نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي يمثل المعادلات البارامترية للمستوى الذي يحتوي على الخط المستقيم ﺱ زائد واحد على سالب اثنين يساوي ﺹ ناقص اثنين على اثنين يساوي ﻉ ناقص خمسة على أربعة، والمتجه ﺭ يساوي واحدًا، ثلاثة، واحدًا. الخيار أ: ﺱ تساوي سالب واحد ناقص اثنين ﻙ واحد زائد ﻙ اثنين، وﺹ تساوي اثنين زائد اثنين ﻙ واحد زائد ثلاثة ﻙ اثنين، وﻉ تساوي خمسة زائد أربعة ﻙ واحد زائد ﻙ اثنين. الخيار ب: ﺱ تساوي سالب واحد ناقص اثنين ﻙ واحد زائد ﻙ اثنين، وﺹ تساوي اثنين زائد اثنين ﻙ واحد زائد ثلاثة ﻙ اثنين، وﻉ تساوي سالب خمسة زائد أربعة ﻙ واحد زائد ﻙ اثنين. الخيار ج: ﺱ تساوي سالب واحد ناقص اثنين ﻙ واحد زائد ﻙ اثنين، وﺹ تساوي سالب اثنين زائد اثنين ﻙ واحد زائد ثلاثة ﻙ اثنين، وﻉ تساوي خمسة زائد أربعة ﻙ واحد زائد ﻙ اثنين. الخيار د: ﺱ تساوي سالب واحد زائد اثنين ﻙ واحد زائد خمسة ﻙ اثنين، وﺹ تساوي سالب اثنين زائد اثنين ﻙ واحد زائد ثلاثة ﻙ اثنين، وﻉ تساوي خمسة زائد أربعة ﻙ واحد زائد ﻙ اثنين. الخيار هـ: ﺱ تساوي سالب واحد زائد اثنين ﻙ واحد زائد خمسة ﻙ اثنين، وﺹ تساوي اثنين زائد اثنين ﻙ واحد زائد ثلاثة ﻙ اثنين، وﻉ تساوي سالب خمسة زائد أربعة ﻙ واحد زائد ﻙ اثنين.
في هذا السؤال، لدينا خمسة خيارات ممكنة للمعادلات البارامترية لمستوى. علينا تحديد أي من هذه الخيارات الخمسة هو الصورة الصحيحة للمعادلات البارامترية للمستوى. لفعل ذلك، لدينا معطيان عن المستوى. بداية، علمنا أن المستوى يحتوي على خط مستقيم معطى بالصورة العامة. علمنا أيضًا أن المستوى يحتوي على متجه الاتجاه ﺭ يساوي واحدًا، ثلاثة، واحدًا. تجدر الإشارة إلى أنه عندما نقول إن المستوى يحتوي على متجه، فهذا يعني أن المتجه يوازي المستوى نفسه. في الواقع، يشبه الأمر نفسه ما يحدث مع الخط المستقيم. إذا كان الخط موجودًا ضمن المستوى، فهذا يعني أن الخط المستقيم يوازي المستوى. من ثم، متجه اتجاه هذا الخط المستقيم يوازي المستوى. هذا يعني أن لدينا متجهين متوازيين مع المستوى.
هذا يتيح لنا طريقتين مختلفتين لحل هذا السؤال. يمكننا الآن أن نتذكر ما نعنيه بالضبط بالمعادلات البارامترية لمستوى. بعد ذلك يمكننا التفكير في الخيارات الخمسة المعطاة لتحديد أي منها في الصورة الصحيحة للمعادلات البارامترية للمستوى. ويمكننا فعل ذلك باستبعاد الخيارات غير الصحيحة. لكن هذه الطريقة تقتضي أن تكون لدينا الخيارات الخمسة للاختيار من بينها.
لذا بدلًا من ذلك، سنبدأ بتذكر أن المستوى الذي يمر بالنقطة ﻥ التي إحداثياتها ﺱﻥ، ﺹﻥ، ﻉﻥ ويوازي متجهين مختلفين هما ﻝ يساوي ﻝﺱ، ﻝﺹ، ﻝﻉ وﻡ يساوي ﻡﺱ، ﻡﺹ، ﻡﻉ؛ ستكون له المعادلات البارامترية ﺱ تساوي ﺱﻥ زائد ﻝﺱﻙ واحد زائد ﻡﺱﻙ اثنين. ﺹ تساوي ﺹﻥ زائد ﻝﺹﻙ واحد زائد ﻡﺹﻙ اثنين. وﻉ تساوي ﻉﻥ زائد ﻝﻉﻙ واحد زائد ﻡﻉﻙ اثنين؛ حيث ﻙ واحد وﻙ اثنان يمكن أن يكون لهما أي قيمة قياسية.
من الجدير بالذكر أننا نريد ألا يكون المتجهان ﻝ وﻡ على استقامة واحدة. يمكننا تطبيق هذا التعريف على المستوى المعطى في السؤال. بما أن المستوى يوازي ﺭ، سنجعل المتجه ﻡ يساوي ﺭ، وهو المتجه واحد، ثلاثة، واحد. علمنا أيضًا أن المستوى يحتوي على الخط المستقيم المعطى بالصورة العامة. نحن نعلم أن مقامات كسور هذه الصورة العامة ستعطينا متجه اتجاه هذا الخط المستقيم. من ثم سنجعل ﻝ متجه اتجاه هذا الخط المستقيم، أي المتجه سالب اثنين، اثنين، أربعة. جدير بالذكر أنه يمكننا أخذ مضاعف قياسي لهذين المتجهين إذا أردنا. على سبيل المثال، يمكننا ضرب المتجه ﻝ في نصف. لكن كما نلاحظ، هذا ليس ضروريًّا في هذا السؤال.
الآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد نقطة تقع على المستوى. وبما أن المستوى يحتوي على الخط المستقيم، فإنه يحتوي على جميع النقاط الواقعة على هذا الخط المستقيم. بذلك، علينا فقط إيجاد نقطة واحدة تقع على هذا الخط المستقيم. إحدى طرق فعل ذلك هي جعل كل كسر من معادلة الخط المستقيم المعطاة يساوي صفرًا. من ثم نجد أن إحداثيات ﻥ هي سالب واحد، اثنان، خمسة. يمكننا الآن التعويض بإحداثيات ﻥ ومركبات المتجهين ﻝ وﻡ في المعادلات البارامترية للمستوى. بمجرد التعويض عن هذه القيم، يمكننا التبسيط. عندما نفعل ذلك سنحصل على مجموعة المعادلات البارامترية التالية التي يمكننا ملاحظة أنها موضحة في الخيار أ.
إذن، نكون قد أوضحنا أن المعادلات البارامترية للمستوى المعطى في السؤال هي: ﺱ تساوي سالب واحد ناقص اثنين ﻙ واحد زائد ﻙ اثنين، وﺹ تساوي اثنين زائد اثنين ﻙ واحد زائد ثلاثة ﻙ اثنين، وﻉ تساوي خمسة زائد أربعة ﻙ واحد زائد ﻙ اثنين.
