فيديو: العمليات على المتجهات: إيجاد المحصلة

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو أنواع المتجهات، وطريقة إيجاد المحصلة بقاعدة المثلث وقاعدة متوازي الأضلاع ومثالًا عليها، ويوضِّح أيضًا عملية طرح المتجهات.

١٤:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على العمليات على المتجهات، وإزاي نوجد المحصّلة للمتجهات. قبل ما نعرف إزَّاي هنوجد محصّلة المتجهات، لازم نعرف الأنواع الشائعة من المتجهات. وبعد كده هنعرف إزَّاي نوجد المحصلة بطريقة قاعدة المثلث، أو قاعدة متوازي الأضلاع.

أول حاجة أنواع المتجهات. فيه المتجهات المتوازية، ودي بيبقى لها نفس الاتجاه أو اتجاهان متعاكسان. يعني لو عندنا متّجه بالشكل ده، الموازي معاه هيبقى بالشكل ده. هو موازي له، ممكن يكون معاه في نفس الاتجاه، وممكن يكون عكس اتجاهه. ومش لازم يكونوا نفس الطول. يعني المتجهات اللي قدامنا دي. المتجه أ، والمتجه ب، والمتجه ج. دي متجهات متوازية. أ يوازي ج يوازي ب. وبنمثّلها بالشكل ده. أ يوازي ب يوازي ج. المتجهات المتكافئة بتبقى لها نفس الاتجاه ونفس الطول؛ يعني أ وَ ج دول لهم نفس الطول، لكن مالهُومش نفس الاتجاه؛ يبقى مش متكافئين. لكن المتجه د ده له نفس اتجاه أ ونفس طوله. فبنقول أ يساوي د، وَ أ لا يساوي ج؛ لأن همّ اتجاهاتهم مختلفة. وأ لا يساوي ب، وَ ج لايساوي ب؛ لأن اتجاهاتهم مختلفة وأطوالهم مختلفة. معكوس المتجه هو متجه له نفس طول متجه آخر، ولكنه في اتجاه معاكس له. يعني المتجه أ يساوي عكس اتّجاه المتجه ج. السالب هنا بتعبّر عن عكس الاتجاه.

بنستفيد من أنواع المتجهات دي في إيجاد محصّلة المتجهات. عندنا طريقتين. قاعدة المثلث، وقاعدة متوازي الأضلاع.

نقلب الصفحة.

عند جمع متجهين أو أكثر بيكون الناتج متجهًا وبيسمى المحصّلة. وبيكون لمتجه المحصلة التاثير نفسه الناتج عن تأثير المتجهين الأصليين عند تطبيقهما واحد تلو الآخر.

يعني لو عندنا متجه بيمثّل قوى اتنين نيوتن، ومتجه تاني بيمثّل قوى تلاتة نيوتن. محصلة الاتنين والتلاتة بيدّي نفس تأثير إن أنا أأثر بالقوة اتنين نيوتن الأول، وبعدين أأثر بالقوة تلاتة نيوتن بعد كده.

وعلشان نوجد المحصلة بنستخدم طريقتين: يا إما قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي الأضلاع. في قاعدة المثلث علشان نوجد محصّلة متجهين أ وَ ب بالشكل ده، بنتبع الخطوتين الآتيتين: أول حاجة بننقل المتجه ب؛ بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه أ. يعني عايزين ننقل ب؛ بحيث نقطة بدايته اللي هي هنا، تلتقي مع نقطة نهاية أ. فهنحرك الـ ب بنفس طوله ونفس الاتجاه؛ علشان يلتقي مع الـ أ. هيبقى بالشكل ده. ده أ بنفس الطول ونفس الاتجاه. وهنا الـ ب بنفس الطول ونفس الاتجاه. يبقى هنا ده الـ ب، وده الـ أ. بداية الـ ب ملتقية مع نهاية الـ أ. وبعد كده الخطوة التانية محصّلة المتجهين أ وَ ب، هي المتجه المرسوم من نقطة بداية أ إلى نقطة نهاية ب، واللي هو هيمثّله المتجه ج. يبقى أ زائد ب … نهاية أ مع بداية ب، والناتج بداية أ مع نهاية ب. دي قاعدة المثلث.

لكن في قاعدة متوازي الأضلاع بيبقى عندنا تلات خطوات. أول حاجة بننقل المتجه ب؛ بحيث تلتقي نقطة بدايته مع بداية المتجه أ. يعني النقطة دي مع النقطة دي. يبقى هنحركه موازي له بالظبط متجه ب هيبقى أ، هنرسمه هنا كده. وَ ب بدايته تبقى مع بداية أ. يبقى رسمنا متجه موازي للـ ب، ونقلناه لغاية ما تلاقت بدايته مع بداية أ. بعد كده بنكمّل رسم متوازي الأضلاع اللي ضلعاه أ وَ ب، اللي هو بالشكل ده. ده متوازي الأضلاع اللي فيه الضلع أ وَ ب. بعد كده المحصّلة اللي إحنا عايزينها هي قطر متوازي الأضلاع، اللي هو السهم ده، اللي هو هيمثّل المتجه ج. يبقى في قاعدة متوازي الأضلاع بناخد البداية مع البداية ونرسم متوازي أضلاع. وبعد كده ناخد قطر متوازي الأضلاع يمثّل المحصلة. وقاعدة المثلث يبقى بداية مع نهاية، وبعد كده المحصلة بتبقى بداية المتجه الأولاني مع نهاية المتجه التاني.

لإيجاد محصلة أكتر من متّجهين باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع، بنضطر إن إحنا نرسم أكتر من مرة. علشان كده بيبقى الأسهل استخدام طريقة مشابهة لقاعده المثلث. وده بوضع نهاية المتجه الذي يسبقه، وهكذا. يعني مثلًا لو عندي المتجه أ، ومتجه تاني ب، ومتجه تالت ج. يعني الـ ج مع نهاية الـ ب. ده الـ ج. ونهاية ب مع نهاية الـ أ. يبقى المحصّلة هيبقى هنا. دي أ زائد الـ ب زائد الـ ج. وبناخد بالنا إن إحنا لما بننقل متجه علشان نهايته تقابل بداية المتجه التاني، لازم يكون بنفس الطول ونفس الاتجاه؛ علشان همّ متجهين متساويين.

نقلب الصفحة وناخد مثال.

قطع أحمد في سباق المشي مسافة مية وعشرين متر باتجاه خمسين درجة الشمال الشرقي. ثم مسافة تمانين متر باتجاه الشرق. كم يبعد أحمد عن نقطة البداية؟ وما هي زاوية الاتجاه الربعي؟

أول حاجة بفرض المتجه أ اللي بيمثّل المشي مية وعشرين متر في الاتجاه خمسين درجة شمال الشرق. والمتجه ب يمثّل المشي تمانين متر باتجاه الشرق. بنرسم شكل بيمثّل المتجه أ والمتجه ب، باستخدام مقياس الرسم واحد سنتيمتر لكل خمسين متر. يعني المتجه أ هيبقى طوله يساوي … هنا واحد سنتيمتر لخمسين متر؛ يعني المية وعشرين متر هنمثّلهم باتنين وأربعة من عشرة سنتيمتر. والمتجه ب هيبقى طوله اللي هو معياره … هنا تمانين متر كل سنتيمتر بيمثّل خمسين متر. يبقى هيبقى واحد وستة من عشرة سنتيمتر. الـ أ في اتجاه شمال الشرق. والـ ب في اتجاه الشرق. يعني هيبقى متجه أفقي. هنرسم اتجاه الشمال … جنوب. وهنا الشرق والغرب. المتجه أ باستخدام المنقلة والمسطرة، هنعمل المتجه كده زاوية خمسين درجة في شمال الشرق. وطول المتجه اتنين وأربعة من عشرة سنتيمتر. ده اللي هيمثّل المتجه أ.

المتجه ب … الشمال والجنوب، وهنا الشرق والغرب. هو طوله واحد وستة من عشرة سنتيمتر في اتجاه الشرق. يعني هيبقى خط أفقي بادئ من عند نقطة الأصل وطوله واحد وستة من عشرة سنتيمتر، هيبقى بالشكل ده.

عاوزين نوجد محصلتهم؛ علشان نعرف نقطة البداية بينها وبين أحمد مسافة قدّ إيه. وزاوية الاتجاه الرُّبعي اللي هي الزاوية اللي هيعملها محصِّلة المتجهين مع الشمال. هنستخدم الطريقتين قاعدة المثلث وقاعدة متوازي الأضلاع. علشان نعرف نقارن إن الناتج هو نفسه الناتج من قاعدة المثلث، هو نفسه الناتج في قاعدة متوازي الأضلاع.

الطريقة الأولى اللي هي قاعدة المثلث. هننقل المتجه ب؛ بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه أ. ده المتجه أ. هيبقى نقطة نهايته هتبقى مع نقطة بداية المتجه ب. متجه المحصّلة هيبقى من بداية أ إلى نهاية ب. هنقيس طوله ونشوف زاويته مع خط الشمال والجنوب هتبقى كام. يعني هنشوف الزاوية دي كام.

لما هنقيس طول المتجه أ زائد المتجه ب اللي هو المتجه ج، هنلاقي طوله يساوي تقريبًا تلاتة وسبعة من عشرة سنتيمتر. واتجاهه … الزاوية اللي بيعملها مع الاتجاه الشمالي ستة وستين درجة تقريبًا، اللي هي شمال شرق. وبما إن طول المتجه الناتج تلاتة وسبعة من عشرة سنتيمتر، يبقى هنضربه في مقياس الرسم، اللي هو كل واحد سنتيمتر له خمسين متر. يبقى بُعد أحمد هيبقى تقريبًا تلاتة وسبعة من عشرة في خمسين متر. هيساوي مية خمسة وتمانين متر، في اتجاه ستة وستين درجة شمال شرق.

نقلب الصفحة، ونستخدم الطريقة التانية اللي هي قاعدة متوازي الأضلاع.

قاعدة متوازي الأضلاع هننقل المتجه ب؛ بحيث بتلتقي نقطة بدايته مع نقطة بداية المتجه أ. هنكمّل متوازي الأضلاع. وبعدين نرسم قُطر متوازي الأضلاع اللي هيمثّل المحصّلة. هنقيس طوله، ونشوف الزاوية اللي هيعملها مع المحور الرأسي من اتجاه الشمال. هنقيس طوله هنلاقيه تلاتة وسبعة من عشرة سنتيمتر تقريبًا. والزاوية اللي بيعملها ستة وستين درجة شمال شرق. يبقى المسافة التي قطعها أحمد بنفس القيمة اللي حسبناها في قاعدة المثلث، هي تلاتة وسبعة من عشرة سنتيمتر، مضروبة في الخمسين اللي هو مقياس الرسم بتاعنا. بتساوي مية خمسة وتمانين متر من نقطة البداية باتجاه ستة وستين درجة شمال شرق.

يبقى هنحصل في كلتا الطريقتين على متجه المحصلة أ زائد ب نفسه. وبقياس طوله بالمسطرة، نجد أن طوله تقريبًا تلاتة وسبعة من عشرة سنتيمتر. والزاوية اللي بيقطعها مع الخط الرأسي بتساوي ستة وستين درجة في الاتجاه الشمال الشرقي.

في العمليات على المتجهات كمان، لو جمعنا متّجهين متعاكسين لهم نفس الطول. فإن المحصلة بتبقى المتجه الصفري. بيبقى طوله صفر وليس له اتجاه. وعملية طرح المتجهات بتشبه عملية طرح الأعداد؛ يعني المتجه الـ أ ناقص المتجه ب، بيساوي المتجه أ زائد معكوس المتجه ب. محصّلة متجهين أو أكتر لهم نفس الاتجاه. بيبقى متجه طوله بيساوي مجموع أطوال هذه المتجهات. وبيبقى اتجاهه هو نفس المتجهات الأصلية. يعني لو عندنا متجه طوله سنتيمتر، ومتجه تاني طوله اتنين سنتيمتر. ده أ وده ب. يبقى المحصّلة متجه طوله تلاتة سنتيمتر في نفس الاتجاه بتاع أ زائد ب.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده عن العمليات على المتجهات. وعرفنا إزَّاي هنوجد المحصّلة بطريقتين، اللي همّ قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي الأضلاع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.