نسخة الفيديو النصية
أي من الخواص الآتية للعمليات على المتجهات غير صحيح؟ الخيار أ: المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ يساوي المتجه ﺏ زائد المتجه ﺃ. الخيار ب: المتجه ﺃ زائد مجموع المتجهين ﺏ وﺟ يساوي مجموع المتجهين ﺃ وﺏ زائد المتجه ﺟ. الخيار ج: المتجه ﺃ زائد المتجه الصفري يساوي المتجه ﺃ. الخيار د: الكمية القياسية ﺟ زائد ﺩ مضروبًا في المتجه ﺃ يساوي ﺟ في ﺩ مضروبًا في المتجه ﺃ. الخيار هـ: المتجه ﺃ زائد سالب المتجه ﺃ يساوي المتجه الصفري.
في هذا السؤال، لدينا خمسة خيارات توضح خواص محتملة للعمليات المختلفة على المتجهات. وعلينا تحديد أي من الخيارات الخمسة المعطاة غير صحيح. حسنًا، توجد عدة طرق مختلفة لفعل ذلك. وأسهل طريقة هي أن نستعرض كل الخواص المعطاة للعمليات على المتجهات.
يمكننا أولًا استرجاع أن جمع المتجهات عملية إبدالية. هذا يعني أنه لأي متجهين ﺃ وﺏ لهما نفس البعد، فإن ﺃ زائد ﺏ يساوي ﺏ زائد ﺃ. وهذه الخاصية موضحة في الخيار أ. بعد ذلك، يمكننا أن نسترجع أيضًا أن جمع المتجهات عملية دامجة. هذا يعني أنه لأي ثلاثة متجهات لها نفس البعد، وليكن ﺃ وﺏ وﺟ، يكون لدينا ﺃ زائد مجموع ﺏ وﺟ يساوي مجموع ﺃ وﺏ زائد المتجه ﺟ. بعبارة أخرى، يمكننا جمع المتجهات بأي ترتيب نريده. وهذه الخاصية موضحة في الخيار ب.
حسنًا، يمكننا هنا استرجاع أن جمع المتجه الصفري وأي متجه له نفس البعد لن يغير من قيمته. بعبارة أخرى، لأي متجه ﺃ ومتجه صفري لهما نفس البعد، نجد أن ﺃ زائد صفر يساوي ﺃ. ويعرف المتجه الصفري بأنه المحايد الجمعي لجمع المتجهات. ومن ثم فإن الخيار ج هو أيضًا خاصية صحيحة للعمليات على المتجهات.
وأخيرًا يمكننا أيضًا استرجاع خاصية المعكوس الجمعي لجمع المتجهات. وهي تنص على أنه لأي متجه ﺃ، يكون لدينا ﺃ زائد سالب ﺃ يساوي المتجه الصفري. وهذا يكفي للإجابة عن السؤال إذا افترضنا أن أحد الخيارات المعطاة غير صحيح.
لكن لمزيد من الدقة، دعونا نثبت أن هذه الخاصية غير صحيحة. سنفعل ذلك بتناول مثال. دعونا نفترض أن ﺟ يساوي واحدًا، وﺩ يساوي ثلاثة، وﺃ يساوي المتجه واحدًا، صفرًا. يمكننا الآن إيجاد قيمة كل طرف من طرفي المعادلة على حدة. سنبدأ بـ ﺟ زائد ﺩ مضروبًا في ﺃ. هذا يساوي واحدًا زائد ثلاثة في المتجه واحد، صفر. وواحد زائد ثلاثة يساوي أربعة. يمكننا هنا استرجاع أنه لضرب متجه في كمية قياسية، فإننا نضرب جميع مركبات المتجه في هذه الكمية القياسية. هذا يعطينا المتجه أربعة في واحد، صفر. وأربعة في واحد يساوي أربعة. إذن هذا يساوي المتجه أربعة، صفرًا.
والآن سنفعل هذه الخطوة في الطرف الأيسر من هذه المعادلة. وبذلك نحصل على ﺟ في ﺩ مضروبًا في المتجه ﺃ يساوي واحدًا في ثلاثة في المتجه واحد، صفر. هذه المرة لدينا واحد في ثلاثة يساوي ثلاثة. حسنًا، علينا الآن ضرب كل مركبة من مركبتي المتجه في الكمية القياسية ثلاثة. ومن ثم نحصل على المتجه ثلاثة، صفر. نلاحظ هنا أن هذا ليس نفس المتجه الآخر.
إذن بالنسبة إلى القيم ﺟ وﺩ والمتجه ﺃ، فإننا تمكنا من إثبات أن ﺟ زائد ﺩ في المتجه ﺃ لا يساوي ﺟ في ﺩ في المتجه ﺃ. بعبارة أخرى، الخاصية الواردة في الخيار د هي الخاصية الوحيدة غير الصحيحة للعمليات على المتجهات.
