نسخة الفيديو النصية
ألقيت كرة رأسيًّا لأعلى، ثم عادت إلى الأرض. يوضح التمثيل البياني تغير الإزاحة الرأسية للكرة مقابل الزمن. أقصى إزاحة رأسية لأعلى للكرة من نقطة انطلاقها خمسة أمتار. ما السرعة الابتدائية الرأسية للكرة؟ قرب إجابتك لأقرب متر لكل ثانية. ما سرعة الكرة عند النقطة P حيث تكون إزاحتها الرأسية لأعلى من نقطة انطلاقها 4.5 أمتار. قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
هيا نبدأ بحل الجزء الأول من هذا السؤال. في هذا السؤال، لدينا كرة ألقيت رأسيًّا لأعلى. هذا يعني أن هناك سرعة ابتدائية رأسية لهذه الكرة، وهي ما سنطلق عليها 𝑉i. إن القوة الوحيدة التي تؤثر في الكرة أثناء حركتها هي الجاذبية؛ حيث تؤثر فيها رأسيًّا لأسفل، ومقدارها يساوي كتلة الكرة 𝑚 في عجلة الجاذبية 𝑔. تتسبب هذه القوة التي تؤثر في الكرة لأسفل في إنقاص السرعة الرأسية بمرور الزمن، وهو ما يعني أن الكرة سترتفع في الهواء إلى أن تصل إلى أقصى إزاحة رأسية لأعلى. وعند هذه النقطة، لن يكون للكرة أي سرعة رأسية. ومن ثم، يمكننا القول إن 𝑉 تساوي صفرًا.
بعد هذه النقطة، ستصبح السرعة الرأسية للكرة سالبة، الأمر الذي يجعلها تتحرك لأسفل عبر الهواء حتى تصل إلى الأرض. يوضح التمثيل البياني الإزاحة الرأسية للكرة من نقطة انطلاقها؛ حيث يشير المحور الرأسي إلى إزاحة الكرة، في حين يشير المحور الأفقي إلى الزمن. يخبرنا السؤال أن أقصى إزاحة رأسية لأعلى للكرة من نقطة انطلاقها تساوي خمسة أمتار. لذا قبل المتابعة، دعونا نضف هذه المعلومة على التمثيل البياني.
يطلب منا الجزء الأول من السؤال إيجاد السرعة الابتدائية الرأسية للكرة. لذا، علينا حساب قيمة 𝑉i. للإجابة عن هذا الجزء من السؤال، سنستخدم معادلة تربط بين سرعة جسم يتحرك بعجلة ثابتة وإزاحته. تنص المعادلة على أن مربع السرعة النهائية للجسم يساوي مربع سرعته الابتدائية زائد اثنين في العجلة التي يتحرك بها الجسم في إزاحته.
إذا افترضنا أن نقطة انطلاق الكرة هي نقطة البداية، وأن النقطة التي تصل عندها الكرة لأقصى ارتفاع لها هي نقطة النهاية، فسنعرف أن السرعة النهائية للكرة تساوي صفر متر لكل ثانية. العجلة التي تتحرك بها الكرة هي سالب 𝑔. قيمة العجلة سالبة نظرًا لأن الجاذبية تؤثر في الكرة لأسفل، وهو الاتجاه المعاكس للإزاحة الرأسية الموجبة. نعلم أيضًا أن قيمة 𝑔 تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. من ثم، فإن العجلة التي تتحرك بها الكرة تساوي سالب 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. وأخيرًا، أخبرنا السؤال أن الإزاحة الرأسية للكرة عند هذه النقطة النهائية تساوي خمسة أمتار.
الآن، دعونا نفرغ بعض المساحة على اليمين ونرى كيف يمكننا استخدام كل هذه المعلومات للإجابة عن السؤال. سنبدأ بإعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل السرعة الابتدائية للكرة في طرف بمفردها. بطرح اثنين 𝑎𝑠 من الطرفين، نجد أن 𝑎𝑠 يلغى من الطرف الأيمن. وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نجد أن الجذر التربيعي لـ 𝑉i تربيع هو 𝑉i فقط. وبذلك نكون قد حصلنا على معادلة للسرعة الابتدائية للكرة. بكتابة هذه المعادلة بطريقة منظمة، نجد أن 𝑉i تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑉f تربيع ناقص اثنين 𝑎𝑠. الآن، كل ما علينا فعله هو التعويض بالقيم المعلومة لكل من 𝑉f، و𝑎، و𝑠 في هذه المعادلة. جميع هذه القيم مقيسة بوحدات النظام الدولي للوحدات؛ لذا، لا داعي للقلق بشأن تحويلها قبل متابعة الحل.
بالتعويض بهذه القيم، نحصل على 𝑉i تساوي الجذر التربيعي لصفر متر لكل ثانية تربيع ناقص اثنين في سالب 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة في خمسة أمتار. يمكننا على الفور ملاحظة أن الحد صفر متر لكل ثانية ليس له أي دور في هذه المعادلة مطلقًا. بعد ذلك، إذا أخرجنا إشارة السالب إلى خارج القوسين، فسنجد أنها تحذف مع إشارة السالب الأخرى. بفك الأقواس، نحصل على 𝑉i تساوي الجذر التربيعي لـ 98 مترًا مربعًا لكل ثانية مربعة. قد تبدو هذه الوحدات غريبة إلى حد ما، لكن عندما نأخذ الجذر التربيعي لها، فسنجد أنها تعطينا مترًا لكل ثانية، وهي وحدة السرعة المتوقع الحصول عليها.
بحساب قيمة هذا التعبير، نحصل على 𝑉i تساوي 9.90 أمتار لكل ثانية. لكن هذا الجزء من السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب متر لكل ثانية. بتقريب 9.90 أمتار لكل ثانية لأقرب متر لكل ثانية نحصل على 10 أمتار لكل ثانية. وبذلك، تكون قيمة 𝑉i هي 10 أمتار لكل ثانية. وعليه، فإن السرعة الابتدائية الرأسية للكرة مقربة لأقرب متر لكل ثانية هي 10 أمتار لكل ثانية.
والآن، لنلق نظرة على الجزء الثاني من هذا السؤال.
يسأل الجزء الثاني من السؤال: ما سرعة الكرة عند النقطة P حيث تكون إزاحتها الرأسية لأعلى من نقطة انطلاقها 4.5 أمتار؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
الآن، نريد إيجاد سرعة الكرة عند نقطة مختلفة في مسارها. يمكننا فعل ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي أن نجعل النقطة P نقطة النهاية الجديدة في العمليات الحسابية. ويمكننا استخدام المعادلة نفسها التي استخدمناها سابقًا، بالإضافة إلى السرعة الابتدائية الرأسية للكرة التي أوجدناها والإزاحة الجديدة التي أخبرنا السؤال أنها تساوي 4.5 أمتار، وذلك لحساب سرعة الكرة عند النقطة P.
الطريقة الثانية هي أن نجعل النقطة P نقطة البداية في العمليات الحسابية. نلاحظ أن الإزاحة الرأسية النسبية بين نقطتي البداية والنهاية ستساوي الآن 0.5 متر. بعد ذلك، يمكننا استخدام العمليات الحسابية نفسها التي استخدمناها في الجزء الأول من السؤال للإجابة عن الجزء الثاني. سنستخدم الطريقة الثانية في الحل. دعونا نذكر أنفسنا بأن السرعة النهائية للكرة تساوي صفر متر لكل ثانية، والعجلة التي تتحرك بها الكرة تساوي سالب 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة، وإزاحة الكرة الآن هي الإزاحة النسبية بين نقطتي البداية والنهاية التي علمنا أنها تساوي 0.5 متر.
بمعلومية ذلك كله، علينا إيجاد سرعة الكرة عند النقطة P. بما أن النقطة P هي نقطة البداية في العملية الحسابية، علينا إيجاد سرعة الكرة عند نقطة البداية هذه بالتحديد. لذا، علينا حساب قيمة 𝑉i، وبذلك نكون قد حصلنا على الإجابة.
كما فعلنا في الجزء الأول من السؤال، سنبدأ الحل بهذه المعادلة هنا. ومرة أخرى، سنعيد ترتيب المعادلة لجعل 𝑉i في طرف بمفردها. سنبدأ بطرح اثنين 𝑎𝑠 من الطرفين؛ لنجد أن هذين الحدين في الطرف الأيمن يلغي كل منهما الآخر. بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين. في الطرف الأيمن للمعادلة، نجد أن الجذر التربيعي لـ 𝑉i تربيع هو 𝑉i فقط. هذا يعطينا معادلة السرعة الابتدائية للكرة. بكتابة هذه المعادلة بطريقة منظمة، نجد أن 𝑉i تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑉f تربيع ناقص اثنين 𝑎𝑠.
الآن، كل ما علينا فعله هو التعويض بقيم كل من 𝑉f، و𝑎، و𝑠 في هذه المعادلة. ومرة أخرى، علينا ملاحظة أن جميع هذه القيم مقيسة بوحدات النظام الدولي للوحدات؛ ولذا، لا نحتاج لتحويل أي منها قبل متابعة الحل. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على 𝑉i تساوي الجذر التربيعي لصفر متر لكل ثانية مربعة ناقص اثنين في سالب 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة في 0.5 متر. بحساب قيمة هذا التعبير، نجد أن قيمة 𝑉i تساوي 3.13 أمتار لكل ثانية. وعليه، فإن سرعة الكرة عند النقطة P تساوي 3.13 أمتار لكل ثانية. لاحظ أن سرعة الكرة عند النقطة P أقل من سرعتها الابتدائية التي حسبناها، وهذا متوقع؛ إذ تتباطأ الكرة من نقطة انطلاقها حتى تصل إلى سرعة تساوي الصفر عند أقصى إزاحة رأسية. من ثم، يمكننا كتابة أن سرعة الكرة تساوي 3.13 أمتار لكل ثانية.
وأخيرًا، يطلب السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. بتقريب 3.13 لأقرب منزلة عشرية نحصل على 3.1. وعليه، فإن سرعة الكرة عند النقطة P حيث تكون إزاحتها الرأسية لأعلى من نقطة انطلاقها 4.5 أمتار مقربة لأقرب منزلة عشرية تساوي 3.1 أمتار لكل ثانية.
