نسخة الفيديو النصية
اشترى سائق سيارة ٨٣ لترًا من البنزين وستة لترات من الزيت بمبلغ ١٩٠ جنيهًا مصريًّا. اشترى سائق دراجة بخارية ٢٢ لترًا من البنزين و ٢٠ لترًا من الزيت بمبلغ ١٢٤ جنيهًا مصريًّا. بافتراض أن كلًّا منهما دفع نفس السعر لكل لتر، استخدم المصفوفات لإيجاد سعر لتر واحد من البنزين، وسعر لتر واحد من الزيت.
مطلوب منا إيجاد سعر لتر واحد من البنزين ولتر واحد من الزيت باستخدام المصفوفات، ولدينا بعض المعطيات عن عمليتي شراء للبنزين والزيت قام بهما سائق سيارة وسائق دراجة بخارية. دعونا نبدأ بكتابة المعطيات الواردة على صورة معادلتين آنيتين. ولكي نفعل ذلك، لنفترض أن ﻙ يساوي سعر لتر واحد من البنزين، ﻝ يساوي سعر لتر واحد من الزيت.
علمنا أن سائق السيارة اشترى ٨٣ لترًا من البنزين وستة لترات من الزيت مقابل ١٩٠ جنيهًا مصريًّا. إذن بالنسبة إلى سائق السيارة، لدينا ٨٣ﻙ زائد ستة ﻝ يساوي ١٩٠. واشترى سائق الدراجة البخارية ٢٢ لترًا من البنزين و ٢٠ لترًا من الزيت مقابل ١٢٤ جنيهًا مصريًّا؛ ومن ثم يكون لدينا ٢٢ﻙ زائد ٢٠ﻝ يساوي ١٢٤.
حسنًا، لقد بدأنا بداية جيدة. لدينا معادلتان آنيتان ومجهولان هما ﻙ، ﻝ. بالتأكد من محاذاة المتغيرين رأسيًّا، وهذا صحيح في هذه الحالة؛ إذ يوجد الثابتان في الطرف الأيسر، يتيح لنا ذلك كتابة معاملات المتغيرات في مصفوفة معاملات. العنصران الموجودان في الصف الأول من مصفوفة المعاملات هما معاملا ﻙ، ﻝ في المعادلة الأولى. والعنصران الموجودان في الصف الثاني من مصفوفة المعاملات هما معاملا ﻙ ﻝ في المعادلة الثانية.
إذن، تحتوي مصفوفة المعاملات على العناصر ٨٣، ستة، ٢٢، ٢٠. نضرب هذه المصفوفة في مصفوفة العمود للمتغيرين ﻙ، ﻝ. وحاصل ضرب هاتين المصفوفتين يساوي مصفوفة العمود للثابتين في الطرف الأيسر، بحيث إذا ضربنا المصفوفتين في الطرف الأيمن، وساوينا المصفوفتين في الطرفين، فسنحصل على المعادلتين الأولى والثانية.
إذن، لدينا معادلة على الصورة ﺃﺱ يساوي ﺏ، ونريد إيجاد قيمة ﺱ. لاحظ أن المصفوفة التي رتبتها ﻡ في واحد يمكن أن تسمى متجه العمود؛ ومن ثم استخدمنا ترميز المتجهات. ولحل هذه المسألة، سنستخدم حقيقة أنه لأي مصفوفة غير منفردة ﺃ، معكوس ﺃ في ﺃ يساوي ﺃ في معكوس ﺃ. وهذا يساوي مصفوفة الوحدة. لعلنا نتذكر أن مصفوفة الوحدة هي المصفوفة التي يساوي جميع عناصر قطرها الرئيسي واحدًا، ويساوي باقي عناصرها صفرًا.
إذن، إذا ضربنا كلا طرفي معادلتنا المصفوفية في معكوس ﺃ من جهة اليمين واستخدمنا حقيقة أن معكوس ﺃ في ﺃ يساوي 𝐼، فإن الطرف الأيمن يبسط إلى ﺱ، والطرف الأيسر يبسط إلى معكوس ﺃ في ﺏ. من ثم، إذا كانت مصفوفة المعاملات لدينا هي ﺃ، كل ما علينا فعله هو إيجاد معكوس ﺃ وضربه في ﺏ. وهذا يعطينا الحل ﺱ.
تذكر أنه بالنسبة إلى مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، فإن معكوس ﺃ يساوي واحدًا على ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ في المصفوفة التي عناصرها ﺩ، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ﺃ. وتذكر أن ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ هو محدد ﺃ، الذي يجب ألا يساوي صفرًا. وفي المصفوفة بدلنا العنصرين ﺃ، ﺩ، وضربنا كلًّا من ﺏ، ﺟ في سالب واحد. في الحالة التي لدينا، عناصر المصفوفة ﺃ هي ٨٣، ستة، ٢٢، ٢٠. إذن، معكوس هذه المصفوفة يساوي واحدًا على ٨٣ في ٢٠، أي ﺃ في ﺩ، ناقص ستة في ٢٢، أي ﺏ في ﺟ، مضروبًا في المصفوفة التي عناصرها ٢٠، سالب ستة، سالب ٢٢، ٨٣.
قيمة الكسر لدينا هي واحد على ١٥٢٨. إذن، معكوس مصفوفة المعاملات هو واحد على ١٥٢٨ في المصفوفة التي تحتوي على العناصر ٢٠، سالب ستة، سالب ٢٢، ٨٣.
بالعودة إلى المعادلة مرة أخرى، يصبح لدينا في الطرف الأيمن مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين ﻙ، ﻝ، وهي تمثل ﺱ. وفي الطرف الأيسر، يصبح لدينا معكوس المصفوفة مضروبًا في مصفوفة العمود للثوابت. وبضرب ما لدينا في الطرف الأيسر، يصبح لدينا ٢٠ في ١٩٠ زائد سالب ستة في ١٢٤، وسالب ٢٢ في ١٩٠ زائد ٨٣ في ١٢٤. وهذا يساوي واحدًا على ١٥٢٨ في مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين ٣٠٥٦، ٦١١٢.
بإفراغ بعض المساحة، نحصل على مصفوفة العمود التي تحتوي على العنصرين اثنين وأربعة. وبمساواة المصفوفتين، هذا يعني أن ﻙ يساوي اثنين، وﻝ يساوي أربعة؛ ومن ثم، إذا اشترى سائق سيارة ٨٣ لترًا من البنزين وستة لترات من الزيت بمبلغ ١٩٠ جنيهًا مصريًّا، واشترى سائق دراجة بخارية ٢٢ لترًا من البنزين و ٢٠ لترًا من الزيت بمبلغ ١٢٤ جنيهًا مصريًّا، فإن سعر اللتر الواحد من البنزين يساوي جنيهين مصريين، وسعر اللتر الواحد من الزيت يساوي أربعة جنيهات مصرية.
