تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد تكامل مقدار يتضمن دوال أسية الرياضيات

أوجد ‎تكامل ((٢ + ٣ﻫ^(ﺱ))‏/‏(١ + ﻫ^(ﺱ))) بالنسبة إلى ﺱ.

٠٤:٥٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل اثنين زائد ثلاثة ﻫ أس ﺱ الكل مقسوم على واحد زائد ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة التكامل غير المحدد لخارج قسمة دالتين تتضمنان الدالة الأسية ﻫ أس ﺱ. وهو تكامل يصعب حسابه مباشرة. لذا علينا استخدام إحدى قواعد التكامل لمساعدتنا في حساب هذا التكامل.

لمساعدتنا في حساب هذا التكامل، يمكننا تذكر أن التكامل غير المحدد لـ د شرطة ﺱ مقسومًا على د ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ د ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وهذه نتيجة مفيدة. إذا سمينا مقام خارج القسمة في الدالة التي سيتم تكاملها، أي واحد زائد ﻫ أس ﺱ، بالدالة د ﺱ، فيمكننا اشتقاق ذلك. ونجد أن د شرطة ﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ. يمكننا ملاحظة أن هذا موجود بالفعل في بسط الدالة التي سنكاملها. ومن ثم، يمكننا استخدام ذلك لحساب هذا الجزء من التكامل.

لكن علينا أن ننتبه لكيفية اختيار تقسيم هذه الدالة التي سيتم تكاملها. على سبيل المثال، إذا قسمنا الدالة التي سيتم تكاملها من خلال الحدين في البسط، فسنحصل على الحد اثنين مقسومًا على واحد زائد ﻫ أس ﺱ، والحد الآخر ثلاثة ﻫ أس ﺱ مقسومًا على واحد زائد ﻫ أس ﺱ. يمكننا إيجاد قيمة الحد الثاني باستخدام قاعدة التكامل هذه. ولكن، نحن لا نعرف كيف نحسب تكامل اثنين مقسومًا على واحد زائد ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. إذن، بدلًا من تقسيم التكامل من خلال الحدين في البسط، دعونا نحدد عدد مرات تكرار المقام في البسط.

أسهل طريقة لفعل ذلك هي إعادة كتابة البسط بدلالة مضاعفات واحد زائد ﻫ أس ﺱ. يمكننا ملاحظة أن اثنين في واحد زائد ﻫ أس ﺱ يساوي اثنين زائد اثنين ﻫ أس ﺱ. وإذا أضفنا ﻫ أس ﺱ إلى هذا، فسنحصل على البسط نفسه للدالة التي سيتم تكاملها. وبذلك، نكون قد أعدنا كتابة التكامل على صورة تكامل اثنين في واحد زائد ﻫ أس ﺱ زائد ﻫ أس ﺱ الكل مقسوم على واحد زائد ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

والآن يمكننا تقسيم هذه الدالة التي سيتم تكاملها من خلال الحدين في البسط. وهذا يعطينا تكامل اثنين في واحد زائد ﻫ أس ﺱ مقسومًا على واحد زائد ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل ﻫ أس ﺱ مقسومًا على واحد زائد ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. أصبح هذا مكتوبًا على صورة تكاملين يمكننا حسابهما.

لنبدأ بحساب التكامل الأول. يمكننا البدء بحذف العامل المشترك واحد زائد ﻫ أس ﺱ في كل من البسط والمقام. وهذا يعطينا تكامل اثنين بالنسبة إلى ﺱ. نحن نعرف أن هذا يساوي اثنين ﺱ زائد ثابت التكامل. ولكن، ليس علينا إضافة ثابت التكامل حتى النهاية لأننا نحسب مجموع تكاملين.

يمكننا حساب التكامل الثاني باستخدام قاعدة التكامل هذه. إذا كان د ﺱ يساوي واحدًا زائد ﻫ أس ﺱ، فإن د شرطة ﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ، وهو بسط هذا المقدار. ومن ثم، فإن تكامل هذا المقدار هو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لواحد زائد ﻫ أس ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وهذا يعطينا الإجابة النهائية.

تكامل اثنين زائد ثلاثة ﻫ أس ﺱ الكل مقسوم على واحد زائد ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اثنين ﺱ زائد اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لواحد زائد ﻫ أس ﺱ زائد الثابت التكامل ﺙ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.