فيديو الدرس: الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية الأرضية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم معادلات الحركة للعجلة المنتظمة لتمثيل الحركة الرأسية لجسم يتحرك بعجلة منتظمة تحت تأثير الجاذبية الأرضية.

١٧:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية الأرضية. سوف نتعلم كيف نحسب حركة الأجسام تحت تأثير هذه القوة، ونطبق مجموعة من المعادلات التي تساعدنا في تحليل العديد من الأمثلة الحياتية.

عندما نتحدث عن الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية، نعلم أنها تعني الأجسام التي تتحرك في مستوى رأسي فقط، إما لأعلى وإما لأسفل. وبما أننا نتحدث عن الحركة تحت تأثير الجاذبية، فإن هذا يعني أن الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثرة على الأجسام. لذا في هذا الدرس، لن نتناول تأثير أي قوى أخرى مثل مقاومة الهواء أو الاحتكاك أو غيرها.

الأمر اللافت بشأن قوة الجاذبية هو أنها تجعل الأجسام المتحركة رأسيًّا تتحرك بعجلة. على سبيل المثال، عندما كانت هذه الكرة في أيدينا، كانت سرعتها تساوي صفرًا. لكن بمجرد إلقائها، فإنها تبدأ في التحرك بعجلة لأسفل. وهذا يعني أنه بمرور الزمن، تزداد سرعتها نحو الأسفل. ولهذا السبب، إذا أخذنا لقطات للكرة على فترات زمنية متساوية، فلن نجد نفس المسافة بين مواضع الكرة في كل لقطة. فهي تسقط بسرعة أكبر.

لفهم الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية، علينا معرفة بعض المعلومات عن عجلة الجاذبية، والتي يرمز لها عادة بـ ﺩ. بالقرب من سطح الأرض، عادة ما يبلغ مقدار هذه العجلة نحو ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. بعبارة أخرى، إنها تساوي ٩٫٨ أمتار في الثانية كل ثانية، ما يعني أنه مع مرور كل ثانية أثناء السقوط الحر لجسم ما مثل الكرة هنا، فإن سرعة هذا الجسم ستزداد بمقدار ٩٫٨ أمتار لكل ثانية بفعل عجلة الجاذبية.

هذا السقوط الحر للأجسام هو أحد نوعي الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية. لنفترض أنه بدلًا من إسقاط الكرة من ارتفاع معين، فإننا نقذفها لأعلى في الهواء مباشرة. لكننا نعلم من واقع التجربة أن هذه الكرة ستصل إلى نقطة معينة ثم تعود إلى السكون للحظة، ومن ثم تبدأ في السقوط مرة أخرى نحو الأرض، مثل الكرة التي تحركت من السكون هنا. يمكننا وصف هذين النوعين من الحركة باستخدام ما يعرف باسم «معادلات الحركة». توجد أربع معادلات حركة، كل منها تصف حركة الجسم بطريقة مختلفة. فكل معادلات الحركة هذه، والتي تسمى أحيانًا معادلات الحركة بعجلة ثابتة، تفترض أن الجسم يتحرك بعجلة ثابتة. وعندما يتحقق هذا الشرط، تنطبق هذه المعادلات الأربع، والعكس صحيح.

لقد استخدمنا هنا ﻑ لتمثل الإزاحة، وﻉ صفر لتمثل السرعة الابتدائية، وﻉ لتمثل السرعة النهائية، وﻥ لتمثل الزمن، وﺟ لتمثل العجلة المنتظمة. وفي حالة الحركة تحت تأثير الجاذبية، تبقى العجلة ﺟ دائمًا كما هي. فهي عجلة الجاذبية.

من المهم أن نعرف أن هذه المعادلات هي معادلات متجهة. وهو ما يعني أن الإزاحة والعجلة والسرعة جميعها كميات متجهة لها مقدار واتجاه. وعليه، إذا أردنا استخدام معادلة حركة في أي حالة، فعلينا أن نحدد اتجاه الحركة الموجب واتجاه الحركة السالب. في حالة الأجسام التي تتحرك رأسيًّا، يمكننا القول إن أي حركة لأعلى تكون موجبة، وأي حركة لأسفل تكون سالبة. إذا اعتمدنا هذه الطريقة، فلا بد أن ينعكس ذلك على جميع متغيرات الكميات المتجهة، أي الإزاحة والسرعة والعجلة. على سبيل المثال، بما أن الجاذبية تتجه دائمًا لأسفل، فإن عجلة الجاذبية ستكون سالب ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. وفي حالة الكرة التي أسقطناها من السكون، ستكون سرعتها بعد أي لحظة من سقوطها سالبة أيضًا، في حين أن هذه الكرة التي قذفناها لأعلى في الهواء أولًا، ستكون سرعتها موجبة حتى تصل إلى حالة السكون، ثم ستسقط مرة أخرى نحو الأسفل، فنحصل على سالب واحد.

من الضروري الالتزام بطريقة موحدة لإشارات اتجاهات الحركة أثناء الحل لتطبيق معادلة الحركة بدقة. وبمعرفة كل ذلك، هيا نتدرب على تحليل الحركة الرأسية تحت تأثير قوة الجاذبية.

قذف جسم رأسيًّا لأعلى من سطح الأرض. إذا كان أقصى ارتفاع بلغه الجسم ٦٢٫٥ مترًا، فأوجد السرعة التي قذف بها. عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

لنفترض أن هذا هو مستوى سطح الأرض، وهذا هو الجسم الذي قذف رأسيًّا لأعلى. نتيجة لهذا القذف، علمنا أن الجسم وصل إلى أقصى ارتفاع، سنسميه ﻑ، ويبلغ ٦٢٫٥ مترًا. نريد إيجاد السرعة الابتدائية للجسم التي مكنته من الوصول إلى هذا الارتفاع الأقصى ﻑ. إذن، يكون لهذا الجسم سرعة ابتدائية لأعلى، لكنه يقع تحت تأثير الجاذبية لأسفل دائمًا، حيث تتباطأ سرعته تدريجيًّا كلما صعد لأعلى إلى أن يتوقف في النهاية. وبما أن هذا مثال على جسم يتحرك بعجلة منتظمة تحت تأثير الجاذبية، إذن يمكننا هنا استخدام إحدى معادلات الحركة لوصف حركته.

سنستخدم تحديدًا المعادلة التي تنص على أن مربع السرعة النهائية للجسم يساوي مربع سرعته الابتدائية زائد اثنين مضروبًا في عجلته مضروبًا في إزاحته. بتطبيق هذه العلاقة على السؤال لدينا، يمكننا القول إن ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع، حيث ﻉ صفر هو ما نريد إيجاده، زائد اثنين في ﺩ، أي العجلة التي يتحرك بها الجسم، مضروبًا في ﻑ، أي أقصى ارتفاع وصل إليه. ذكرنا من قبل أنه عندما يكون الجسم عند أقصى ارتفاع، فإن سرعته تساوي صفرًا. فإذا افترضنا أن هذه اللحظة الزمنية هي السرعة النهائية، التي يمثلها ﻉ، فهذا يعني أن ﻉ يساوي صفرًا. ومن ثم، هذا الحد كله يساوي صفرًا. إذن، هذه هي المعادلة التي نريد حلها لإيجاد قيمة ﻉ صفر.

دعونا هنا نضع طريقة للإشارات بحيث يمكننا تحديد اتجاه الحركة الموجب واتجاه الحركة السالب في هذا السؤال. نفترض أن ﻉ صفر، أي السرعة الابتدائية للجسم، كمية موجبة، وهذا يعني أن أي كمية متجهة نحو الاتجاه المعاكس ستكون إشارتها سالبة. نلاحظ هنا أن عجلة الجاذبية تشير لأسفل. إذن، عندما نعوض عن ﺩ في هذه المعادلة، سنستخدم القيمة سالب ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

هيا نعوض عن ﻑ بـ ٦٢٫٥ مترًا. هذه الكمية موجبة؛ لأن ﻑ يتجه رأسيًّا لأعلى من سطح الأرض. نترك وحدات القياس جانبًا في الوقت الحالي، ونجد أن لدينا صفر يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين في سالب ٩٫٨ في ٦٢٫٥. وإذا أضفنا حاصل ضرب هذه الكميات الثلاث إلى طرفي المعادلة، فسنجد أن ﻉ صفر تربيع يساوي اثنين في ٩٫٨ في ٦٢٫٥. بحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نجد أن ﻉ صفر يساوي هذا التعبير، وهو ما يساوي ٣٥ مترًا لكل ثانية. إذن، هذه هي السرعة التي قذف بها الجسم.

دعونا الآن نتناول مثالًا يتضمن جسمًا سقط من السكون.

إذا سقط جسم من مبنى ووصل إلى الأرض بعد ثلاث ثوان، فأوجد سرعته المتوسطة خلال السقوط. عجلة الجاذبية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

حسنًا، لنفترض أن هذا هو المبنى. ولدينا هنا الجسم، وهو هذا الجسم الوردي، الذي سقط رأسيًّا لأسفل من المبنى. لنفترض أن الشخص الذي أسقط الجسم قام بتشغيل ساعة إيقاف بمجرد ترك الجسم. وعلمنا أن الجسم قد استغرق ثلاث ثوان لكي يصل إلى الأرض. في ضوء هذه المعطيات، نريد إيجاد السرعة المتوسطة لهذا الجسم خلال سقوطه. نظرًا لأن هذا الجسم لا يقع تحت تأثير أي قوة أخرى سوى الجاذبية، فنحن نعلم أنه يتحرك بعجلة منتظمة. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام ما يعرف باسم «معادلات الحركة» لوصف حركة الجسم الساقط. سنستخدم تحديدًا المعادلة التي تنص على أن السرعة النهائية للجسم تساوي سرعته الابتدائية زائد عجلته مضروبة في الزمن الذي تزداد عجلة الجسم خلاله.

بالإضافة إلى ذلك، سنستخدم حقيقة أنه لأي جسم يتحرك بعجلة منتظمة، فإن السرعة المتوسطة لهذا الجسم تساوي مجموع سرعته النهائية وسرعته الابتدائية مقسومًا على اثنين. السرعة المتوسطة هي ما نريد إيجاده هنا. ولفعل ذلك، علينا معرفة السرعة النهائية والسرعة الابتدائية للجسم. نعلم أن الجسم قد سقط، أي بدأ من حالة السكون، وهو ما يوضح لنا أن سرعته الابتدائية تساوي صفرًا. هذا يعني أنه لإيجاد السرعة المتوسطة للجسم، علينا فقط معرفة سرعته النهائية ثم القسمة على اثنين. يمكننا هنا استخدام حقيقة أن السرعة النهائية تساوي السرعة الابتدائية زائد ﺟ في ﻥ.

بما أننا عرفنا أن ﻉ صفر يساوي صفرًا، والعجلة هنا هي عجلة الجاذبية ﺩ، يمكننا إذن كتابة أن ﻉ يساوي ﺩ في ﻥ. علمنا أيضًا أن الزمن ﻥ يساوي ثلاث ثوان، وعجلة الجاذبية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. إذا عوضنا عن هاتين القيمتين تاركين الوحدات جانبًا، فسنجد أن ﻉ يساوي ٩٫٨ في ثلاثة، أي ٢٩٫٤ مترًا لكل ثانية. يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة عن ﻉ في معادلة السرعة المتوسطة. وعليه، نجد أن ﻉ المتوسطة يساوي ٢٩٫٤ على اثنين أو ١٤٫٧ مترًا لكل ثانية. إذن، هذه هي السرعة المتوسطة للجسم خلال سقوطه.

هيا نتناول مثالًا آخر.

قذف جسم رأسيًّا لأعلى بسرعة سبعة أمتار لكل ثانية من نقطة ترتفع عن سطح الأرض ٣٨٫٧ مترًا. أوجد أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه الجسم. عجلة الجاذبية الأرضية ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

حسنًا، إذا افترضنا أن هذا هو مستوى سطح الأرض، وانتقلنا لأعلى من سطح الأرض مسافة ٣٨٫٧ مترًا، فيكون لدينا جسم قذف لأعلى بسرعة مقدارها سبعة أمتار لكل ثانية. وهذا يوضح لنا أن الجسم سيواصل حركته لأعلى. لكننا نعلم أنه سيتباطأ أكثر فأكثر تحت تأثير الجاذبية حتى يصل إلى حالة السكون في النهاية. وعند هذه النقطة، يكون قد وصل إلى أقصى ارتفاع له. وسنسميه ﻑ العظمي. هذا هو الارتفاع الذي نريد إيجاد قيمته، ونلاحظ أنه يساوي ٣٨٫٧ مترًا زائد هذا الارتفاع هنا. سنسمي هذا الارتفاع ﻑ. وبما أن الجسم يتحرك بعجلة منتظمة نحو هذا الارتفاع تحت تأثير الجاذبية، يمكننا استخدام إحدى معادلات الحركة لإيجاد قيمة ﻑ. سنستخدم تحديدًا العلاقة التي تنص على أن مربع السرعة النهائية لجسم يساوي مربع سرعته الابتدائية زائد اثنين مضروبًا في عجلته مضروبًا في إزاحته.

بتطبيق هذه العلاقة على السؤال لدينا، يمكننا القول إن ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين في ﺩ، أي عجلة الجسم، مضروبًا في ﻑ. بالرجوع إلى الرسم، إذا قلنا إن موضع الجسم هنا هو موضعه الابتدائي، حيث سرعته الابتدائية ﻉ صفر، وموضع الجسم هنا عند أقصى ارتفاع له هو موضعه النهائي، فعندئذ يمكننا القول إن ﻉ يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن هذه هي المعادلة التي علينا حلها لإيجاد الارتفاع ﻑ.

يمكننا الآن تحديد إشارات اتجاهات الحركة، حيث يكون اتجاه الحركة لأعلى موجبًا، ويكون اتجاه الحركة لأسفل سالبًا. سيفيدنا هذا لأن عجلة الجاذبية اتجاهها لأسفل، في حين أن السرعة الابتدائية، والتي أسميناها ﻉ صفر، اتجاهها لأعلى. وبتجاهل الوحدات، يمكننا إذن استخدام القيمة موجب سبعة للتعويض عن ﻉ صفر، وسالب ٩٫٨ للتعويض عن ﺩ. عند التعويض بهاتين القيمتين ثم طرح سبعة تربيع من طرفي هذه المعادلة، نجد أن سالب سبعة تربيع يساوي اثنين في سالب ٩٫٨ مضروبًا في ﻑ. نحذف الإشارتين السالبتين معًا. إذا قسمنا بعد ذلك طرفي المعادلة على اثنين في ٩٫٨، فسنجد أن ﻑ يساوي ٤٩، أي سبعة تربيع، مقسومًا على اثنين في ٩٫٨. وهذا يساوي ٢٫٥. سوف نستخدم وحدة المتر.

لكن تذكر أن هذه ليست الإجابة لأن ﻑ مجرد جزء من ﻑ العظمي. وﻑ العظمي يساوي ٣٨٫٧ مترًا زائد ﻑ أو ٣٨٫٧ مترًا زائد ٢٫٥ متر. بجمع ذلك، نحصل على ٤١٫٢ مترًا. وهذا هو أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه الجسم.

هيا نتناول مثالًا آخر يتضمن حركة رأسية لأعلى.

إذا قذف جسم رأسيًّا لأعلى بسرعة ﻉ ليصل إلى أقصى ارتفاع ﻑ، فإن السرعة التي ينبغي قذف الجسم بها للوصول إلى ارتفاع أربعة ﻑ تساوي (فراغ). (أ) ﻉ، (ب) أربعة ﻉ، (ج) اثنين ﻉ، (د) الجذر التربيعي لاثنين ﻉ.

حسنًا، لدينا هنا سؤال يتضمن جسمًا قذف رأسيًّا لأعلى بسرعة أسميناها ﻉ. وتحت تأثير هذا القذف، وصل الجسم إلى الارتفاع الأقصى ﻑ. فلنتخيل أن هذا الجسم قد قذف حتى وصل إلى ارتفاع أربعة ﻑ. السؤال هو: ما السرعة الابتدائية التي ينبغي قذف الجسم بها للوصول إلى هذا الارتفاع؟ لدينا هنا أربعة خيارات للإجابة. عند البدء في الحل، نلاحظ أن هذا الجسم عندما يتحرك لأعلى، فإنه يقع تحت تأثير قوة الجاذبية فقط. لذلك تكون عجلته منتظمة، ويمكننا وصف حركته باستخدام إحدى معادلات الحركة. المعادلة التي سنستخدمها هي تلك المعادلة التي تنص على أن مربع السرعة النهائية للجسم يساوي مربع سرعته الابتدائية زائد اثنين مضروبًا في عجلته مضروبًا في إزاحته.

في حالة الأجسام التي تقذف رأسيًّا، يمكننا القول إن اللحظة الزمنية النهائية هي لحظة وصول الجسم إلى أقصى ارتفاع له. وفي جميع الحالات، فإن سرعة الجسم عند هذه النقطة تساوي صفرًا. يعني هذا أن الطرف الأيمن من هذا التعبير يساوي صفرًا. عندما نكتب الطرف الأيسر، نركز على هذه الحالة حيث لدينا أقصى ارتفاع ﻑ وسرعة ابتدائية ﻉ. سنكتب إذن صفر يساوي ﻉ تربيع زائد اثنين في ﺩ، أي العجلة التي يتحرك بها الجسم، مضروبًا في ﻑ. ويمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث تصبح ﻑ يساوي سالب ﻉ تربيع على اثنين في ﺩ.

‏ﺩ هنا يساوي سالب ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. بكتابة هذه القيمة دون وحدات، نحذف الإشارتين السالبتين في البسط والمقام معًا. وعليه، إذا أردنا أن يصعد جسم لأقصى ارتفاع مقداره ﻑ، فعلينا أن نقذفه بسرعة ابتدائية مقدارها ﻉ. وإذا أردنا أن يصعد جسم لأقصى ارتفاع مقداره أربعة ﻑ، حيث نضرب طرفي المعادلة في أربعة، فنستطيع القول إن هذا يساوي اثنين في ﻉ تربيع مقسومًا على اثنين في ٩٫٨. وبذلك، أصبحنا نعرف السرعة الابتدائية للجسم لكي يصل إلى الارتفاع أربعة في ﻑ. فلا بد أن تساوي ضعف السرعة الابتدائية ﻉ.

هيا نراجع الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. أولًا، عرفنا أن الجسم الذي يتحرك رأسيًّا تحت تأثير الجاذبية يمكن وصف حركته باستخدام معادلات الحركة. لإيجاد قيم كميات مثل الإزاحة والسرعة والزمن وغيرها، غالبًا ما يكون من المفيد رسم شكل توضيحي وتحديد إشارات اتجاهات الحركة الموجبة والسالبة. وأخيرًا، قد يكون حفظ معادلات الحركة مفيدًا أيضًا.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.