فيديو السؤال: تبسيط الدوال الكسرية وإيجاد مجالاتها الرياضيات

بسط الدالة ﺩ(ﺱ) = (٧ﺱ^٢ + ٤٣ﺱ + ٦)‏/‏(٧ﺱ^٢ + ٥٠ﺱ + ٧)، وأوجد مجالها.

٠٥:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

بسط الدالة ﺩ ﺱ تساوي سبعة ﺱ تربيع زائد ٤٣ﺱ زائد ستة على سبعة ﺱ تربيع زائد ٥٠ﺱ زائد سبعة، وأوجد مجالها.

لكي نبسط الدالة، علينا تحليل البسط والمقام، ثم البحث عن عوامل مشتركة. ثمة خطأ شائع هنا وهو أن نحاول حذف سبعة ﺱ تربيع من بسط الدالة ومقامها. يمكننا إثبات أن هذا ليس صحيحًا من خلال توضيح مثال عددي.

افترض أن لدينا الكسر سبعة زائد ثلاثة على سبعة زائد خمسة. هذا يساوي ١٠ على ١٢، وهو ما يمكن تبسيطه إلى خمسة على ستة. إذا حاولنا حذف العدد سبعة من البسط والمقام، فسيتبقى لدينا ثلاثة على خمسة، وهو ما لا يساوي خمسة على ستة.

دعونا نتناول الآن كيف يمكننا تحليل بسط الدالة. البسط مكتوب على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. إحدى طرق تحليل أي مقدار تربيعي من هذا النوع هي أن نحاول أولًا إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي ﺃ مضروبًا في ﺟ ومجموعهما يساوي ﺏ. في هذا السؤال، علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي ٤٢، مثل سبعة في ستة، ومجموعهما يساوي ٤٣. هناك أربعة أزواج من العوامل للعدد ٤٢ وهي: ٤٢ وواحد، و٢١ واثنان، و١٤ وثلاثة، وسبعة وستة. الزوج الوحيد الذي مجموعه ٤٣ هو ٤٢ وواحد. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة ٤٣ﺱ على الصورة ٤٢ﺱ زائد ﺱ أو زائد واحد ﺱ.

الخطوة التالية هي إيجاد العامل المشترك الأكبر بين الحدين الأولين، ثم تكرار ذلك مع الحدين الأخيرين. العامل المشترك الأكبر بين سبعة ﺱ تربيع و٤٢ﺱ هو سبعة ﺱ. بإخراج العامل المشترك، يصبح لدينا سبعة ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد ستة. والعامل المشترك الوحيد بين واحد ﺱ وستة هو واحد. لذا، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة واحد مضروبًا في ﺱ زائد ستة.

نلاحظ أن ﺱ زائد ستة هو عامل مشترك بين جزئي هذا المقدار. بما أننا نضرب ﺱ زائد ستة في سبعة ﺱ ثم نضربه في واحد، فإنه يمكن إعادة كتابة ذلك على الصورة سبعة ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ زائد ستة. يمكننا الآن تحليل المقام باستخدام الطريقة نفسها. سبعة ﺱ تربيع زائد ٥٠ﺱ زائد سبعة يساوي سبعة ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ زائد سبعة. هذا يعني أن ﺩ ﺱ تساوي سبعة ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ زائد ستة على سبعة ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ زائد سبعة. يمكننا قسمة البسط والمقام على سبعة ﺱ زائد واحد. إذن، الدالة ﺩ ﺱ في أبسط صورة تساوي ﺱ زائد ستة على ﺱ زائد سبعة.

سنفرغ الآن بعض المساحة لنتمكن من إيجاد مجال الدالة. نحن نعلم أن أي كسر يكون غير معرف عندما يساوي مقامه صفرًا. هذا يعني أن أي قيمة تجعل المقام صفرًا لن تكون ضمن المجال. لقد أوضحنا في الجزء الأول من السؤال أن سبعة ﺱ تربيع زائد ٥٠ﺱ زائد سبعة يساوي سبعة ﺱ زائد واحد مضروبًا في ﺱ زائد سبعة. ومساواة ذلك بالصفر يعني إما أن سبعة ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا أو ﺱ زائد سبعة يساوي صفرًا.

يمكننا طرح واحد من كلا طرفي المعادلة الأولى بحيث يصبح لدينا سبعة ﺱ يساوي سالب واحد. وبقسمة الطرفين على سبعة، نجد أن ﺱ يساوي سالب سبع. في المعادلة الثانية، علينا طرح سبعة من كلا الطرفين. هذا يعطينا ﺱ يساوي سالب سبعة. وبالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب سبع أو ﺱ يساوي سالب سبعة في المقام، يكون الناتج صفرًا.

إذن، بما أن المجال هو مجموعة قيم ﺱ التي يمكننا التعويض بها في الدالة ﺩ، فإن مجال هذه الدالة يساوي جميع الأعداد الحقيقية ما عدا سالب سبع وسالب سبعة. ويمكن كتابة ذلك باستخدام ترميز المجموعة، كما هو موضح.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.