فيديو السؤال: إيجاد الصورة الإحداثية لمعادلة الخط المستقيم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الصورة الإحداثية لمعادلة الخط المستقيم المار بنقطة الأصل ونقطة تقاطع الخطين المستقيمين ﻝ واحد: ﺭ يساوي واحد، واحد، سالب اثنين زائد ﻥ في واحد، أربعة، ثلاثة؛ وﻝ اثنين: ﺱ يساوي ثلاثة، ﺹ ناقص خمسة على سالب أربعة يساوي ﻉ ناقص ثلاثة على سالب واحد.

حسنًا، ها هو تصور السؤال. لدينا هذان الخطان المستقيمان ﻝ واحد وﻝ اثنان. ونعرف أن هناك نقطة يتقاطعان عندها. ما نريد فعله هو إيجاد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة التقاطع هذه ونقطة الأصل أيضًا. ستكون الخطوة الأولى لفعل ذلك هي إيجاد موضع تقاطع ﻝ واحد وﻝ اثنين. معادلة ﻝ اثنين معطاة بما يسمى بالصورة الإحداثية. بتفسير هذه الصورة، يمكننا القول بأنه بينما ﺱ يساوي دائمًا موجب ثلاثة، فإن ﺹ ناقص خمسة على سالب أربعة وﻉ ناقص ثلاثة على سالب واحد يساويان معامل قياس يمكننا تسميته ﻥ اثنين.

هذا يعني أنه يمكننا كتابة معادلة ﻝ اثنين بما يسمى بالصورة البارامترية. بكتابة ذلك بهذه الصورة، نجد أن ﺱ يساوي ثلاثة كما هو الحال دائمًا، بينما ﺹ يساوي سالب أربعة في ﻥ اثنين زائد خمسة. وهذا لأن ﺹ ناقص خمسة على سالب أربعة يساوي ﻥ اثنين. وبالطريقة نفسها، لأن ﻉ ناقص ثلاثة على سالب واحد يساوي ﻥ اثنين، يمكننا القول إن ﻉ يساوي سالب ﻥ اثنين زائد ثلاثة. والآن بعد أن حصلنا على معادلة الخط المستقيم ﻝ اثنين بالصورة البارامترية، سنفعل الشيء نفسه مع الخط المستقيم ﻝ واحد. نلاحظ أن هذا الخط المستقيم معطى لنا بما يسمى بالصورة المتجهة. إذا كتبنا هذه المعادلة بالصورة البارامترية، فسنجد أن ﺱ يساوي واحدًا في ﻥ أو ﻥ زائد واحد. بعد ذلك، المركبة ﺹ تساوي أربعة في ﻥ زائد واحد، والمركبة ﻉ تساوي ثلاثة في ﻥ ناقص اثنين.

يتضح الآن سبب كتابتنا لمعادلتي الخطين المستقيمين بالصورة البارامترية. عند نقطة تقاطع ﻝ واحد وﻝ اثنين التي نريد إيجادها، يمكننا القول بأن قيمتي ﺱ للخط المستقيم اثنين والخط المستقيم واحد متساويتان، وينطبق الأمر نفسه على قيمتي ﺹ وقيمتي ﻉ. ولاحظ أن هذا الأمر يكون فقط عند نقطة التقاطع الوحيدة لهذين الخطين المستقيمين. فعند نقطة التقاطع الوحيدة هذه، يمكننا القول بأن هذه المعادلات الثلاث صحيحة. وما سنفعله الآن هو استخدام هذه المعادلات لإيجاد قيمتي البارامترين ﻥ وﻥ اثنين.

بما أن هناك مجهولين نريد إيجاد قيمتيهما، فسنختار معادلتين نستخدمهما لإيجاد هذين المجهولين. دعونا نختر معادلتي قيمتي ﺱ وﺹ للنقطة التي لدينا. تشير معادلة ﺱ، وهي ثلاثة يساوي ﻥ زائد واحد، إلى أن ﻥ يساوي ثلاثة ناقص واحد، أي اثنين. إذا عوضنا بعد ذلك بقيمة ﻥ هذه في معادلة ﺹ، فسنجد أن سالب أربعة في ﻥ اثنين زائد خمسة يساوي أربعة في اثنين — هذه هي قيمة ﻥ — زائد واحد.

بإعادة ترتيب هذه المعادلة قليلًا، نجد أن سالب أربعة ﻥ اثنين يساوي موجب أربعة. ثم إذا قسمنا كلا طرفي هذه المعادلة على سالب أربعة، فسنجد أن ﻥ اثنين يساوي سالب واحد. والآن بعد أن عرفنا قيمتي ﻥ وﻥ اثنين، يمكننا التعويض بهما في هذه المعادلات الثلاث أينما وجدتا، والقيم التي نحصل عليها ستكون هي الإحداثيات ﺱ وﺹ وﻉ لنقطة تقاطع الخط المستقيم واحد والخط المستقيم اثنين. بفعل ذلك في المعادلة الأولى، يؤكد ذلك أن ﺱ يساوي ثلاثة عند نقطة تقاطع هذين الخطين المستقيمين.

في المعادلة الثانية، نجد أن قيمة ﺹ عند هذه النقطة تساوي موجب تسعة. ومن المعادلة الثالثة، نجد أن ﻉ يساوي أربعة. إذن، نقطة تقاطع الخطين المستقيمين هي ثلاثة، تسعة، أربعة. والآن بعد أن عرفنا ذلك، دعونا نتذكر بعض المعلومات عن الصورة الإحداثية لمعادلة الخط المستقيم. بصفة عامة، يمكن كتابة معادلة أي خط مستقيم مثل هذا على الصورة: ﺱ ناقص ﺱ واحد على ﺃ يساوي ﺹ ناقص ﺹ واحد على ﺏ يساوي ﻉ ناقص ﻉ واحد على ﺟ. هنا، يمثل ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد إحداثيات النقطة التي يمر بها هذا الخط المستقيم. ويمثل ﺃ، وﺏ، وﺟ مركبات متجه مواز للخط المستقيم.

بالنسبة إلى معادلة الخط المستقيم التي نريد إيجادها، إذا كنا نعرف نقطة يمر بها الخط المستقيم وكذلك متجهًا موازيًا له، يمكننا إذن كتابة معادلة هذا الخط المستقيم بالصورة الإحداثية. نعرف بالفعل نقطة يمر بها الخط المستقيم. إننا في الواقع، نعرف نقطتين؛ وهما نقطة الأصل والنقطة التي أوجدناها: ثلاثة، تسعة، أربعة. لكننا لا نعرف بعد مركبات متجه مواز للخط المستقيم. لكن لاحظ أنه يمكننا إيجاد متجه مواز بتوصيل النقطتين المعلومتين على الخط المستقيم. إذا افترضنا أن مركبات هذا المتجه هي ﺃ، وﺏ، وﺟ، فإن هذه القيم يمكن الحصول عليها بحساب الفروق بين كل إحداثيين متناظرين للنقطتين لدينا. نجد أن هذا المتجه له ببساطة المركبات ثلاثة، تسعة، أربعة.

لدينا الآن كل ما نحتاجه لكتابة الصورة الإحداثية لمعادلة هذا الخط المستقيم. إذا اخترنا أن نجعل نقطة الأصل تناظر النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد التي يمر بها الخط المستقيم، إذن يمكننا القول بأن معادلة الخط المستقيم هي ﺱ على ثلاثة يساوي ﺹ على تسعة يساوي ﻉ على أربعة. لاحظ أن الإجابة النهائية ستبدو مختلفة إذا اخترنا نقطة أخرى تقع على هذا الخط المستقيم. لكن في كلتا الحالتين، ستظل المعادلة تصف نفس الخط المستقيم في الفضاء. إذن، الصورة الإحداثية التي سنكتبها لتكون إجابتنا النهائية هي ﺱ على ثلاثة يساوي ﺹ على تسعة يساوي ﻉ على أربعة.