فيديو السؤال: تعريف الدالة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ما المقصود بالدالة؟

في هذا السؤال، مطلوب منا تذكر تعريف الدالة. وفي الواقع، يوجد العديد من الطرق المختلفة لتعريف الدالة. سنستعرض هنا بعض التعريفات الشائعة. أولًا، يمكننا القول إن الدالة تأخذ كل عنصر في مجموعة، وتربطه بعنصر واحد فقط في مجموعة ثانية. وتوجد بعض النقاط المهمة التي علينا ملاحظتها بشأن هذا التعريف. أولًا، علينا أن نعرف أن المجموعة الأولى والمجموعة الثانية لا يلزم أن تكونا مجموعتين مختلفتين. إذ يمكن أن تكونا نفس المجموعة. على سبيل المثال، افترض أن الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ، حيث ندخل عددًا حقيقيًّا وتخرج الدالة عددًا حقيقيًّا آخر. وهذا يتفق مع التعريف الذي ذكرناه. يمكننا أخذ أي عنصر في مجموعة الأعداد الحقيقية، ثم نكتبه في الدالة لمضاعفته، ونحصل على عنصر واحد فقط في المجموعة الثانية.

ولكن هذه ليست إلا طريقة واحدة لتعريف الدالة. يمكننا أن نلاحظ أن هذا التعريف يشبه إلى حد كبير تعريف العلاقة. وهذا يعني أننا سنتمكن من تعريف دالة بدلالة علاقة. نتذكر أن علاقة ما، أو تحديدًا علاقة ثنائية بين مجموعتين ﺱ وﺹ، هي مجموعة من أزواج مرتبة تحتوي على ﺱ وﺹ ، حيث ﺱ هو عنصر في المجموعة ﺱ وﺹ هو عنصر في المجموعة ﺹ. يمكننا إذن القول إن ﺱ مرتبط بـ ﺹ إذا كان الزوج المرتب ﺱ، ﺹ يقع في المجموعة. ويمكننا استخدام ذلك أيضًا لتعريف الدالة. القيمة الأولى في الزوج المرتب ستكون القيمة المدخلة. والقيمة الثانية في هذه المجموعة ستكون القيمة المخرجة.

لكن على الرغم من ذلك، علينا أن ننتبه إلى أنه ليست كل علاقة تعطي دالة. فعليك تذكر أن الدالة يجب أن تأخذ كل عنصر في المجموعة الأولى وتربطه بعنصر واحد فقط في المجموعة الثانية. في هذه العلاقة، سمينا المجموعة الأولى ﺱ والمجموعة الثانية ﺹ. وعليه، لكي تكون العلاقة عبارة عن دالة، يجب أن تكون لها خاصيتان. كل عنصر في ﺱ يجب أن يرتبط بعنصر في ﺹ، ويجب أن يرتبط بعنصر واحد فقط في ﺹ. يمكننا كتابة ذلك باختصار في صورة خاصية واحدة. الدالة هي علاقة تربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط، وهو ما يسمح لنا بالإجابة عن سؤال «ما المقصود بالدالة؟» بأنها العلاقة التي تربط كل قيمة مدخلة بقيمة مخرجة واحدة فقط.