فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد مشتقة الدالة ﺹ تساوي سالب ثلاثة ﺱ أس اثنين ﺱ.

إن أول ما يمكننا فعله إذا أردنا إيجاد المشتقة الأولى للدالة ﺹ تساوي سالب ثلاثة ﺱ أس اثنين ﺱ هو كتابة سالب ثلاثة، أي القيمة الثابتة، خارج المشتقة. وبهذا يكون عاملًا مشتركًا، ويجعل الأمر أسهل. إذن، يمكننا القول إن مشتقة الدالة لدينا تساوي سالب ثلاثة مضروبًا في مشتقة ﺱ أس اثنين ﺱ. وهذا بالنسبة إلى ﺱ.

حسنًا، لاشتقاق ﺱ أس اثنين ﺱ، سنستخدم نسخة معدلة لقاعدة القوة. وهي تنص على أنه إذا كان لدينا دالة مرفوعة لقوة دالة، فإن المشتقة ستساوي هذه الدالة أس الدالة المرفوعة إليها. فهي ستساوي هنا ﺩ ﺱ أس ﺭ ﺱ مضروبًا في مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ أو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺩ ﺱ مضروبًا في ﺭ ﺱ.

بتطبيق هذه القاعدة، فسنجد أن المشتقة لدينا تساوي سالب ثلاثة مضروبًا في ﺱ أس اثنين ﺱ مضروبًا في مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ. وبتبسيط ذلك، نجد أن المشتقة تساوي سالب ثلاثة ﺱ أس اثنين ﺱ مضروبًا في مشتقة اثنين ﺱ اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.

لكي نتمكن من اشتقاق اثنين ﺱ اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، علينا استخدام قاعدة الضرب. وتنص هذه القاعدة على أنه إذا كان لدينا دالتان مضروبتان معًا، أي ﺩ ﺱ مضروبًا في ﺭ ﺱ، ثم بجعل ﻉ يساوي ﺩ ﺱ وﻕ يساوي ﺭ ﺱ، فإن مشتقة ﻉﻕ تساوي ﻉ ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ ﺩﻉ على ﺩﺱ، أي ﻉ مضروبًا في مشتقة ﻕ؛ زائد ﻕ مضروبًا في مشتقة ﻉ.

عظيم إذن، يمكننا الآن تطبيق ذلك على الحالة لدينا. ويمكننا البدء بأن نجعل ﻉ يساوي اثنين ﺱ. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺱ تساوي اثنين. وذلك لأنه عند اشتقاق اثنين ﺱ، فإننا نضرب الأس في المعامل، أي نضرب واحدًا في اثنين، وهو ما يعطينا اثنين. ثم نطرح واحدًا من الأس، وهذا يعطينا صفرًا وليس واحدًا. ومن ثم، يصبح لدينا اثنان مضروبًا في ﺱ أس صفر، وهو ما يساوي اثنين مضروبًا في واحد، أي اثنين. الآن، نجعل ﻕ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ أو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، ثم نشتق ذلك لإيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ.

ولإيجاد ذلك، علينا تطبيق قاعدة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي. وعليه، نحصل على ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. وذلك لأننا نعلم أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. علينا الآن التعويض بكل ذلك وتطبيق قاعدة الضرب. وعندما نفعل ذلك، نجد أن المشتقة تساوي سالب ثلاثة ﺱ أس اثنين ﺱ مضروبًا في قيمة مشتقة حاصل الضرب. إذ لدينا ﻉ ﺩﻕ ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ على ﺱ. وذلك لأن ﻉ يساوي اثنين ﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. ثم نضيف إلى ذلك قيمة ﻕ ﺩﻉ على ﺩﺱ التي تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ مضروبًا في اثنين. أي اثنين اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.

نريد التبسيط الآن، ولذا أول ما يمكننا فعله هو قسمة الحد الأول داخل القوسين بسطه ومقامه على ﺱ؛ لأنه عامل مشترك. وعليه يتبقى لدينا اثنان. أصبحت المشتقة الآن تساوي سالب ثلاثة ﺱ أس اثنين ﺱ مضروبًا في اثنين زائد اثنين اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.

ثمة خطوة أخرى للتبسيط؛ لأننا نلاحظ أن اثنين عامل مشترك في كلا الحدين داخل القوسين. من ثم إذا أخرجناه خارج القوسين ثم ضربناه في سالب ثلاثة ﺱ أس اثنين ﺱ، فسنحصل على سالب ستة ﺱ أس اثنين ﺱ مضروبًا في واحد زائد اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وعليه، يمكننا القول إننا استخدمنا الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد مشتقة ﺹ التي تساوي سالب ثلاثة ﺱ أس اثنين ﺱ. وهذه المشتقة تساوي سالب ستة ﺱ أس اثنين ﺱ مضروبًا في واحد زائد اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، كما ذكرنا من قبل.