فيديو الدرس: قانون نيوتن الثاني: الكتلة الثابتة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم قانون نيوتن الثاني للحركة مع جسم ذي كتلة ثابتة تحت تأثير قوة ثابتة.

١٨:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم قانون نيوتن الثاني للحركة لحل المسائل التي تتضمن أجسامًا ذات كتلة ثابتة تحت تأثير قوة ثابتة. لعلكم سمعتم عن قانون نيوتن الأول للحركة. وينص على أن الجسم يظل في حالة سكون أو حركة منتظمة في خط مستقيم ما لم تؤثر عليه قوة خارجية. لكن هذا القانون لا يستخدم بمفرده. إنه في الواقع القانون الأول من بين ثلاثة قوانين تؤسس للميكانيكا الكلاسيكية كما نعرفها حاليًا.

ما يعنينا هو القانون الثاني، ولذا هيا نتعرف عليه. بخلاف قانون الحركة الأول، الذي يدرس ما يحدث عندما تكون القوى متوازنة، وهو أن مجموع محصلة القوى المؤثرة على جسم ما يساوي صفرًا، فإن هذا القانون يخبرنا بما يحدث عندما تكون هذه القوى غير متوازنة. وهذه صيغة طويلة إلى حد ما.

بالصيغة الرياضية، ينص القانون في منطوقه النموذجي على أن عجلة الجسم الناتجة عن محصلة قوى تتناسب طرديًا مع مقدار محصلة القوى المؤثرة في نفس اتجاهها، وتتناسب عكسيًا مع كتلة الجسم. لكن ما الذي يعنيه ذلك؟

حسنًا، تخيل أنك تدفع عربة محملة بالحجارة. كلما زادت القوة التي تؤثر على العربة في صورة دفعها، زادت العجلة الناتجة. أي ستزيد سرعة حركتك أكثر. ضاعف القوة، وستضاعف العجلة. أي إن العجلة ومحصلة القوى تتناسبان معًا طرديًا. أخرج بعض الحجارة من العربة، وستقل الكتلة. وسيكون عليك استخدام قوة أقل للحفاظ على هذه العجلة.

والآن، يمكننا تبسيط ذلك بشكل كبير. نعرف أن ﺟ هي العجلة وﻕ هي محصلة القوى وﻙ هي كتلة الجسم. ولكي تكون العجلة متناسبة طرديًا مع القوة ومتناسبة عكسيًا مع الكتلة، يمكننا القول إن ﺟ يجب أن تساوي ﻕ على ﻙ. نريد أن نجعل ﻕ في طرف بمفردها. إذن، سنضرب طرفي هذه المعادلة في ﻙ. نحصل من هذا على ﻙﺟ يساوي ﻕ، أو ﻕ تساوي ﻙﺟ. وهذه هي الصيغة المستخدمة عادة، وهي بالتأكيد الصيغة التي عليك تعلمها.

لاحظ أننا عادة نقيس القوى بالنيوتن. ولتحقيق ذلك، ستكون الكتلة بالكيلوجرام والعجلة بالمتر لكل ثانية مربعة. بعد أن تناولنا القاعدة في سياق ما، دعونا نلق نظرة على كيفية تطبيقها.

تؤثر قوة ثابتة على جسم كتلته تسعة كيلوجرامات؛ حيث تغيرت سرعته من ٥٨ كيلومترًا لكل ساعة إلى ٦٦ كيلومترًا لكل ساعة في زمن نصف ثانية. احسب مقدار القوة.

للربط بين حركة الجسم وكتلته والقوة المؤثرة عليه، علينا أن نسترجع قانون نيوتن الثاني للحركة. وينص على أن محصلة القوى المؤثرة على جسم تساوي كتلة هذا الجسم مضروبة في عجلته. ‏‏ﻕ تساوي ﻙﺟ. لدينا الآن كتلة الجسم. إنها تسعة كيلوجرامات. ولكي نتمكن من حساب القوة، علينا حساب العجلة أولًا.

نعرف سرعة الجسم بالفعل. إذن، العجلة تساوي التغير في السرعة مقسومًا على الزمن. لكن لكي نتمكن من حساب القوى بالنيوتن، لا بد أن تكون وحدة قياس السرعة هي المتر لكل ثانية، حتى تكون وحدة قياس العجلة هي متر لكل ثانية مربعة. لنبدأ بـ ٥٨ كيلومترًا لكل ساعة. يخبرنا هذا بأنه في كل ساعة يجب أن يقطع الجسم مسافة ٥٨ كيلومترًا. يوجد ١٠٠٠ متر في الكيلومتر الواحد، ومن ثم نضرب البسط في ١٠٠٠. ونستنتج أن الجسم يجب أن يقطع ٥٨٠٠٠ متر في الساعة.

نعلم أنه يوجد ٦٠ دقيقة في الساعة الواحدة و٦٠ ثانية في الدقيقة. أي إن هناك ٣٦٠٠ ثانية في الساعة. إذن، نضرب المقام في ٣٦٠٠. نجد أن الجسم سيقطع مسافة ٥٨٠٠٠ متر في ٣٦٠٠ ثانية. ‏‏٥٨٠٠٠ مقسومًا على ٣٦٠٠ يساوي ١٤٥ على تسعة. إذن، السرعة الابتدائية للجسم هي ١٤٥ على تسعة متر لكل ثانية. وبالطريقة نفسها، نحول ٦٦ كيلومترًا لكل ساعة إلى متر لكل ساعة. سيساوي هذا ٦٦٠٠٠. نجد إذن أن الجسم يقطع مسافة ٦٦٠٠٠ متر كل ٣٦٠٠ ثانية. يمكن تبسيط هذا الكسر إلى ٥٥ على ثلاثة. وعليه، فإن السرعة النهائية للجسم هي ٥٥ على ثلاثة متر لكل ثانية.

إذن، العجلة بالمتر لكل ثانية مربعة تساوي ٥٥ على ثلاثة ناقص ١٤٥ على تسعة. وهو التغير في السرعة. ثم نقسم كل ذلك على نصف؛ لأنه يغير السرعة في نصف ثانية. ويعطينا هذا ٤٠ على تسعة. إذن، وجدنا أن عجلة الجسم تساوي ٤٠ على تسعة متر لكل ثانية مربعة. وهذا رائع. لدينا العجلة ونعرف كتلة الجسم. إذن، يمكننا الآن استخدام الصيغة: ﻕ تساوي ﻙﺟ.

عرفنا أن الكتلة تساوي تسعة كيلوجرامات، أي إن الكتلة في العجلة تساوي تسعة في ٤٠ على تسعة. ستحذف التسعة بالطبع. إذن، القوة تساوي ٤٠. بما أن الوحدة المستخدمة هي المتر لكل ثانية مربعة والكيلوجرام، إذن وحدة قياس القوة ستكون النيوتن، ومن ثم مقدار أو قيمة القوة المؤثرة على الجسم تساوي ٤٠ نيوتن.

في المسألة التالية، سنتناول كيفية استخدام قانون نيوتن الثاني لحساب كتلة الجسم.

يوضح الشكل جسمًا كتلته ﻙ كيلوجرام، يتحرك بعجلة ثابتة مقدارها ٠٫٨ متر لكل ثانية مربعة تحت تأثير ثلاث قوى رأسية. إذا كان وزن الجسم ﻭ وكانت القوى مقيسة بالنيوتن، فأوجد ﻙ. اعلم أن ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

نحاول إيجاد قيمة ﻙ، لكن لدينا قيمة أخرى غير معروفة وهي ﻭ. وسنرى كيف يرتبطان ببعضهما البعض بعد قليل. في البداية، سنحسب وزن الجسم. الوزن عبارة عن قوة، إذن سنستخدم قانون نيوتن الثاني للحركة. محصلة القوى تساوي الكتلة في العجلة. أي إننا سنوجد محصلة القوى المؤثرة على هذا الجسم ونساويها بالعجلة في الكتلة. ولفعل ذلك، علينا تحديد الاتجاه الموجب. دعونا نحدد الاتجاه لأسفل ليكون موجبًا. يمكننا القول إن لدينا ﻭ في الاتجاه الموجب. وفي الاتجاه السالب، لدينا ١٠ و٧١. وعليه، محصلة القوى في النظام تساوي ﻭ ناقص ١٠ ناقص ٧١، وهو ما يساوي ﻭ ناقص ٨١. ويساوي ذلك الكتلة في العجلة.

لاحظ أن العجلة تؤثر في الاتجاه الموجب. إذن، ﻙﺟ يساوي ﻙ في ٠٫٨. ومن ثم، يمكننا القول إن ﻭ ناقص ٨١ يساوي ٠٫٨ﻙ. ولكن إلام يشير ﻭ وما علاقته بالكتلة ﻙ؟ حسنًا، ﻭ هو وزن الجسم. وعلى عكس ما قد تعتقد، فهو في الواقع قوة. وكنتيجة مباشرة لقانون نيوتن الثاني، الوزن يساوي كتلة الجسم في عجلته الناتجة عن الجاذبية. أي إن الوزن يساوي ﻙﺩ.

يمكننا إذن إعادة كتابة المعادلة على صورة: ﻙﺩ ناقص ٨١ يساوي ‎٠٫٨ﻙ. تذكر أننا نحاول إيجاد قيمة ﻙ، أي علينا جعل ﻙ في طرف بمفردها. دعونا نطرح ‎٠٫٨ﻙ من طرفي المعادلة. سيعطينا هذا ﻙﺩ ناقص ٨١ ناقص ‎٠٫٨ﻙ يساوي صفرًا. بعد ذلك نضيف ٨١، ثم نلاحظ أنه في الطرف الأيسر للمعادلة يمكننا أخذ ﻙ عاملًا مشتركًا. إذن، تصبح المعادلة: ﻙ في ﺩ ناقص ٠٫٨ يساوي ٨١. لكننا نعرف أن ﺩ تساوي ٩٫٨. أي إن ﺩ ناقص ٠٫٨ يعني ٩٫٨ ناقص ٠٫٨، و٩٫٨ ناقص ٠٫٨ يساوي تسعة. إذن، نحصل على تسعة ﻙ يساوي ٨١. ولحل المعادلة لإيجاد قيمة ﻙ، سنقسم كلا الطرفين على تسعة. ‏‏٨١ مقسومًا على تسعة يساوي تسعة. ولذا، قيمة ﻙ تساوي تسعة. كتلة الجسم تسعة كيلوجرامات.

حتى هذه النقطة، تناولنا القوى المؤثرة في اتجاه واحد فقط. من المهم أن ندرك أنه يمكننا إجراء هذه العملية للقوى المؤثرة عموديًا على بعضها البعض، على سبيل المثال، عندما تكون القوة كمية متجهة. دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

جسم كتلته ٤٧٨ جرامًا يتحرك بعجلة سالب أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ متر لكل ثانية مربعة؛ حيث ﺱ وﺹ متجها وحدة متعامدان. ما مقدار القوة المؤثرة على الجسم؟

تذكر أنه للربط بين الكتلة والعجلة ومحصلة القوى، يمكننا استخدام قانون نيوتن الثاني للحركة. وينص على أن القوة تساوي الكتلة في العجلة. الكتلة دائمًا ما تكون كمية قياسية. أي إن لها مقدارًا فقط. ولكن القوة والعجلة يمكن أن تكونا كميتين متجهتين. أي لهما مقدار واتجاه. ولذا، يمكننا كتابة ذلك على صورة: المجموع الاتجاهي لـ ﻕ يساوي الكتلة في متجه العجلة.

وبما أننا نستخدم وحدة القياس المتر لكل ثانية مربعة، لن نتمكن من استخدام هذه الصيغة إلا بعد التحويل من الجرام إلى الكيلوجرام. نعرف أنه يوجد ١٠٠٠ جرام في الكيلوجرام، ومن ثم نقسم ٤٧٨ على ١٠٠٠. لنجد أن هذا يساوي ٠٫٤٧٨ كيلوجرام. إذن، المجموع الاتجاهي للقوى المؤثرة على الجسم يساوي هذه الكتلة في متجه العجلة. أي ٠٫٤٧٨ مضروبًا في سالب أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ.

يمكننا بالطبع توزيع هذه الكمية القياسية على مركبات المتجه. ‏‏٠٫٤٧٨ مضروبًا في سالب أربعة يساوي سالب ١٫٩١٢. والمركبة ﺹ تساوي ١٫٤٣٤. إذن، لدينا متجه القوة، وعلينا إيجاد مقدارها. يمكن إيجاد مقدار المتجه بإيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعي كل مركبة من مركبتيه. أي الجذر التربيعي لسالب ١٫٩١٢ تربيع زائد ١٫٤٣٤ تربيع. ويساوي ٢٫٣٩. وعليه، مقدار القوة المؤثرة على هذا الجسم يساوي ٢٫٣٩ نيوتن.

من الجدير بالذكر هنا أنه كان بإمكاننا ببساطة إيجاد مقدار العجلة أولًا ثم ضربها في الكتلة. وكنا سنحصل على النتيجة نفسها.

في المثال الأخير، سنتناول كيف يمكننا استخدام قانون نيوتن الثاني للحركة ومعادلات الحركة لإيجاد قوة مقاومة.

رصاصة كتلتها ٦٣ جرامًا أطلقت باتجاه حاجز ثابت بسرعة ٨٠ مترًا لكل ثانية. إذا اخترقت خمسة سنتيمترات من الحاجز قبل توقفها، فأوجد مقدار مقاومة الحاجز لحركة الرصاصة.

لنبدأ برسم شكل توضيحي. تقطع الرصاصة المسافة بسرعة ٨٠ مترًا لكل ثانية باتجاه الحاجز. ثم تصطدم بالحاجز وتقطع مسافة خمسة سنتيمترات قبل أن تتوقف. ونريد إيجاد مقاومة الحاجز لحركة الرصاصة.

المقاومة هي قوة تؤثر في اتجاه معاكس لحركة الرصاصة. نعرف كتلة الجسم، ونعرف أنه يمكننا الربط بين الكتلة والقوة باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة. وهو أن القوة تساوي الكتلة في العجلة. نحاول إيجاد قوة المقاومة، ونعرف الكتلة. إذن، علينا إيجاد عجلة الجسم. وللقيام بذلك، يمكننا استخدام قوانين العجلة الثابتة، التي تعرف أحيانًا بمعادلات الحركة.

نعرف السرعة الابتدائية للرصاصة. حيث كانت تتحرك بسرعة ٨٠ مترًا لكل ثانية عند لحظة التصادم. وتوقفت بعد أن قطعت مسافة خمسة سنتيمترات، ومن ثم فإن سرعتها النهائية تساوي صفرًا. قطعت الرصاصة مسافة خمسة سنتيمترات، لكننا بالطبع نتعامل بالمتر، ولذا دعونا نحول هذا. خمسة مقسومًا على ١٠٠ يساوي ٠٫٠٥. ولذا، فإنها تقطع ٠٫٠٥ متر قبل التوقف. نحاول إيجاد العجلة، لنفترض أنها تساوي ﺟ.

المعادلة التي تربط هذين المجهولين هي: ﻉ تربيع تساوي ﻉ الابتدائية تربيع زائد اثنين ﺟﻑ. فلنعوض إذن بما نعرفه في هذه المعادلة، ونوجد قيمة ﺟ. يعطينا هذا صفرًا تربيع يساوي ٨٠ تربيع زائد اثنين في ﺟ في ٠٫٠٥. نبسط الطرف الأيسر إلى ٦٤٠٠ زائد ‎٠٫١ﺟ. سنوجد قيمة ﺟ بطرح ٦٤٠٠ من طرفي المعادلة. نحصل على سالب ٦٤٠٠ يساوي ‎‎٠٫١ﺟ. ثم نقسم على ٠٫١، ونتذكر أن هذا مثل الضرب في ١٠. ومن ثم، نجد أن العجلة تساوي سالب ٦٤٠٠٠ متر لكل ثانية مربعة.

أصبح لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لإيجاد قوة مقاومة الحاجز. لكن قبل أن نتمكن من ذلك، سنحول الكتلة من الجرام إلى الكيلوجرام. وذلك عن طريق القسمة على ١٠٠٠. إذن، ٦٣ جرامًا يساوي ٠٫٠٦٣ كيلوجرام. محصلة القوى هي سالب ﻡ، بما أنها تؤثر في اتجاه معاكس للاتجاه الموجب. يساوي هذا الكتلة في العجلة، أي ٠٫٠٦٣ في سالب ٦٤٠٠٠. وهو ما يعطينا سالب ﻡ تساوي سالب ٤٠٣٢. ولذا، فإن ﻡ، وهي مقاومة الحاجز لحركة الرصاصة، لا بد أن تساوي ٤٠٣٢ نيوتن.

الآن سنراجع النقاط الأساسية في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أن قانون نيوتن الثاني يربط بين القوة والكتلة والعجلة. محصلة القوى تساوي كتلة الجسم مضروبة في العجلة. أي إن ﻕ تساوي ﻙﺟ. وعرفنا أيضًا أن الكتلة كمية قياسية، في حين أن القوة والعجلة يمكن أن تكونا كميتين متجهتين. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة: المجموع الاتجاهي لـ ﻕ يساوي الكتلة في متجه العجلة. وبالطبع، طبقنا هذه الصيغة عندما تكون كتلة الجسم ثابتة.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.