فيديو السؤال: إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة الرياضيات

أوجد القيمة الدقيقة لـ جا ٣٠°.

٠٤:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيمة الدقيقة لـ ‪جا‬‏٣٠ درجة.

ربما تكون معتادًا على استخدام آلة حاسبة أو كمبيوتر عند التعامل مع الدوال المثلثية. وذلك لأن قيم دوال الجيب وجيب التمام والظل لمعظم الزوايا، أعداد ذات منازل عشرية كثيرة. ولكن في حالات معينة، تكون قيم الجيب وجيب التمام والظل أعدادًا صحيحة أو أعدادًا يمكن كتابتها في صورة كسر. الحالات الشائعة التي ستصادفها هي صفر درجة و٣٠ درجة و٤٥ درجة و٦٠ درجة و٩٠ درجة.

بالنظر إلى السؤال، نرى أن لدينا إحدى هذه الحالات بالفعل. بالرغم من ارتباط الدوال المثلثية الوثيق بالمثلثات قائمة الزوايا، فإننا في هذا السؤال سنبدأ بالنظر إلى مثلث متساوي الأضلاع. نعرف أنه في أي مثلث متساوي الأضلاع كل الزوايا قياسها ٦٠ درجة وأطوال الأضلاع متساوية. يمكننا اختيار أي طول لضلع المثلث وسنحصل على النتيجة المرجوة. سنختار الطول اثنين ليكون التعامل سهلًا فيما بعد.

أول ما سنفعله في المثلث هو تقسيمه إلى نصفين بخط عمودي على القاعدة. يمكننا الآن تجاهل أحد نصفي المثلث. وبذلك، يصبح لدينا مثلث جديد قائم الزاوية. وبما أن الزاوية العليا والقاعدة قد نصفتا، فنحن نعرف أن كلًّا منهما يساوي نصف قيمته الأصلية. يصبح لدينا زاوية عليا قياسها ٣٠ درجة وقاعدة طولها واحد. دعونا نسم أضلاع المثلث الجديد ﺃ وﺏ وﺟ.

لإكمال معلومات هذا المثلث، علينا إيجاد طول الضلع ﺃ، ويمكننا ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس. تنص النظرية على أنه في أي مثلث قائم الزاوية فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

دعونا نعوض بقيم ﺏ وﺟ التي لدينا. بتربيع الأعداد، يصبح لدينا ﺃ تربيع زائد واحد يساوي أربعة. بطرح واحد من الطرفين، نجد أن ﺃ تربيع يساوي ثلاثة. وأخيرًا، بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن ﺃ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة.

من الجدير بالملاحظة أن هناك في الواقع حلين لهذه المعادلة. إذ يمكننا أن نقول إن ﺃ يساوي موجب الجذر التربيعي لثلاثة أو سالب الجذر التربيعي لثلاثة. في هذا السؤال، ﺃ يشير إلى طول؛ لذلك لن نهتم إلا بالقيمة الموجبة.

بالحصول على هذه الإجابة، نكون قد أكملنا معلومات المثلث القائم الزاوية. سيساعدنا هذا المثلث في حل المسألة باستخدام المتطابقة المثلثية لجيب الزاوية. تنص المتطابقة على أنه في أي مثلث قائم الزاوية تكون قيمة دالة جيب الزاوية 𝜃 مساوية لطول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسومًا على طول الوتر.

كما نرى في المثلث، لدينا بالفعل زاوية قياسها ٣٠ درجة. إذن نكتب جا٣٠ درجة يساوي طول الضلع المقابل — وهو ﺏ — مقسومًا على طول الوتر — وهو ﺟ. وبما أننا نعرف هاتين القيمتين، فسنعوض عن ﺏ بواحد وعن ﺟ باثنين، وهو ما يعطينا جا٣٠ درجة يساوي واحدًا على اثنين، أي نصفًا.

ربما تتساءل الآن عن سبب إيجاد طول الضلع ﺃ بالرغم من أننا لم نحتجه عند حساب جا٣٠ درجة. السبب هو أن هذا المثلث سيساعدنا كثيرًا عند حساب قيم بعض النسب المثلثية الأخرى بدقة.

على هامش ذلك، لنفكر في الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة في هذا المثلث. نعلم من متطابقة الجيب أن جا٦٠ درجة يساوي طول الضلع المقابل — وهو ﺃ — على طول الوتر — وهو ﺟ.

مرة أخرى، نعرف هاتين القيمتين في المثلث، ومن ثم يمكننا التعويض عن ﺃ بالجذر التربيعي لثلاثة وعن ﺟ باثنين. وبذلك نجد أن جا٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. ملاحظة أخيرة، قد يساعدك هذا المثلث في حل مسائل مشابهة. باستخدام هذه الطريقة وبمراجعة المتطابقات المثلثية، لا بد أن تكون قادرًا على حل المسائل التي تتضمن قيمًا دقيقة لـ جتا٣٠ درجة وجتا٦٠ درجة وظا٣٠ درجة وظا٦٠ درجة.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.