نسخة الفيديو النصية
إذا كان 𝑧 يساوي اثنين جذر ثلاثة مضروبًا في cos 240 درجة زائد 𝑖sin 240 درجة، فأوجد 𝑧 تربيع على الصورة الأسية.
حسنًا، لدينا هنا عدد مركب مكتوب على الصورة المثلثية. ونريد إيجاد 𝑧 تربيع على الصورة الأسية. هناك طريقتان لفعل ذلك. يمكننا إيجاد قيمة 𝑧 تربيع على الصورة المثلثية، ثم تحويلها إلى الصورة الأسية. أو يمكننا تحويل العدد إلى الصورة الأسية أولًا، ثم إيجاد قيمة 𝑧 تربيع. دعونا نتناول كلتا الطريقتين.
لتربيع هذا العدد المركب، سنسترجع نظرية ديموافر. وتنص هذه النظرية على أنه لأي عدد مركب على الصورة المثلثية 𝑟 cos 𝜃 زائد 𝑖 sin 𝜃، فإن هذا العدد المركب أس 𝑛 يساوي 𝑟 أس 𝑛 مضروبًا في cos 𝑛𝜃 زائد 𝑖 sin 𝑛𝜃. وفي هذا المثال، 𝑛 عدد طبيعي.
نلاحظ هنا أن مقياس العدد المركب 𝑧 يساوي اثنين جذر ثلاثة. و𝜃، أي سعته، تساوي 240 درجة. في مرحلة ما، سيكون علينا تحويل هذه القيمة لتكون بوحدة الراديان. دعونا نفعل ذلك الآن وننته من هذه الخطوة. لفعل ذلك، سنسترجع حقيقة أن اثنين 𝜋 راديان يساوي 360 درجة. ويمكننا إيجاد قيمة درجة واحدة بالقسمة على 360. الدرجة الواحدة تساوي اثنين 𝜋 على 360 راديان. واثنان 𝜋 على 360 يبسط إلى 𝜋 على 180. إذن، الدرجة الواحدة تساوي 𝜋 على 180 راديان. ومن ثم، يمكننا تحويل 240 درجة إلى راديان بالضرب في 𝜋 على 180. وهذا يعطينا أربعة 𝜋 على ثلاثة.
وبذلك، يمكننا إيجاد مقياس 𝑧 تربيع بتربيع مقياس 𝑧. وهذا يساوي اثنين جذر ثلاثة تربيع. جذر ثلاثة تربيع يساوي ثلاثة. إذن، اثنان جذر ثلاثة تربيع يساوي اثنين تربيع مضروبًا في ثلاثة، وهذا يساوي 12. ولإيجاد سعة 𝑧 تربيع، فإننا نضرب سعة 𝑧 في الأس اثنين. أربعة 𝜋 على ثلاثة مضروبًا في اثنين يساوي ثمانية 𝜋 على ثلاثة. إذن نلاحظ أنه، على الصورة المثلثية، 𝑧 تربيع يساوي 12 مضروبًا في cos ثمانية 𝜋 على ثلاثة زائد 𝑖 sin ثمانية 𝜋 على ثلاثة.
حسنًا، تذكر أنه لتحويل عدد مركب على الصورة المثلثية إلى الصورة الأسية، نستخدم الصيغة 𝑟𝑒 أس 𝑖𝜃. ولأن المقياس 𝑟 لـ 𝑧 تربيع يساوي 12 والسعة 𝜃 تساوي ثمانية 𝜃 على ثلاثة، يمكننا القول إن 𝑧 تربيع يساوي 12𝑒 أس ثمانية 𝜋 على ثلاثة 𝑖. لكن تذكر أننا عادة ما نرغب في تمثيل هذا المقدار باستخدام السعة الأساسية. وهي أكبر من سالب 𝜋 وأصغر من أو يساوي 𝜋. في الواقع، ثمانية 𝜋 على ثلاثة أكبر من 𝜋. إذن، لإيجاد السعة الأساسية، فإننا نجمع مضاعفات اثنين 𝜋 أو نطرحها.
دعونا نطرح اثنين 𝜋 من ثمانية 𝜋 على ثلاثة. اثنان 𝜋 يساوي ستة 𝜋 على ثلاثة. وعندما نطرح ستة 𝜋 على ثلاثة من ثمانية 𝜋 على ثلاثة، يتبقى لدينا اثنان 𝜋 على ثلاثة. إذن على الصورة الأسية، 𝑧 تربيع يساوي 12𝑒 أس اثنين 𝜋 على ثلاثة 𝑖.
دعونا الآن نتناول الطريقة البديلة. تتضمن هذه الطريقة تحويل هذا العدد المركب إلى الصورة الأسية أولًا، ثم تربيعه. مرة أخرى، سنستخدم هذه القاعدة. العدد المركب الذي مقياسه 𝑟 وسعته 𝜃 يمكن تمثيله على الصورة الأسية 𝑟𝑒 أس 𝑖𝜃. لقد أوجدنا بالفعل أن 240 درجة يساوي أربعة 𝜋 على ثلاثة راديان. إذن، يمكننا القول إن 𝑧 يساوي اثنين جذر ثلاثة مضروبًا في 𝑒 أس أربعة 𝜋 على ثلاثة 𝑖 على الصورة الأسية.
لإيجاد 𝑧 تربيع هذه المرة، سنتناول الصورة البديلة لنظرية ديموافر. وهي تنص على أنه إذا كان 𝑧 يساوي 𝑟𝑒 أس 𝑖𝜃، فإن 𝑧 أس 𝑛 يساوي 𝑟 أس 𝑛 مضروبًا في 𝑒 أس 𝑖𝑛𝜃. والآن، سيكون بإمكانك ملاحظة العلاقة بين الصورتين والطريقتين اللتين نستخدمهما.
هنا، 𝑧 تربيع يساوي اثنين جذر ثلاثة تربيع مضروبًا في 𝑒 أس اثنين مضروبًا في أربعة 𝜋 على ثلاثة 𝑖. ومرة أخرى، نحن نعلم أن اثنين جذر ثلاثة تربيع يساوي 12. واثنان في أربعة 𝜋 على ثلاثة يساوي ثمانية 𝜋 على ثلاثة. ومجددًا، عند تحويل السعة إلى السعة الأساسية بطرح اثنين 𝜋، نلاحظ أن 𝑧 تربيع يساوي 12𝑒 أس اثنين 𝜋 على ثلاثة 𝑖.
