فيديو الدرس: مقدار المتجهات الثنائية الأبعاد الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية تحديد مقدار المتجهات الثنائية الأبعاد.

١٢:٤٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية تحديد مقدار المتجهات الثنائية الأبعاد. وسنبدأ باسترجاع بعض الحقائق الأساسية بشأن المتجهات. لأي متجه مقياسان: الاتجاه والمقدار. مقدار المتجه هو معياره أو طوله. وثمة ثلاث طرق رئيسية لكتابة المتجهات الثنائية الأبعاد؛ فيمكن كتابتها على صورة متجه العمود، أو على صورة مشابهة للإحداثي ولكن باستخدام القوسين المثلثين، أو عن طريق تحليلها إلى مركبتي ‪ﺱ‬‏ و‪ﺹ‬‏. وكل متجه من هذه المتجهات الثلاثة يمثل الشيء نفسه.

نشير إلى مقدار المتجه ﻉ باستخدام رمز القيمة المطلقة، وهو خطان رأسيان متوازيان. ونستخدم نظرية فيثاغورس لحساب قيمته. مقدار المتجه ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع، حيث ﺃ وﺏ هما القيمتان خمسة واثنان في هذه الحالة. وتتضمن أول مسألة لدينا إيجاد مقدار متجه على شبكة إحداثية.

المتجه ﻱ ممثل على شبكة الوحدات المربعة الموضحة بالأسفل. أوجد قيمة مقدار المتجه ﻱ.

نعرف أن مقدار أي متجه هو طوله. وبرسم مثلث قائم الزاوية على الشبكة، نلاحظ أن المتجه تحرك أربع وحدات إلى اليمين وثلاث وحدات إلى أعلى. وبذلك، يمكن إيجاد مقدار المتجه ﻱ باستخدام نظرية فيثاغورس. تنص النظرية على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. وبالتالي، مقدار ﻱ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.

وفي حين أنه لا يشترط ترتيب معين عند التعويض بأربعة وثلاثة، فإننا عادة ما نبدأ بالمركبة الأفقية أولًا. أربعة تربيع يساوي ١٦، وثلاثة تربيع يساوي تسعة. مقدار المتجه ﻱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٥. وبما أن ٢٥ عدد مربع، يمكننا حساب قيمته. الجذر التربيعي لـ ٢٥ يساوي موجب أو سالب خمسة. وبما أننا نتعامل مع طول، فلا بد أن يكون الناتج موجبًا. وبناء عليه، فإن مقدار المتجه ﻱ على الشبكة يساوي خمسة.

والآن، سنلقي نظرة على مسألتين مطلوب فيهما حساب قيمة مقدار متجه مكتوب بصورتين مختلفتين.

ما مقدار المتجه خمسة، ١٢؟

نعلم أن أي متجه مكتوب على الصورة ﺃ،‏ ﺏ مقداره يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. وبما أن مقدار المتجه هو طوله، يمكن تمثيل ذلك على شبكة إحداثية. لنفترض أن المتجه ﻉ على النحو الموضح. إذا تحرك هذا المتجه بمسافة ﺃ في الاتجاه الأفقي وبمسافة ﺏ في الاتجاه الرأسي، فيمكننا رسم مثلث قائم الزاوية. ومن ثم، يمكن استخدام نظرية فيثاغورس: مربع طول الوتر يساوي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. يعني هذا أن طول المتجه يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.

في هذه المسألة، مركبتا المتجه هما خمسة و١٢. وبالتالي، يمكننا حساب مقداره بإيجاد الجذر التربيعي لخمسة تربيع زائد ١٢ تربيع. خمسة تربيع يساوي ٢٥، و١٢ تربيع يساوي ١٤٤. هذا يعني أن مقدار المتجه ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦٩. وبما أن الناتج لا بد أن يكون موجبًا، فإن مقدار المتجه ﻉ يساوي ١٣.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب خمسة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ، حيث ﺱ وﺹ متجها الوحدة المتعامدان، فأوجد مقدار المتجه ﺃ.

يمكننا البدء برسم هذا على شبكة إحداثية، حيث ﺱ وﺹ هما متجها الوحدة المتعامدان. يتحرك المتجه ﺃ لمسافة مقدارها سالب خمسة في الاتجاه ﺱ ولمسافة مقدارها سالب ثلاثة في الاتجاه ﺹ. يمكن رسم المتجه ﺃ على النحو الموضح. وبما أن مقدار أي متجه هو طوله، يمكننا حساب قيمته برسم مثلث قائم الزاوية كما هو موضح. ومن ثم، يمكن حساب قيمة مقدار أي متجه ﻉ باستخدام نظرية فيثاغورس، حيث إن المقدار يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.

يمثل ﺃ وﺏ المركبتين ﺱ وﺹ، على الترتيب. إذن، مقدار المتجه ﺃ يساوي الجذر التربيعي لسالب خمسة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع. عند تربيع أي عدد سالب، فإننا نحصل على ناتج موجب. وبالتالي، مربع سالب خمسة يساوي ٢٥، ومربع سالب ثلاثة يساوي تسعة. هذا يعني أن مقدار المتجه ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٤. وبما أن ٣٤ ليس عددًا مربعًا، يمكننا ترك الناتج على صورة جذر أصم أو على الصورة الجذرية. إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب خمسة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ، فإن مقداره يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٤.

تتضمن المسألة التالية إيجاد مقدار متجه بين نقطتين.

ما مقدار المتجه ﺃﺏ، حيث ﺃ يساوي ١١، ثلاثة، وﺏ يساوي سبعة، ثلاثة؟

مقدار المتجه هو معياره أو طوله. إذن في هذه المسألة، علينا إيجاد المسافة أو الطول بين النقطة ﺃ والنقطة ﺏ. ثمة طرق متعددة لحل هذه المسألة، سنتناول طريقتين منها. الطريقة الأولى ستكون بيانيًا، وسنبدأ برسم الإحداثيين. النقطة ﺃ إحداثياتها ١١، ثلاثة. والنقطة ﺏ إحداثياتها سبعة، ثلاثة. وبما أن كلتا النقطتين لهما نفس الإحداثي ﺹ، فستكون المسافة من ﺃ إلى ﺏ مسافة أفقية. للانتقال من ١١ إلى سبعة، علينا طرح أربعة. وبما أن مقدار أي متجه يجب أن يكون موجبًا، فإن مقدار ﺃﺏ يساوي أربعة.

يمكننا أيضًا حساب المسافة بين النقطة ﺃ والنقطة ﺏ باستخدام إحدى صيغ الهندسة الإحداثية. المسافة بين أي نقطتين تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين تربيع زائد ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين تربيع، حيث إن إحداثيات هاتين النقطتين هي ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنان، ﺹ اثنان. بالتعويض بهذه القيم، يصبح لدينا ﺩ يساوي الجذر التربيعي لـ ١١ ناقص سبعة تربيع زائد ثلاثة ناقص ثلاثة تربيع.

لا يهم أي إحداثي يساوي ﺱ واحد، ﺹ واحد وأيهما يساوي ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. ‏‏١١ ناقص سبعة يساوي أربعة، وثلاثة ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. بما أن صفر تربيع يساوي صفرًا، فإن ﺩ يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع. ولأن المسافة يجب أن تكون موجبة، فهذا يساوي أربعة. وبذلك، نجد أن مقدار المتجه ﺃﺏ يساوي أربعة.

تتضمن المسألة الأخيرة إيجاد مقداري متجهين منفصلين ومجموعهما.

افترض أن المتجه ﻱ يساوي اثنين، ثلاثة والمتجه ﻉ يساوي أربعة، ستة. ما مقدار المتجه ﻱ؟ ما مقدار المتجه ﻉ؟ ما مقدار المتجه ﻱ زائد المتجه ﻉ؟ في الأسئلة الثلاثة، علينا تقريب الناتج إلى أقرب منزلتين عشريتين، إذا لزم الأمر.

نذكر أنه يمكن إيجاد مقدار أي متجه ﻡ بإيجاد الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع، حيث ﺃ وﺏ مركبتا المتجه. في المتجه ﻱ، ‏ﺃ يساوي اثنين وﺏ يساوي ثلاثة. بينما في المتجه ﻉ، ‏ﺃ يساوي أربعة وﺏ يساوي ستة. وبالتالي، مقدار المتجه ﻱ يساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد ثلاثة تربيع. وبما أن اثنين تربيع يساوي أربعة، وثلاثة تربيع يساوي تسعة، فإن مقدار المتجه ﻱ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٣. كثيرًا ما نترك الناتج في صورة جذر أصم أو في صورة جذرية. لكن في هذه المسألة، مطلوب منا تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. الجذر التربيعي لـ ١٣ يساوي ٣٫٦٠٥٥٥١ وهكذا مع توالي الأرقام.

للتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، ننظر إلى الرقم الرئيسي أو المحدد للتقريب، وهو الخمسة الأولى. هذا سيقرب الناتج لأعلى. ومن ثم، مقدار المتجه ﻱ لأقرب منزلتين عشريتين هو ٣٫٦١. يمكننا تكرار هذه العملية لحساب مقدار المتجه ﻉ. أربعة تربيع يساوي ١٦، وستة تربيع يساوي ٣٦. وعليه، فإن مقدار المتجه ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٢. بحساب ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ٧٫٢١١١٠٢ وهكذا مع توالي الأرقام. هذه المرة، الرقم المحدد للتقريب هو واحد. وبما أنه أصغر من خمسة، فسوف نقرب لأسفل. ومن ثم، فإن مقدار المتجه ﻉ يساوي ٧٫٢١.

في الجزء الأخير من المسألة مطلوب منا إيجاد مقدار ﻱ زائد ﻉ. تتمثل الخطوة الأولى هنا في حساب قيمة المتجه ﻱ زائد المتجه ﻉ. نجري ذلك عن طريق جمع المركبات المتناظرة. اثنان زائد أربعة يساوي ستة، وثلاثة زائد ستة يساوي تسعة. يمكننا إذن حساب مقدار ﻱ زائد ﻉ بالطريقة نفسها. هذا يساوي الجذر التربيعي لستة تربيع زائد تسعة تربيع. ستة تربيع يساوي ٣٦، وتسعة تربيع يساوي ٨١. وعليه، فإن مقدار ﻱ زائد ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ١١٧. بحساب هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ١٠٫٨١٦٦٥٣. الرقم المحدد للتقريب هنا هو ستة، وأي رقم أكبر من أو يساوي خمسة يعني التقريب لأعلى. إذن، مقدار ﻱ زائد ﻉ يساوي ١٠٫٨٢.

عند النظر إلى الناتج في حلول الأسئلة الثلاثة، قد تلاحظ وجود نمط ما، حيث ٣٫٦١ زائد ٧٫٢١ يساوي ١٠٫٨٢. يشير هذا إلى أن مقدار ﻱ زائد ﻉ يساوي مقدار ﻱ زائد مقدار ﻉ. ولكن هذا لا يحدث عادة. السبب الوحيد لحدوث ذلك في هذه المسألة هو أن المتجه ﻉ مضاعف للمتجه ﻱ. اثنان مضروبًا في اثنين يساوي أربعة. وثلاثة مضروبًا في اثنين يساوي ستة.

وبالتالي، فإن المتجه ﻉ يساوي في الحقيقة مثلي المتجه ﻱ أو اثنين مضروبًا في المتجه ﻱ. وهذا بدوره يعني أن مقدار المتجه ﻉ يساوي ضعف مقدار المتجه ﻱ. فجذر ٥٢ يساوي اثنين في جذر ١٣. مقدار ﻱ زائد ﻉ في هذه المسألة يصبح ثلاثة أمثال مقدار المتجه ﻱ. ولكن، كما ذكرنا سابقًا، يجب الانتباه إلى أن هذا لا ينطبق على معظم مسائل المتجهات.

والآن، سنلخص بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. مقدار أي متجه هو طوله. يمكننا حساب مقدار أي متجه ثنائي الأبعاد باستخدام نظرية فيثاغورس. مقدار المتجه ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع، حيث ﺃ وﺏ مركبتا المتجه. وفي حين أنه يمكن عادة كتابة الناتج على صورة جذر أصم أو على صورة جذرية، يمكننا حساب القيمة العشرية.

وأخيرًا، عرفنا أنه في معظم الحالات مقدار المتجه ﻱ زائد المتجه ﻉ لا يساوي مقدار المتجه ﻱ زائد مقدار المتجه ﻉ. ويمكننا أيضًا تطبيق كل ما استخدمناه في هذا الفيديو على المتجهات الثلاثية الأبعاد. هذه المتجهات تكتب على الصورة: ﺃ،‏ ﺏ،‏ ﺟ، أو متجه العمود ﺃ، ‏ﺏ،‏ ﺟ، أو ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.