فيديو السؤال: إيجاد قوى أعداد مركبة على الصورة القطبية الرياضيات

إذا كان ‪𝑧 = 2√3(cos 240° + 𝑖 sin 240°)‬‏، فأوجد ‪𝑧²‬‏ على الصورة الأسية.

٠٤:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ‪𝑧‬‏ يساوي اثنين جذر ثلاثة مضروبًا في cos 240 درجة زائد ‪𝑖‬‏sin 240 درجة، فأوجد ‪𝑧‬‏ تربيع على الصورة الأسية.

حسنًا، لدينا هنا عدد مركب مكتوب على الصورة المثلثية. ونريد إيجاد ‪𝑧‬‏ تربيع على الصورة الأسية. هناك طريقتان لفعل ذلك. يمكننا إيجاد قيمة ‪𝑧‬‏ تربيع على الصورة المثلثية، ثم تحويلها إلى الصورة الأسية. أو يمكننا تحويل العدد إلى الصورة الأسية أولًا، ثم إيجاد قيمة ‪𝑧‬‏ تربيع. دعونا نتناول كلتا الطريقتين.

لتربيع هذا العدد المركب، سنسترجع نظرية ديموافر. وتنص هذه النظرية على أنه لأي عدد مركب على الصورة المثلثية ‪𝑟 cos 𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝜃‬‏، فإن هذا العدد المركب أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪cos 𝑛𝜃‬‏ زائد ‪𝑖 sin 𝑛𝜃‬‏. وفي هذا المثال، ‪𝑛‬‏ عدد طبيعي.

نلاحظ هنا أن مقياس العدد المركب ‪𝑧‬‏ يساوي اثنين جذر ثلاثة. و‪𝜃‬‏، أي سعته، تساوي 240 درجة. في مرحلة ما، سيكون علينا تحويل هذه القيمة لتكون بوحدة الراديان. دعونا نفعل ذلك الآن وننته من هذه الخطوة. لفعل ذلك، سنسترجع حقيقة أن اثنين ‪𝜋‬‏ راديان يساوي 360 درجة. ويمكننا إيجاد قيمة درجة واحدة بالقسمة على 360. الدرجة الواحدة تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ على 360 راديان. واثنان ‪𝜋‬‏ على 360 يبسط إلى ‪𝜋‬‏ على 180. إذن، الدرجة الواحدة تساوي ‪𝜋‬‏ على 180 راديان. ومن ثم، يمكننا تحويل 240 درجة إلى راديان بالضرب في ‪𝜋‬‏ على 180. وهذا يعطينا أربعة ‪𝜋‬‏ على ثلاثة.

وبذلك، يمكننا إيجاد مقياس ‪𝑧‬‏ تربيع بتربيع مقياس ‪𝑧‬‏. وهذا يساوي اثنين جذر ثلاثة تربيع. جذر ثلاثة تربيع يساوي ثلاثة. إذن، اثنان جذر ثلاثة تربيع يساوي اثنين تربيع مضروبًا في ثلاثة، وهذا يساوي 12. ولإيجاد سعة ‪𝑧‬‏ تربيع، فإننا نضرب سعة ‪𝑧‬‏ في الأس اثنين. أربعة ‪𝜋‬‏ على ثلاثة مضروبًا في اثنين يساوي ثمانية ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. إذن نلاحظ أنه، على الصورة المثلثية، ‪𝑧‬‏ تربيع يساوي 12 مضروبًا في ‪cos‬‏ ثمانية ‪𝜋‬‏ على ثلاثة زائد ‪𝑖 sin‬‏ ثمانية ‪𝜋‬‏ على ثلاثة.

حسنًا، تذكر أنه لتحويل عدد مركب على الصورة المثلثية إلى الصورة الأسية، نستخدم الصيغة ‪𝑟𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏. ولأن المقياس ‪𝑟‬‏ لـ ‪𝑧‬‏ تربيع يساوي 12 والسعة ‪𝜃‬‏ تساوي ثمانية ‪𝜃‬‏ على ثلاثة، يمكننا القول إن ‪𝑧‬‏ تربيع يساوي 12𝑒 أس ثمانية ‪𝜋‬‏ على ثلاثة ‪𝑖‬‏. لكن تذكر أننا عادة ما نرغب في تمثيل هذا المقدار باستخدام السعة الأساسية. وهي أكبر من سالب ‪𝜋‬‏ وأصغر من أو يساوي ‪𝜋‬‏. في الواقع، ثمانية ‪𝜋‬‏ على ثلاثة أكبر من ‪𝜋‬‏. إذن، لإيجاد السعة الأساسية، فإننا نجمع مضاعفات اثنين ‪𝜋‬‏ أو نطرحها.

دعونا نطرح اثنين ‪𝜋‬‏ من ثمانية ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. اثنان ‪𝜋‬‏ يساوي ستة ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. وعندما نطرح ستة ‪𝜋‬‏ على ثلاثة من ثمانية ‪𝜋‬‏ على ثلاثة، يتبقى لدينا اثنان ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. إذن على الصورة الأسية، ‪𝑧‬‏ تربيع يساوي 12𝑒 أس اثنين ‪𝜋‬‏ على ثلاثة ‪𝑖‬‏.

دعونا الآن نتناول الطريقة البديلة. تتضمن هذه الطريقة تحويل هذا العدد المركب إلى الصورة الأسية أولًا، ثم تربيعه. مرة أخرى، سنستخدم هذه القاعدة. العدد المركب الذي مقياسه ‪𝑟‬‏ وسعته ‪𝜃‬‏ يمكن تمثيله على الصورة الأسية ‪𝑟𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏. لقد أوجدنا بالفعل أن 240 درجة يساوي أربعة ‪𝜋‬‏ على ثلاثة راديان. إذن، يمكننا القول إن ‪𝑧‬‏ يساوي اثنين جذر ثلاثة مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس أربعة ‪𝜋‬‏ على ثلاثة ‪𝑖‬‏ على الصورة الأسية.

لإيجاد ‪𝑧‬‏ تربيع هذه المرة، سنتناول الصورة البديلة لنظرية ديموافر. وهي تنص على أنه إذا كان ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑟𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝜃‬‏، فإن ‪𝑧‬‏ أس ‪𝑛‬‏ يساوي ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑖𝑛𝜃‬‏. والآن، سيكون بإمكانك ملاحظة العلاقة بين الصورتين والطريقتين اللتين نستخدمهما.

هنا، ‪𝑧‬‏ تربيع يساوي اثنين جذر ثلاثة تربيع مضروبًا في ‪𝑒‬‏ أس اثنين مضروبًا في أربعة ‪𝜋‬‏ على ثلاثة ‪𝑖‬‏. ومرة أخرى، نحن نعلم أن اثنين جذر ثلاثة تربيع يساوي 12. واثنان في أربعة ‪𝜋‬‏ على ثلاثة يساوي ثمانية ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. ومجددًا، عند تحويل السعة إلى السعة الأساسية بطرح اثنين ‪𝜋‬‏، نلاحظ أن ‪𝑧‬‏ تربيع يساوي 12𝑒 أس اثنين ‪𝜋‬‏ على ثلاثة ‪𝑖‬‏.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.