فيديو: اشتقاق الدوال الكثيرة الحدود

أوجد اشتقاق الدالة ‪𝑓(𝑥) = −𝑥²/7 − 3𝑥 − 4‬‏.

٠٦:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد اشتقاق الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سالب 𝑥 تربيع على سبعة ناقص ثلاثة 𝑥 ناقص أربعة.

عند اشتقاق الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، نحصل على دالة أخرى، وهي الدالة 𝑓 شرطة في المتغير 𝑥. وتعطينا الدالة 𝑓 شرطة ميل مماس منحنى الدالة 𝑓 لقيمة معطاة للمتغير 𝑥. حسنًا، هيا بنا نشتق التعبير الخاص بالدالة 𝑓 في المتغير 𝑥. إحدى خصائص الاشتقاق التي يمكننا استخدامها للوصول إلى ذلك هي أن مشتقة جمع دالتين أو الفرق بينهما هي مجموع مشتقات الدالتين أو الفرق بين مشتقاتهما. وفي الواقع، هذا لا ينطبق فقط على جمع دالتين أو الفرق بينهما. بل ينطبق أيضًا على جمع أي عدد منته من الدوال، أو الفرق بينها. وبالتالي يمكننا إيجاد مشتقات سالب 𝑥 تربيع على سبعة، وثلاثة 𝑥، وأربعة، كل على حدة.

فلنبدأ بإيجاد مشتقات الدالة التي تعوض عن 𝑥 بسالب 𝑥 تربيع على سبعة. ومشتقة هذه الدالة هي دالة أخرى ينتج عنها ميل مماس الدالة سالب 𝑥 تربيع على سبعة. ها هو رسم سريع لمنحنى الدالة التي نريد اشتقاقها. وهو عبارة عن قطع مكافئ مفتوح لأسفل، وتقع نقطة رأسه عند نقطة الأصل. والآن ما الذي يمكننا قوله عن مشتقة الدالة؟ حسنًا، عند قيمة 𝑥 هذه، يكون مماس المنحنى بهذا الشكل. نرى أن له ميلًا موجبًا، ربما بقيمة واحد. إذن لقيمة 𝑥 هذه، تكون مشتقة الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 تساوي واحدًا. وعندما 𝑥 يساوي صفرًا، يقع المماس على المحور 𝑥، حيث قيمة الميل صفر. إذن فمشتقة الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 يساوي صفرًا عند هذه القيمة من 𝑥.

للأسف، لا يمكننا معرفة المشتقة d على d𝑥 لسالب 𝑥 تربيع على سبعة بمجرد النظر إلى هذا التمثيل البياني. بل نستخدم مجموعة من خصائص الاشتقاق أو القواعد التي تنص على أن مشتقة أي عدد ثابت مضروبًا في دالة هي ذلك العدد مضروبًا في مشتقة هذه الدالة. ومن ثم، فإن مشتقة سالب واحد على سبعة 𝑥 تربيع تساوي سالب واحد على سبعة في مشتقة 𝑥 تربيع. نستخدم أيضًا حقيقة أن مشتقة 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑛 بالنسبة إلى 𝑥 تساوي 𝑛 في 𝑥 للقوة الأسية 𝑛 ناقص واحد. لذا، فإن d على d𝑥 للمتغير 𝑥 أس اثنين يساوي اثنين في 𝑥 أس واحد، أو ببساطة اثنين 𝑥.

وبوضع هذين الاثنين معًا، نحصل على سالب واحد على سبعة في اثنين 𝑥، وهو ما يعطي سالب اثنين على سبعة 𝑥. قد تود إيقاف الفيديو قليلًا الآن. انظر إلى الرسم للتأكد من أن المشتقة سالب اثنين على سبعة 𝑥 صحيحة.

حسنًا، وماذا عن الحدود الأخرى؟ ما ناتج d على d𝑥 لثلاثة 𝑥؟ هل تستطيع معرفة الميل من هنا؟ يمكننا تطبيق القاعدة التي تنص على أن مشتقة عدد ثابت مضروبًا في دالة هي ذلك العدد مضروبًا في مشتقة هذه الدالة. يمكننا أيضًا الاستفادة من معلومة أن مشتقة 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥 تساوي واحدًا. يمكنك استخدام ذلك مباشرة أو بتطبيق قاعدة الأس عند 𝑛 يساوي واحدًا. في كل الأحوال، نحصل على الناتج ثلاثة. تذكر أن علينا طرح هذا من الحد السابق. ومرة أخرى، يمكنك النظر إلى التمثيل البياني وسؤال نفسك عما إذا كان من المنطقي أن تكون مشتقة ثلاثة 𝑥 هي ثلاثة.

وأخيرًا، علينا إيجاد مشتقة الدالة الثابتة أربعة. ويمكننا هنا استخدام معلومة أن مشتقة أي دالة ثابتة تساوي 𝑘، حيث 𝑘 هو عدد ما، تساوي صفرًا. ومن ثم، فإن d على d𝑥 لأربعة يساوي صفرًا. مرة أخرى، يمكنك التفكير في السبب الذي يجعل الأمر يبدو منطقيًا عندما يكون منحنى الدالة الثابتة أربعة.

وبتنظيم الأمور، نحصل على الناتج النهائي، وهو أن المشتقة 𝑓 شرطة في المتغير 𝑥 تساوي سالب اثنين على سبعة 𝑥 ناقص ثلاثة. استخدمنا هنا قواعد متنوعة للاشتقاق لإيجاد هذه المشتقة. لكن في حالة التعامل مع معادلة بسيطة كهذه، يمكننا إتمام ذلك بواسطة التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات.

تعرف المشتقة 𝑓 شرطة في المتغير 𝑥 بأنها نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 زائد ℎ ناقص الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 الكل على ℎ، عند اقتراب ℎ من الصفر. إذن ما ناتج الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 زائد ℎ؟ الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سالب 𝑥 تربيع على سبعة ناقص ثلاثة 𝑥 ناقص أربعة. إذن، الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 زائد ℎ يساوي سالب 𝑥 زائد ℎ تربيع على سبعة ناقص ثلاثة في 𝑥 زائد ℎ ناقص أربعة. والتعويض عن الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يكمل البسط. لدينا فقط ℎ في المقام.

يمكننا فك الأقواس في البسط. ونلاحظ الكثير من الحذف هنا. وللحدود المتبقية في البسط عامل مشترك، هو ℎ. وباستخراج ℎ كعامل مشترك لهذه الحدود، نلاحظ أنه بإمكاننا حذفه مع ℎ من المقام. ويتبقى لدينا النهاية التي يمكننا إيجاد قيمتها عن طريق التعويض المباشر بصفر عن ℎ. وبذلك نجد أن المشتقة 𝑓 شرطة في المتغير 𝑥 تساوي سالب اثنين 𝑥 على سبعة ناقص ثلاثة، كما وجدنا من قبل.

ها قد حصلنا عليها إذن. في بعض الأحيان، عندما تكون الدالة بسيطة، يكون الأسهل هو اشتقاقها بواسطة التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات. أما في الدوال الأكثر تعقيدًا، فمن الضروري معرفة قواعد الاشتقاق.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.