضافة ١٢. لكي ننتقل من ٢١ إلى ٤٥، علينا إضافة ٢٤. لكي ننتقل من ٤٥ إلى ٩٣، علينا إضافة ٤٨. إذن هذه ليست متتابعة حسابية. إنها تبدو أصعب.

إذا نظرت إلى كل حد، ثم نظرت إلى الفروق بينها، نجد أننا في الحالة الأولى نبدأ بثلاثة ونضيف إليها ستة. ثم نبدأ بتسعة، ونضيف ١٢. ثم نبدأ بـ ٢١، ونضيف ٢٤. ثم نبدأ بـ ٤٥، ونضيف ٤٨. هذه الفروق دائمًا أكبر من الحد السابق بمقدار ثلاثة. وبالتالي، إذا سمينا الحدود ‪𝑎‬‏ واحد، ‪𝑎‬‏ اثنين، ‪𝑎‬‏ ثلاثة، ‪𝑎‬‏ أربعة، ‪𝑎‬‏ خمسة، وهكذا، فإن الحد الثاني يساوي الحد الأول زائد ستة. والحد الثالث يساوي الحد الثاني زائد ١٢. لكننا قلنا إن الفرق أكبر من الحد السابق نفسه بمقدار ثلاثة. إذن، هذا الفرق أكبر من ذلك الحد بمقدار ثلاثة.

إذن، ستة يساوي ‪𝑎‬‏ واحد زائد ثلاثة. ولإيجاد قيمة الحد الثالث، فإن هذا الفرق هنا، ١٢، هو الحد الثاني زائد ثلاثة. لذا، فالحد الثالث يساوي الحد الثاني زائد الحد الثاني زائد ثلاثة. وهكذا سيكون النمط بشكل عام. الحد ‪𝑛‬‏ زائد واحد يساوي الحد النوني زائد الحد النوني زائد ثلاثة. ونظرًا لأن هذه مجرد ثلاث قيم نجمعها معًا، فلا حاجة لي إلى تلك الأقواس، وهذا يعطينا ‪𝑎𝑛‬‏ زائد ‪𝑎𝑛‬‏ زائد ثلاثة. أي ضعف ‪𝑎𝑛‬‏ زائد ثلاثة. إذن، ‪𝑎𝑛‬‏ زائد واحد يساوي اثنين ‪𝑎𝑛‬‏ زائد ثلاثة.

والآن، علينا التفكير في الشروط الابتدائية. الحد الأول، ‪𝑎‬‏ واحد يساوي ثلاثة. ولكي أحصل على قيم الحدود ‪𝑎‬‏ واحد، و‪𝑎‬‏ اثنين، و‪𝑎‬‏ ثلاثة، و‪𝑎‬‏ أربعة، وهكذا، علي أن أجعل ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا، واثنين، وثلاثة، وهكذا. وها هي الصيغة. ويمكنني الآن تعديلها قليلًا كما فعلت في المرة السابقة. وهذا سيعطيني الحد النوني يساوي اثنين في الحد ‪𝑛‬‏ ناقص واحد زائد ثلاثة. ومرة أخرى، سيكون علي تعديل نقطة بداية ‪𝑛‬‏، بحيث تكون ‪𝑛‬‏ أكبر من أو يساوي اثنين، حتى لا ينتهي بي الأمر إلى الحد ‪𝑎‬‏ صفر.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.