نسخة الفيديو النصية
إذا كان 𝐀 و𝐁 متجهين، فهل التعبير الجبري الآتي صواب؟ 𝐀 ناقص 𝐁 يساوي سالب 𝐁 ناقص 𝐀.
ثمة طريقتان يمكن من خلالهما التحقق مما إذا كان هذا التعبير صوابًا أم لا؛ طريقة بيانية وأخرى جبرية. دعونا نبدأ الإجابة عن السؤال بالطريقة البيانية.
لكي تكون هذه العبارة صوابًا بوجه عام، لا بد أن تكون صوابًا لأي متجهين 𝐀 و𝐁 يمكننا اختيارهما. لذلك، لا يهم كيف يكون المتجهان 𝐀 و𝐁، فالعبارة يجب أن تكون صحيحة في كل الأحوال. دعونا نعرف 𝐀 و𝐁 على هذا النحو. أولًا، علينا إيجاد المتجه الناتج في الطرف الأيسر من هذا التعبير، 𝐀 ناقص 𝐁. لفعل ذلك، علينا طرح المتجه 𝐁 من المتجه 𝐀. لعلنا نتذكر أنه يمكننا جمع المتجهات بسهولة عن طريق توصيل الذيل بالرأس. ولكن كيف يمكننا طرح المتجهات؟
يمكننا التفكير في هذا التعبير بطريقة أخرى. كما هو الحال مع الأعداد العادية، فإن طرح متجه يساوي جمعه بإشارة سالبة. ومن ثم، يمكن إعادة كتابة التعبير 𝐀 ناقص 𝐁 على الصورة: 𝐀 زائد سالب 𝐁. سالب 𝐁 هو المتجه الذي له مقدار 𝐁 نفسه، إلا أنه يشير إلى الاتجاه المعاكس. لذلك، سنرسم سالب 𝐁 على هذا النحو. كل ما علينا فعله الآن هو جمع سالب 𝐁 مع 𝐀 من خلال توصيل الذيل بالرأس. الناتج يساوي هذا المتجه هنا الذي سنرمز له بالرمز 𝐕L؛ ليذكرنا بأنه من الطرف الأيسر من المعادلة.
بعد ذلك، دعونا نتناول الطرف الأيمن من المعادلة؛ سالب 𝐁 ناقص 𝐀. لنبدأ بإيجاد المتجه الموجود داخل القوسين؛ 𝐁 ناقص 𝐀. كما فعلنا سابقًا، يمكننا إعادة كتابة هذا التعبير في صورة: 𝐁 زائد سالب 𝐀، ويمكننا رسم المتجه سالب 𝐀 على هذا النحو. الآن، نجمع ذلك مع المتجه 𝐁، فنحصل على هذا المتجه الناتج. ولكن علينا الانتباه حتى لا ننسى إشارة السالب الموجودة أمام القوسين. تخبرنا هذه الإشارة بأن علينا عكس اتجاه هذا المتجه على هذا النحو. وهذا يعطينا المتجه النهائي 𝐕R.
دعونا الآن نقارن بين المتجهين 𝐕L و𝐕R. يمكننا ملاحظة أنهما متماثلان. بعبارة أخرى، نلاحظ أن المتجه الناتج عن الطرف الأيسر للمعادلة يساوي المتجه الناتج عن الطرف الأيمن للمعادلة. ومن ثم، نكون قد تحققنا من صحة هذا التعبير بالنسبة لهذين المتجهين اللذين اخترناهما. ولكن كان بإمكاننا التعامل مع هذا السؤال بطريقة مختلفة لا تتضمن رسم الكثير من المتجهات. إذا تناولنا هذا السؤال جبريًّا، فيمكننا أيضًا التحقق مما إذا كان هذا التعبير ينطبق على أي متجهين عامين، وليس فقط على المتجهين اللذين نتناولهما.
تذكر أن بإمكاننا التعبير عن المتجه جبريًّا بدلالة مركبتيه الأفقية والرأسية، 𝑥 و𝑦، ومتجهي الوحدة الأفقي والرأسي، 𝐢 هات و𝐣 هات. يمكننا إعادة كتابة المتجه 𝐀 على الصورة: 𝐀 يساوي 𝐴𝑥𝐢 هات زائد 𝐴𝑦𝐣 هات، والمتجه 𝐁 على الصورة: 𝐵𝑥𝐢 هات زائد 𝐵𝑦𝐣 هات. دعونا نعوض بهذه التعبيرات في الطرف الأيسر من المعادلة التي نريد التحقق منها. نجد أن 𝐀 ناقص 𝐁 يساوي 𝐴𝑥𝐢 هات زائد 𝐴𝑦𝐣 هات ناقص 𝐵𝑥𝐢 هات زائد 𝐵𝑦𝐣 هات، وهذا يساوي 𝐴𝑥𝐢 هات زائد 𝐴𝑦𝐣 هات ناقص 𝐵𝑥𝐢 هات ناقص 𝐵𝑦𝐣 هات. دعونا الآن نجمع الحدود المتشابهة، ونأخذ 𝐢 هات و𝐣 هات عاملين مشتركين. وبذلك، يتبقى لنا: 𝐴𝑥 ناقص 𝐵𝑥𝐢 هات زائد 𝐴𝑦 ناقص 𝐵𝑦𝐣 هات.
بعد ذلك، دعونا نفكر في الطرف الأيمن من التعبير، سالب 𝐁 ناقص 𝐀. إذا عوضنا في التعبير الذي لدينا عن 𝐀 و𝐁، فسنحصل على سالب 𝐵𝑥𝐢 هات زائد 𝐵𝑦𝐣 هات ناقص 𝐴𝑥𝐢 هات زائد 𝐴𝑦𝐣 هات. عند فك جميع الأقواس، مع الانتباه إلى علامتي السالب، نجد أن ذلك يبسط إلى: سالب 𝐵𝑥𝐢 هات ناقص 𝐵𝑦𝐣 هات زائد 𝐴𝑥𝐢 هات زائد 𝐴𝑦𝐣 هات. مرة أخرى، عند تجميع الحدود المتشابهة وأخذ 𝐢 هات و𝐣 هات عاملين مشتركين، يتبقى لدينا: 𝐴𝑥 ناقص 𝐵𝑥𝐢 هات زائد 𝐴𝑦 ناقص 𝐵𝑦𝐣 هات باعتباره الطرف الأيمن من المعادلة. وهذا بالضبط هو ما توصلنا إليه في الطرف الأيسر من المعادلة. وعليه، نعلم أن المعادلة لا بد أن تكون صحيحة.
لقد تحققنا الآن من أن التعبير 𝐀 ناقص 𝐁 يساوي سالب 𝐁 ناقص 𝐀 باستخدام طريقتين مختلفتين. لذا، فإن الإجابة عن هذا السؤال هي: نعم. هذا التعبير صواب بالنسبة لأي متجهين.
