فيديو السؤال: تبسيط الفرق بين دالتين كسريتين وتعيين مجاله الرياضيات

اختصر الدالة ﻥ(ﺱ) = ((ﺱ − ٧)‏/‏(ﺱ^٢ − ٣ﺱ − ٢٨)) − ((ﺱ − ٧)‏/‏(٧ − ﺱ))، وعين مجالها.

٠٥:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

اختصر الدالة ﻥﺱ تساوي الكسر ﺱ ناقص سبعة على ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ٢٨ ناقص الكسر ﺱ ناقص سبعة مقسومًا على سبعة ناقص ﺱ وعين مجالها.

بعد كتابة الدالة، أول ما سنحتاج إلى القيام به هو معرفة ما إذا كان يمكننا تحليل هذا المقام، ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ٢٨. لنفعل هذا! أيمكننا تحليل ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ٢٨؟ بما أن المعامل الرئيسي هو واحد، فإننا نعرف أن ﺱ سيكون الحد الأول للعاملين. والآن أحتاج أن يكون حاصل ضرب عاملي العدد ٢٨ معًا هو سالب ٢٨، ويجب كذلك أن يكون حاصل جمع هذين العاملين نفسيهما معًا هو سالب ثلاثة.

الخطوة الأولى، واحد و٢٨. ثم سيكون لدينا اثنان و١٤. الثلاثة ليست عاملًا. ومن هناك، سنأخذ أربعة وسبعة. نعلم أن الفرق بين سبعة وأربعة يساوي ثلاثة. إذا جعلت السبعة بالسالب والأربعة بالموجب وجمعتهما معًا، فسيكون الناتج سالب ثلاثة. وإذا ضربناهما معًا، أربعة وسالب سبعة، فسنحصل على سالب ٢٨. سيكون هذان هما الحدين الثانيين في العاملين هنا.

نأخذ هذين العاملين ونضعهما في المقام لتبسيط الدالة. لنتوقف هنا ونتحدث عن تعيين المجال. المجال هو مجموعة قيم ﺱ كلها التي تنتج عنها قيمة حقيقية لـ ﺹ. عندما نتعامل مع كسور تتضمن متغيرات في المقام كالدوال، فلا بد أن نتذكر أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا.

وهذا يعني أن ﺱ زائد أربعة لا يمكن أن يساوي صفرًا، وﺱ ناقص سبعة لا يمكن أن يساوي صفرًا، وسبعة ناقص ﺱ لا يمكن أن يساوي صفرًا. ما علينا فعله لتحديد المجال هو إيجاد المواضع التي يكون فيها ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا وإيجاد المواضع التي يكون فيها ﺱ ناقص سبعة يساوي صفرًا. علينا إيجاد قيمة ﺱ التي تحقق هذا هنا. للقيام بذلك، يمكنني طرح أربعة من طرفي المعادلة، ثم يمكنني تعيين أن ﺱ لا يمكنها أن تساوي سالب أربعة.

ولإيجاد حل ﺱ ناقص سبعة، نضيف سبعة إلى الطرفين، ونعين ﺱ لا يمكنها أن تساوي سبعة. لنتابع ونتحقق من الموضع الأخير، سبعة ناقص ﺱ. يمكننا البدء بطرح سبعة من الطرفين. ندرك أن سالب ﺱ لا يمكن أن يساوي سالب سبعة، ثم نضرب طرفي المعادلة في سالب واحد ونرى أن ﺱ لا يمكن أن يساوي سبعة. ما يمكننا قوله عن المجال هو أنه يشمل كل الأعداد الحقيقة باستثناء سالب أربعة وسبعة.

ولذا، نكتب كل الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة سالب أربعة وسبعة. حسنًا، لنعد إلى تبسيط هذه الدالة. ما نلاحظه في أحد الحدين أننا لدينا ﺱ ناقص سبعة في البسط وﺱ ناقص سبعة في المقام. سنحذف هذه القيم معًا، ﺱ ناقص سبعة على ﺱ ناقص سبعة يساوي واحدًا. يتبقى لدينا إذن واحد على ﺱ زائد أربعة. والآن أنظر إلى الحد الثاني وأتساءل ما الذي ينبغي علي فعله؟ ‏ﺱ ناقص سبعة على سبعة ناقص ﺱ. هل يمكننا تبسيط هذا؟

بمساعدة علامة الطرح هذه، يمكننا تبسيط ﺱ ناقص سبعة على سبعة ناقص ﺱ. إليك ما سأفعله. بدلًا من أن نقول ناقص هنا، سنقول زائد سالب واحد في ﺱ ناقص سبعة. الشيء الذي علينا أن ندركه هنا هو أننا لم نغير قيمة هذه المسألة على الإطلاق. لكننا غيرنا الصورة فقط. بدلًا من استخدام الطرح، سنستخدم الجمع، وسنضرب في سالب واحد.

سأضرب ﺱ في سالب واحد، ما يعطينا سالب ﺱ. ثم سأضرب سالب واحد في سالب سبعة، ما يعطينا موجب سبعة. ونكتب المقام بالأسفل. إذا نظرنا بعناية إلى سالب ﺱ زائد سبعة، فسنرى أنه بإمكاننا بالفعل تغيير الترتيب هنا. بدلًا من أن نقول سالب ﺱ زائد سبعة، يمكننا أن نقول سبعة ناقص ﺱ على سبعة ناقص ﺱ. حسنًا، لنكتب واحدًا على ﺱ زائد أربعة هنا بالأسفل.

وإذا رتبنا هذه المسألة وكتبنا سبعة ناقص ﺱ على سبعة ناقص ﺱ فقط، فهل ترى أن هذا يساوي واحدًا؟ والآن نحاول جمع واحد على ﺱ زائد أربعة زائد واحد. لكن لكي نجمع كسرًا، نحتاج إلى مقام مشترك. لذا سأكتب واحدًا بصورة ﺱ زائد أربعة على ﺱ زائد أربعة. ما زال يساوي واحدًا، لكن الآن يمكننا جمع هذين معًا. عندما نجمع كسرين لهما مقام مشترك، نجمع البسطين، أي واحد زائد ﺱ زائد أربعة، أما المقام فيبقى كما هو، ﺱ زائد أربعة.

يمكننا جمع الواحد والأربعة معًا. واحد زائد أربعة يساوي خمسة، والمقام يبقى كما هو، ﺱ زائد أربعة. وبذلك، يمكن تبسيط الدالة ﻥﺱ إلى ﺱ زائد خمسة على ﺱ زائد أربعة، والمجال هنا هو جميع الأعداد الحقيقة ناقص المجموعة ﺱ يساوي سالب أربعة وسبعة.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.