فيديو الدرس: محصلة الحركة والقوة المحصلة الفيزياء

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نوجد النتيجة النهائية عند دمج قيم متعددة لكمية كينماتيكية، مثل إزاحتين أو عجلتين. عند إجراء هذا النوع من عمليات الدمج، تكون المتجهات هي أفضل عناصر رياضية لتمثيل الكميات الكينماتيكية. دعونا إذن نتذكر كيفية التعامل مع المتجهات ومركباتها.

المتجهات هي عناصر رياضية لها مقدار واتجاه. ويمكننا تمثيل المتجهات في صورة أسهم؛ حيث يكون طول السهم هو مقدار المتجه. والاتجاه الذي يشير إليه السهم هو اتجاه المتجه، وهو هنا يشير إلى اليمين. من خلال تمثيل المتجهات بأسهم نستطيع إجراء أنواع معينة من العمليات الحسابية الهندسية عليها.

لإجراء هذه العمليات الحسابية، من المفيد أن تكون قادرًا على الإشارة إلى طرفي المتجه بوضوح. لذلك سنسمي هذا الطرف الذيل، وهذا الطرف الرأس. يمكننا بسهولة معرفة مدى أهمية المتجهات في تمثيل الكميات الكينماتيكية عندما نفكر في شخص يدفع صندوقًا على الأرض. لنفترض أن هذا الشخص يؤثر بقوة مقدارها ‪10‬‏ نيوتن لدفع الصندوق. ‏‏‪10‬‏ نيوتن هو مقدار القوة. لكن معرفة هذا المقدار لا توضح لنا ما إذا كان الصندوق قد دفع إلى اليسار أم اليمين.

لكن كما نرى بوضوح من الصورة، القوة متجهة نحو اليمين. وبذلك، فإن المعلومات الكاملة حول هذه القوة تتضمن كلًا من مقدارها واتجاهها، ولهذا السبب تعد المتجهات الطريقة المناسبة لتمثيل القوة. لوصف أي من الكميات الكينماتيكية التي تهمنا، سنحتاج إلى معرفة مقدارها واتجاهها كما سنرى لاحقًا. ولأن المتجهات هي الاختيار المناسب لفعل ذلك، دعونا نتناول كيفية دمج المتجهات.

عندما نجمع متجهين، يجب أن نأخذ بعين الاعتبار أن كل متجه له اتجاه. ولهذا سنحتاج إلى إجراء مختلف عن مجرد جمع عددين. بتمثيل المتجهات في صورة أسهم، يمكننا إجراء عملية الجمع هذه بسهولة تامة. لنفكر، مثلًا، في مجموع هذين المتجهين.

لإجراء هذا الجمع، علينا محاذاة ذيل المتجه الثاني مع رأس المتجه الأول. نفعل ذلك بيانيًا ببساطة عن طريق رسم ذيل المتجه الثاني عند رأس المتجه الأول. ومجموع هذين المتجهين هو المتجه الذي يكون ذيله عند ذيل المتجه الأول، ورأسه عند رأس المتجه الثاني. ومجددًا، يمكننا إيجاد ذلك بيانيًا ببساطة عن طريق رسم هذا السهم.

كما نرى، يختلف مقدار مجموع المتجهين واتجاهه عن المجموع الحسابي البسيط لمقداري المتجهين الأصليين. لكن كما هو الحال مع جمع الأعداد، جمع المتجهات يعد أيضًا عملية إبدالية. هذا يعني أن ترتيب الجمع لا يهم. عند جمع المتجهين، ينتج عن رسم المتجه الأزرق عند رأس المتجه البرتقالي النتيجة نفسها بالضبط لرسم المتجه البرتقالي عند رأس المتجه الأزرق. وجمع أي زوج من المتجهات بهذه الطريقة للحصول على مجموع واحد يشير إلى طريقة أخرى يمكننا استخدامها في تمثيل أي متجه واحد.

سنبدأ برسم ذيل المتجه عند نقطة الأصل لمحورين ديكارتيين. والآن لنتخيل أننا رسمنا خطًا مستقيمًا رأسيًا من رأس المتجه وصولًا إلى المحور الأفقي. بعد ذلك، يمكننا رسم هذا المتجه على المحور الأفقي حتى يصل إلى أقصى نقطة ناحية اليمين يصل إليها رأس المتجه الأصلي. يمكننا أيضًا فعل الأمر نفسه مع المحور الرأسي.

يصل هذا المتجه على المحور الرأسي إلى أقصى ارتفاع يصل إليه رأس المتجه الأصلي. لكن لننظر الآن بتمعن إلى هذه الصورة. طول المتجه الرأسي مساو بالضبط للمسافة بين رأس المتجه الأفقي ورأس المتجه الأصلي. وينطبق الأمر نفسه على المتجه الأفقي. طوله مساو بالضبط للمسافة بين رأس المتجه الرأسي ورأس المتجه الأصلي. دعونا ننظر بتمعن إلى ما رسمناه. سواء بدأنا بالمتجه الرأسي أو المتجه الأفقي، نرسم ذيل المتجه الثاني عند رأس المتجه الأول.

لدينا بعد ذلك متجه ثالث ذيله هو ذيل المتجه الأول، ورأسه هو رأس المتجه الثاني. هذه المتجهات الثلاثة هي التي يتضمنها مجموع أي متجهين. يمكن تمثيل المتجه الأرجواني الأصلي بمجموع المتجه الأفقي البرتقالي والمتجه الرأسي الأزرق. إذا أطلقنا على المتجه الأصلي ‪𝐕‬‏، حيث نستخدم نصف سهم مرسومًا على الحرف ليدل على أننا نتحدث عن متجه، فسنطلق على المتجهين الأفقي والرأسي مركبتي المتجه ‪𝐕‬‏. ونستخدم عادة الرمز ‪𝐕𝑥‬‏ لتمثيل المركبة الأفقية، و‪𝐕𝑦‬‏ لتمثيل المركبة الرأسية. إذن باستخدام الرموز، نكتب ‪𝐕‬‏ يساوي ‪𝐕𝑥‬‏ زائد ‪𝐕𝑦‬‏.

وهذا تمثيل مفيد جدًا؛ لأنه كما نرى في هذا التمثيل البياني، ‪𝐕𝑥‬‏ و‪𝐕𝑦‬‏ موازيان لمحوري النظام الديكارتي، وهو ما يعني أنهما متعامدان. نوعيًا، يتيح لنا ذلك التحدث بشكل مستقل عن المركبة الأفقية والمركبة الرأسية للمتجه ‪𝐕‬‏، على الرغم من أن المتجه ‪𝐕‬‏ نفسه ليس أفقيًا ولا رأسيًا. ونستخدم تعبيرًا علميًا هنا بأن نسمي ‪𝐕𝑥‬‏ و‪𝐕𝑦‬‏ مسقط ‪𝐕‬‏ على هذين المحورين. وهذا يعني أن ‪𝐕𝑥‬‏ و‪𝐕𝑦‬‏ مركبتا المتجه ‪𝐕‬‏، وهما متوازيتان مع محوري النظام.

ومن الناحية الكمية، نظرًا لأن المثلث الذي أضلاعه ‪𝐕𝑥‬‏ و‪𝐕𝑦‬‏ و‪𝐕‬‏ مثلث قائم الزاوية، يمكننا بسهولة تطبيق نظرية فيثاغورس وإجراء العمليات الحسابية المثلثية. دعونا نفترض أن رمز المتجه الذي لا يوجد أعلاه نصف سهم يمثل مقدار هذا المتجه. وفقًا لنظرية فيثاغورس التي تنطبق على هذا المثلث القائم الزاوية، مقدار ‪𝑉‬‏ يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي مقدار ‪𝐕𝑥‬‏ ومقدار ‪𝐕𝑦‬‏. وهذا يربط مقدار‪𝑉‬‏ بـ ‪𝐕𝑥‬‏ و‪𝐕𝑦‬‏.

والآن دعونا نر إذا كنا نستطيع ربط الاتجاه بالمركبتين أيضًا. نظرًا لأن المتجه مرسوم على محاور ديكارتية، يمكننا تمثيل اتجاه المتجه بالزاوية التي يصنعها مع المحور الأفقي. لنسم هذه الزاوية ‪𝜃‬‏. لربط الزاوية ‪𝜃‬‏ بـ ‪𝐕𝑥‬‏ و‪𝐕𝑦‬‏، تذكر أن ظل الزاوية الحادة في المثلث القائم الزاوية يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. في هذا المثلث، ‪𝐕𝑦‬‏ هو الضلع المقابل للزاوية ‪𝜃‬‏، و‪𝐕𝑥‬‏ هو الضلع المجاور لها. ومن ثم فإن ‪tan 𝜃‬‏ يساوي مقدار ‪𝐕𝑦‬‏ مقسومًا على مقدار ‪𝐕𝑥‬‏.

بدلًا من ذلك، يمكننا الآن أخذ الدالة العكسية لـ ‪tan 𝜃‬‏ لكلا طرفي هذه المعادلة. ونتوصل بذلك إلى أن الزاوية ‪𝜃‬‏، وهي اتجاه المتجه ‪𝑉‬‏، تساوي الدالة العكسية لـ ‪tan 𝜃‬‏ لمقدار ‪𝐕𝑦‬‏ مقسومًا على مقدار ‪𝐕𝑥‬‏. وهذا يعطينا معادلتين؛ إحداهما لمقدار المتجه ‪𝐕‬‏، والأخرى لاتجاهه بدلالة مقداري مركبتيه فقط. لا نحتاج إلى الإشارة إلى اتجاه هاتين المركبتين لأننا نعلم أنهما متعامدتان على بعضهما البعض، ومتوازيتان مع محوري النظام.

على العكس من ذلك، يمكننا أيضًا إيجاد مقداري ‪𝐕𝑥‬‏ و‪𝐕𝑦‬‏ من مقدار المتجه ‪𝑉‬‏ واتجاهه. تذكر أن جيب تمام الزاوية الحادة في المثلث القائم الزاوية يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. هذا يعني أن طول ‪𝐕𝑥‬‏ يساوي طول ‪𝑉‬‏ مضروبًا في ‪cos 𝜃‬‏. وبالمثل، لإيجاد طول الضلع المقابل للزاوية الحادة، نستخدم جيب الزاوية بدلًا من جيب تمام الزاوية. وبذلك، فإن مقدار ‪𝐕𝑦‬‏ يساوي مقدار ‪𝑉‬‏ مضروبًا في ‪sin 𝜃‬‏.

تعطينا هاتان المعادلتان مقداري مركبتي المتجه بدلالة مقدار المتجه نفسه واتجاهه. لاحظ مجددًا أننا لم نر أي إشارة على اتجاه هذين المتجهين. وذلك لأن اتجاهيهما محددان مسبقًا. المتجه ‪𝐕𝑥‬‏ يكون دائمًا في الاتجاه الأفقي، والمتجه ‪𝐕𝑦‬‏ يكون دائمًا في الاتجاه الرأسي.

بدأنا باستخدام فكرة جمع المتجهات للوصول إلى مفهوم مركبتي المتجه. والآن، يمكننا فعل العكس. يمكننا استخدام المعادلات التي حصلنا عليها لتحسين قدرتنا على جمع المتجهات.

لنلق الآن نظرة على مجموع متجهين، وهما المتجه ‪𝐕‬‏ والمتجه ‪𝐔‬‏. نعلم بالفعل كيفية إجراء هذا الجمع عن طريق رسم متجه من ذيل المتجه ‪𝐕‬‏ إلى رأس المتجه ‪𝐔‬‏. لكن قبل تنفيذ هذه الخطوة، دعونا نرسم المركبتين الأفقية والرأسية لهذين المتجهين. بالنسبة للمتجه ‪𝐕‬‏، نتبع الخطوات نفسها التي اتبعناها سابقًا. نرسم خطًا رأسيًا يصل إلى المحور الأفقي، وهو الذي يوضح لنا طول المركبة الأفقية. أما المركبة الرأسية، فهي المتجه بين رأس المركبة الأفقية والمتجه ‪𝐕‬‏ نفسه.

وبذلك، كما رأينا من قبل، يساوي المتجه ‪𝐕‬‏ مجموع ‪𝐕𝑥‬‏ و‪𝐕𝑦‬‏. يمكننا فعل الأمر نفسه مع المتجه ‪𝐔‬‏. لكن علينا أن نأخذ في الاعتبار أن ذيل المتجه ‪𝐔‬‏ لا يقع عند نقطة الأصل في النظام. وهذه ليست مشكلة. وذلك لأن، كما نتذكر، ما يحدد مركبتي المتجه حقًا هو أن تكون المركبة الأفقية موازية للمحور الأفقي في النظام. والمركبة الرأسية موازية للمحور الرأسي فيه. ومجموع المركبتين يساوي المتجه نفسه. بعبارة أخرى، تشكل المركبتان الأفقية والرأسية لأي متجه الضلعين الأفقي والرأسي للمثلث القائم الزاوية الذي يكون فيه المتجه هو الوتر.

بالنسبة للمتجه ‪𝐔‬‏، هذان الضلعان هما هذان الخطان المتقطعان. وبذلك، الضلع الأفقي هو ‪𝐔𝑥‬‏، والضلع الرأسي هو ‪𝐔𝑦‬‏. إذن يمكننا، كما نرى، رسم مركبتي المتجه ‪𝐔‬‏ على الرغم من أن المتجه ‪𝐔‬‏ لا يقع عند نقطة الأصل.

حسنًا، لنرسم الآن المتجه الذي يمثل مجموع المتجهين ‪𝐕‬‏ و‪𝐔‬‏. لنسم هذا المتجه ‪𝐖‬‏. سنبحث الآن عن المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه ‪𝐖‬‏. تشكل مركبتا المتجه ‪𝐖‬‏ ضلعي المثلث القائم الذي يكون فيه ‪𝐖‬‏ هو الوتر. على المحور الأفقي، سيساوي ذلك المتجه ‪𝐕𝑥‬‏ زائد المتجه الممثل بهذا السهم المتقطع البرتقالي. وعلى المحور الرأسي، سيساوي ذلك المتجه الممثل بهذا السهم المتقطع الأزرق زائد المتجه ‪𝐔𝑦‬‏.

لننظر الآن جيدًا إلى هذين المتجهين المتقطعين. المتجه المتقطع البرتقالي هو نفسه المتجه ‪𝐔𝑥‬‏. وبالمثل، المتجه المتقطع الأزرق هو نفسه المتجه ‪𝐕𝑦‬‏. وهاتان العبارتان صحيحتان؛ لأن المتجهين المتصلين والمتجهين المتقطعين يشكلان مستطيلًا، وكل ضلعين متقابلين في المستطيل متطابقان.

على أي حال، يمكننا أن نرى الآن بسهولة أنه نظرًا لأن ذيل المتجه ‪𝐔𝑥‬‏ يحاذي رأس المتجه ‪𝐕𝑥‬‏ مكونًا المتجه ‪𝐖𝑥‬‏، فإن المتجه ‪𝐖𝑥‬‏ يساوي ‪𝐕𝑥‬‏ زائد ‪𝐔𝑥‬‏. بالمنطق ذاته، وباستخدام الخاصية الإبدالية لجمع المتجهات، نجد أن ‪𝐖𝑦‬‏ يساوي ‪𝐕𝑦‬‏ زائد ‪𝐔𝑦‬‏. تذكر أن كلتا المعادلتين لمركبتي المتجه ‪𝐖‬‏ نتجتا من العلاقة الأصلية التي تشير إلى أن المتجه ‪𝐖‬‏ يساوي ‪𝐕‬‏ زائد ‪𝐔‬‏. وهذا يقودنا إلى استنتاج مهم للغاية بشأن مجموع أي متجهين. وهو أن كل مركبة من مركبتي المتجه الذي هو ناتج جمع متجهين آخرين تساوي مجموع المركبتين المناظرتين لها في هذين المتجهين.

إذن مثلما رأينا، المركبة الأفقية لـ ‪𝐖‬‏ هي مجموع المركبتين الأفقيتين لـ ‪𝐕‬‏ و‪𝐔‬‏. من المنطقي أن نتساءل هنا لماذا يعد ذلك مفيدًا لنا. يبدو أن كل ما فعلناه هو التعويض عن معادلة متجه واحدة بمعادلتي متجهين. لكننا في الواقع استفدنا كثيرًا. لا يمكننا إيجاد مجموع المتجه ‪𝐕‬‏ والمتجه ‪𝐔‬‏ دون وضع اتجاه هذين المتجهين في الاعتبار.

لكن تذكر أن كل مركبة أفقية لها نفس الاتجاه. وعندما نجمع متجهين لهما الاتجاه نفسه، نجمع فقط مقداريهما ونحتفظ بالاتجاه كما هو. هذا يعني أنه يمكننا التعويض عن معادلتي المركبتين الأفقية والرأسية للمتجه ‪𝐖‬‏ بمقداري مركبتيهما غير المتجهين. مقدار ‪𝑊𝑥‬‏ يساوي مقدار ‪𝑉𝑥‬‏ زائد مقدار ‪𝑈𝑥‬‏. وينطبق الأمر ذاته على مقدار ‪𝑊𝑦‬‏. إنه يساوي مقدار ‪𝑉𝑦‬‏ زائد مقدار ‪𝑈𝑦‬‏.

مجددًا، السبب الوحيد الذي مكننا من تحويل هاتين المعادلتين المتجهتين إلى معادلتين قياسيتين هو أن جميع المتجهات في كل معادلة لها نفس الاتجاه. هذا يعني أنه باستخدام المعادلات السابقة التي ربطت مقدار المتجهين واتجاههما بمركباتهما، يمكننا إيجاد محصلة جمع المتجهين باستخدام هاتين المعادلتين القياسيتين اللتين تكونان أسهل بكثير عادة في حسابهما.

حسنًا، لقد تناولنا حتى الآن الكثير من العمليات الحسابية المجردة. لكن الأمر يستحق العناء؛ لأنه يمكننا الآن تطبيق هذه الأفكار على أي من الكميات الكينماتيكية. كل من هذه الكميات التي تعنينا يمكن تمثيلها بمتجه.

الإزاحة هي المسافة من نقطة مرجعية في اتجاه معين. إذن بما أن الإزاحة لها مقدار واتجاه، يمكننا تمثيلها بمتجه. وبالمثل، السرعة المتجهة هي السرعة التي يتحرك بها الجسم في اتجاه معين. ومن ثم، فإن لها أيضًا مقدارًا واتجاهًا، ويمكن تمثيلها بمتجه. والعجلة هي معدل تغير السرعة المتجهة. وبما أن السرعة المتجهة لها مقدار واتجاه، فإن التغير فيها يمكن أن يكون إما تغيرًا في المقدار أو الاتجاه أو كليهما. لذا يجب أن تتضمن العجلة معلومات عن المقدار والاتجاه. وبذلك، يمكن تمثيلها أيضًا بمتجه. وأخيرًا، القوة، وفقًا لقانون نيوتن الثاني، تساوي الكتلة مضروبة في العجلة. نعلم أن العجلة متجه. وحاصل ضرب الكتلة، وهي كمية قياسية، في متجه يمثل متجهًا آخر.

علاوة على ذلك كما رأينا في مثال الشخص الذي يدفع الصندوق، لكي نصف قوة ما وصفًا كاملًا علينا معرفة كل من مقدار هذه القوة واتجاهها. نظرًا لأنه يمكن تمثيل كل من هذه الكميات بمتجه، يمكننا التعامل مع عمليات جمع من هذه الكميات بالطريقة نفسها التي نتبعها مع عمليات جمع المتجهات. هيا نر بعض الأمثلة على ذلك.

يمتد طريق شمالًا مسافة ‪10‬‏ كيلومترات من طرف مدينة إلى حيث يتقاطع مع طريق يتجه شرقًا. تعطلت سيارة على الطريق المتجه شرقًا. وكان مقدار الإزاحة بين طرف المدينة والسيارة يساوي‪ 24‬‏ كيلومترًا. ما المسافة التي تبعدها السيارة شرقًا عن التقاطع، لأقرب كيلومتر؟

لبدء الإجابة عن هذا السؤال، دعونا نرسم شكلًا توضيحيًا. لدينا طريق متجه شمالًا، وطريق متجه شرقًا، وسيارة معطلة، ومدينة. ها هو الطريق المتجه شمالًا، والطريق المتجه شرقًا، والسيارة، والمدينة. نعلم أن تقاطع هذين الطريقين يقع على بعد ‪10‬‏ كيلومترات شمال المدينة. نعلم أيضًا أن مقدار الإزاحة بين السيارة والمدينة يساوي ‪24‬‏ كيلومترًا. والمطلوب منا هو إيجاد هذه المسافة من التقاطع إلى السيارة مقربة لأقرب كيلومتر.

إذا نظرنا إلى الإزاحة على أنها متجه، يمكننا أن نرى أن المسافة التي نبحث عنها هي مقدار الإسقاط الأفقي للإزاحة. ويمكننا إيجاد طول مركبة المتجه هذه بسهولة عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية الذي أضلاعه هي: الطريق المتجه شمالًا، والطريق المتجه شرقًا، والإزاحة. وهذا مثلث قائم الزاوية لأن اتجاه الشمال واتجاه الشرق، بحكم تعريفهما، متعامدان على بعضهما البعض.

دعونا نطلق على طول هذه القطعة المستقيمة من الطريق المشيرة شرقًا ‪𝑙‬‏. ووفقًا لنظرية فيثاغورس، ‪10‬‏ كيلومترات تربيع زائد ‪𝑙‬‏ تربيع، أي مجموع مربعي ضلعي المثلث، يساوي ‪24‬‏ كيلومترًا تربيع، أي مربع طول الوتر. إذا طرحنا ‪10‬‏ كيلومترات تربيع من كلا الطرفين، نجد أن ‪10‬‏ كيلومترات تربيع ناقص ‪10‬‏ كيلومترات تربيع في الطرف الأيسر يساوي صفرًا. ويتبقى لدينا ‪𝑙‬‏ تربيع يساوي ‪24‬‏ كيلومترًا تربيع ناقص ‪10‬‏ كيلومترات تربيع. ‏‏‪24‬‏ تربيع يساوي ‪576‬‏، و‪10‬‏ تربيع يساوي ‪100‬‏. لذا يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن في صورة ‪576‬‏ كيلومترًا مربعًا ناقص ‪100‬‏ كيلومتر مربع. ‏‏‪576‬‏ ناقص ‪100‬‏ يساوي ‪476‬‏، إذن ‪𝑙‬‏ تربيع يساوي ‪476‬‏ كيلومترًا مربعًا.

ولإيجاد ‪𝑙‬‏، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. الجذر التربيعي للكيلومتر المربع هو الكيلومتر. إذن ‪𝑙‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪476‬‏ كيلومترًا. الجذر التربيعي لـ ‪476‬‏ يساوي ‪21.8‬‏ تقريبًا. وللتقريب لأقرب كيلومتر، ننظر إلى الرقم الأول على يمين العلامة العشرية، وهو ثمانية. وثمانية أكبر من خمسة، إذن نقرب الواحد إلى اثنين. إذن المسافة من السيارة المعطلة إلى التقاطع مقربة إلى أقرب كيلومتر تساوي ‪22‬‏ كيلومترًا.

رائع، لنر مثالًا آخر.

يحلق طائر في خط مستقيم؛ حيث تكون إزاحته في اتجاه الشرق ‪450‬‏ مترًا، وإزاحته في اتجاه الشمال‪ 350‬‏ مترًا من النقطة التي بدأ منها الطيران، كما هو موضح في الشكل. ما الزاوية التي ينبغي أن يدور بها الطائر في اتجاه الغرب ليغير اتجاهه ويطير في اتجاه الشمال مباشرة؟ قرب إجابتك لأقرب درجة.

حسنًا، لدينا شكل موضح عليه الاتجاهات الأصلية الأربعة؛ حيث يكون اتجاه الشرق نحو اليمين، واتجاه الشمال نحو الأعلى. يمثل الخط الأزرق متجه إزاحة الطائر. ويمثل الخطان ذوا اللون الأسود المركبتين الرأسية والأفقية لهذه الإزاحة. ونعرف من المعطيات أن قياس هاتين المركبتين هو ‪350‬‏ مترًا باتجاه الشمال، و‪450‬‏ مترًا باتجاه الشرق، على الترتيب. والمطلوب منا هو إيجاد قياس الزاوية التي ينبغي أن يدور بها الطائر ليغير اتجاهه ويطير في اتجاه الشمال مباشرة.

لمساعدتنا في معرفة هذه الزاوية، هيا نرسم مسار الطائر باتجاه الشمال على الشكل. يمثل هذا الخط الأرجواني مسارًا باتجاه الشمال لأنه يشير لأعلى مباشرة. من ناحية أخرى، إذا استمر الطائر في مساره الحالي، فسيتبع هذا الخط المتقطع الأزرق. إذن لكي يغير الطائر اتجاهه ويطير مباشرة في اتجاه الشمال، لا بد أن يستدير بالزاوية الواقعة بين المسارين.

هذه هي الزاوية التي علينا حسابها. لكن بما أننا لا نعرف أي شيء آخر عن المتجه المتقطع والمتجه الأرجواني، دعونا نحاول إيجاد جزء آخر من الشكل له نفس الزاوية. يشير كل من المتجه الأرجواني ومركبة الإزاحة المشيرة شمالًا إلى الشمال، ومن ثم فهما متوازيان. وهذا يعني أن مسار الطائر هو خط مستقيم يتقاطع مع خطين مستقيمين متوازيين. إذن الزاويتان المتناظرتان عند التقاطعين متساويتان في القياس.

في الشكل، هذه الزاوية، التي تقع بين مركبة الإزاحة المشيرة شمالًا والإزاحة نفسها، تناظر الزاوية التي رسمناها سابقًا؛ لأن هاتين الزاويتين تقعان على يمين الخطين المتوازيين وفوق خط الإزاحة. ولذلك إذا استطعنا إيجاد قياس هذه الزاوية، فسنعرف الزاوية التي يجب أن يستدير بها الطائر.

نتذكر هنا أنه عند جمع المركبتين الأفقية والرأسية لأي متجه، نحصل على المتجه نفسه. ومن ثم، إذا رسمنا ‪450‬‏ مترًا باتجاه الشرق بين رأس المتجه الشمالي ورأس متجه الإزاحة، فسنحصل على مثلث قائم الزاوية أضلاعه هي المركبتان والإزاحة. يصنع هذان المتجهان زاوية قائمة؛ لأن اتجاهي الشمال والشرق متعامدان. لنسم هذه الزاوية ‪𝜃‬‏.

والآن، تذكر أن ظل الزاوية يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. إذن ‪tan 𝜃‬‏ يساوي ‪450‬‏ مترًا مقسومًا على ‪350‬‏ مترًا. متر مقسوم على متر يساوي واحدًا. إذن الطرف الأيمن من هذه المعادلة هو مجرد عدد بدون وحدات قياس. والآن يمكننا أن نأخذ الدالة العكسية لـ ‪tan 𝜃‬‏ لكلا الطرفين لإيجاد هذه الزاوية. باستخدام الآلة الحاسبة نحسب ‪𝜃‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ‪tan 𝜃‬‏ لـ ‪450‬‏ مقسومة على ‪350‬‏، فنجد أن قياس الزاوية ‪𝜃‬‏ قريب جدًا من ‪52.125‬‏ درجة.

تذكر أن هذه هي الزاوية نفسها التي نبحث عنها للإجابة عن السؤال. إذن كل ما علينا فعله هو تقريب الزاوية ‪𝜃‬‏ لأقرب درجة. بالنظر إلى الرقم الأول يمين العلامة العشرية، نجد أن واحدًا أقل من خمسة، وعليه تظل الاثنان كما هي. إذن يجب أن يستدير الطائر بزاوية قياسها ‪52‬‏، مقربة لأقرب درجة، باتجاه الغرب ليحلق مباشرة في اتجاه الشمال.

بعد أن تناولنا بعض الأمثلة، هيا نراجع النقاط الأساسية التي تعلمناها في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يجب أن يتضمن الوصف الكامل للقوة والكميات الكينماتيكية، مثل الإزاحة والسرعة والعجلة، مقدارًا واتجاهًا. وهذا يجعل المتجهات العنصر الرياضي المثالي لتمثيل هذه الكميات.

رأينا أيضًا أنه يمكن التعبير عن المتجه الذي يمثل أيًا من هذه الكميات في صورة مجموع متجهين، كل منهما مواز لأحد المحورين في النظام الديكارتي. وباستخدام نظرية فيثاغورس وقواعد حساب المثلثات للمثلثات القائمة، تمكنا من ربط مقدار المتجه الأصلي واتجاهه بمقداري مركبتيه، حيث استخدمنا رموز المتجهات نفسها، لكن دون نصف السهم الموجود أعلاها، لتمثيل مقدار كل متجه.

استطعنا أيضًا تحديد مقداري المركبتين بدلالة مقدار المتجه الأصلي واتجاهه. وهذا يكفي لتحديد المركبتين بشكل كامل؛ لأن اتجاه كل مركبة معلوم بالفعل. وباستخدام المركبتين، حولنا أيضًا مجموع متجهين إلى مجموعين قياسيين، بحيث يخص كل منهما إحدى المركبتين. ويكون استخدام هذه المجاميع سهلًا للغاية عادة، ما يعد أمرًا مفيدًا جدًا لنا؛ لأنه يمكننا من تمثيل دمج أي قيمتين لكمية كينماتيكية بجمع المتجهات.