نسخة الفيديو النصية
أي التعبيرات الآتية من كثيرات الحدود من الدرجة الخامسة؟ (أ) ﺱ أس خمسة زائد خمسة ﺱ أس ستة ناقص اثنين. (ب) ﺱ أس أربعة في ﺹ ناقص ﺱ أس أربعة ناقص ثلاثة ﺱ تربيع. (ج) ﺱ تكعيب ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺱﺹ تربيع. (د) ﺱ أس خمسة ناقص ﺹ في ﺱ أس سالب واحد. (هـ) ﺱ تكعيب ناقص اثنين ﺱﺹ زائد خمسة ﺱ أس خمسة.
في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد أي من التعبيرات الخمسة المعطاة يعد من كثيرات الحدود من الدرجة الخامسة. سنبدأ بتذكر ما المقصود بتعبير كثيرة الحدود، والمقصود بأن كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة.
نتذكر أولًا أن كثيرة الحدود هي مجموع وحيدات الحد، ووحيدة الحد هي حاصل ضرب ثوابت ومتغيرات، والمتغيرات يجب أن يكون لها أسس صحيحة غير سالبة. يمكننا استخدام هذا التعريف لنحدد أولًا أي من التعبيرات الخمسة المعطاة يعد من كثيرات الحدود.
لنبدأ بالخيار (أ). لتحديد إذا ما كان التعبير يمثل كثيرة حدود، علينا أولًا التحقق مما إذا كان كل حد من الحدود الخمسة من وحيدات الحد. وهذا يعني أنه يجب أن تمثل هذه الحدود حواصل ضرب ثوابت ومتغيرات، والمتغيرات لا بد أن يكون لها أسس صحيحة غير سالبة. نلاحظ أولًا أن المتغير الوحيد هو ﺱ وأسي ﺱ هما خمسة وستة. وهذان عددان صحيحان غير سالبين. بعد ذلك، علينا التأكد من أن كل حد هو حاصل ضرب ثوابت ومتغيرات. وعلى الرغم من أن هذا ليس ضروريًّا، يمكننا إعادة كتابة الحد الأول على الصورة: واحد في ﺱ أس خمسة، والحد الثالث على الصورة: سالب اثنين ﺱ أس صفر. وإذا أردنا أن نكون أكثر دقة، يمكننا أن نتذكر أن طرح اثنين ﺱ أس صفر يكافئ إضافة سالب اثنين ﺱ أس صفر. وفي كلتا الحالتين، يمكننا استنتاج أن كل حد يعد من وحيدات الحد. إذن التعبير في الخيار (أ) من كثيرات الحدود.
الخيار (ب) لا يختلف كثيرًا. كل حد هو حاصل ضرب ثوابت ومتغيرات. لكن، يمكننا ملاحظة أن لدينا بالفعل متغيرين مختلفين وهما ﺱ وﺹ. لذا علينا الانتباه. علينا التحقق من أن أسس كلا المتغيرين أعداد صحيحة غير سالبة. في هذه الحالة، نكتب ﺹ على الصورة ﺹ أس واحد. ومن ثم، فإن أسس المتغيرين هي أربعة، واحد، أربعة، اثنان. وهذه أعداد صحيحة غير سالبة.
وينطبق الأمر نفسه على الخيار (ج). كل حد هو حاصل ضرب ثوابت ومتغيرات. ويمكننا ملاحظة أن جميع المتغيرات لها أسس صحيحة غير سالبة. لكن، الأمر نفسه لا ينطبق على الخيار (د). نلاحظ أن لدينا الحد ﺱ أس سالب واحد. وهذا متغير مرفوع لقوة صحيحة سالبة. إذن الخيار (د) لا يمثل كثيرة حدود. ومن ثم يمكننا استبعاد الخيار (د). ويمكننا أيضًا ملاحظة أن الخيار (هـ) يمثل كثيرة حدود.
والآن بعد أن توصلنا إلى أن التعبيرات (أ)، (ب)، (ج)، (هـ) من كثيرات الحدود، دعونا نتذكر كيف نتحقق من درجة كثيرة الحدود. يمكننا تذكر أن درجة كثيرة الحدود هي أكبر مجموع لأسس المتغيرات التي تظهر في أي حد. تجدر الإشارة هنا إلى أننا نركز فقط على الحدود غير الصفرية. إذا كان لدينا عامل يساوي صفرًا في الحد، يمكننا ببساطة حذف هذا الحد وعدم تغيير التعبير. يمكننا استخدام هذا التعريف لتحديد درجة كل كثيرة حدود في التعبيرات الأربعة المعطاة.
ولفعل ذلك، نلاحظ أولًا: أنه وفقًا لتعريف الدرجة، فإننا نحسب مجموع أسس المتغيرات في حد واحد. وهذا يعني أنه إذا كنا نتعامل مع كثيرة حدود ذات متغير واحد، فلن نحتاج إلى حساب المجموع؛ لأن لدينا متغيرًا واحدًا فقط. في هذه الحالة، ستكون درجتها هي الأس الأكبر لهذا المتغير الذي يظهر في حد واحد غير صفري. على سبيل المثال، في التعبير (أ)، يمكننا أن نلاحظ أن هناك كثيرة حدود ذات متغير واحد. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن كل الحدود غير صفرية. إذن علينا فقط تحديد الأس الأكبر لـ ﺱ. ونجد أنه ستة. إذن التعبير (أ) هو كثيرة حدود من الدرجة السادسة. وعليه، فإن التعبير (أ) ليس كثيرة حدود من الدرجة الخامسة. ويمكننا حذف هذا الخيار.
أما التعبيرات المتبقية (ب) و(ج) و(هـ)، فهي عبارة عن كثيرات حدود ذات متغيرين. لذا علينا حساب مجموع أسي المتغيرين في كل حد. لنبدأ بالتعبير (ب). سنعيد كتابة ﺹ على الصورة ﺹ أس واحد. وعلينا إيجاد مجموع أسي المتغيرين في كل حد. في الحد الأول، أس ﺱ يساوي أربعة، وأس ﺹ يساوي واحدًا. إذن لدينا أربعة زائد واحد يساوي خمسة. في الحد الثاني، يوجد متغير واحد هو ﺱ. إذن نكتب ذلك في صورة أربعة. وفي الحد الثالث، لدينا متغير واحد فقط هو ﺱ. إذن هذا المجموع يساوي اثنين. درجة كثيرة الحدود هذه هي القيمة الأكبر بين هذه القيم الثلاث، أي إنها تساوي خمسة. ومن ثم، درجة الخيار (ب) هي خمسة. إذن (ب) كثيرة حدود من الدرجة الخامسة.
نريد أن نكرر الشيء نفسه مع التعبير (ج). علينا جمع أسي المتغيرين في الحد الأول. هذا يساوي ثلاثة زائد اثنين، وهو ما يساوي خمسة. يمكننا بعد ذلك تكرار الأمر نفسه مع الحد الثاني. نكتب ﺱ على الصورة ﺱ أس واحد. ثم نجمع أسي المتغيرين في هذا الحد. واحد زائد اثنين يساوي ثلاثة. والقيمة الأكبر بين هاتين القيمتين هي درجة كثيرة الحدود. وهي تساوي خمسة كما نرى. إذن الخيار (ج) يمثل كثيرة حدود من الدرجة الخامسة.
وأخيرًا ننتقل إلى الخيار (هـ). الحد الأول يتضمن متغيرًا واحدًا وهو ﺱ. إذن هذا الحد من الدرجة الثالثة. ويمكن إعادة كتابة الحد الثاني على الصورة: سالب اثنين في ﺱ أس واحد في ﺹ أس واحد. وواحد زائد واحد يساوي اثنين. إذن الحد الثاني من الدرجة الثانية. وأخيرًا، لدينا الحد الثالث وهو عبارة عن متغير واحد لـ ﺱ، ومن ثم فإنه من الدرجة الخامسة. وبما أن كل هذه الحدود غير صفرية، فإن درجة كثيرة الحدود هي أكبر هذه القيم. ويمكننا أن نلاحظ أن القيمة الأكبر هي خمسة. ومن ثم، فإن الخيار (هـ) أيضًا هو عبارة عن كثيرة حدود من الدرجة الخامسة.
هكذا تمكنا من توضيح أنه، من بين التعبيرات الخمسة المعطاة، التعبيرات (ب) و(ج) و(هـ) فقط هي من كثيرات الحدود من الدرجة الخامسة.
