فيديو الدرس: محددات الرتبة الثالثة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قيمة محددات الرتبة الثالثة باستخدام العوامل المرافقة أو مفكوك «لابلاس» أو طريقة «ساروس». ومن المفيد جدًا حساب قيمة المحدد لمصفوفة مربعة من أجل جمع معلومات عن المصفوفة، مثل معرفة ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس أم لا.

لنبدأ بتذكير سريع بكيفية حساب قيمة المحدد لمصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. بعد ذلك، سنرى كيف يمكننا حساب قيمة المحدد لمصفوفة مربعة عامة رتبتها ﻥ في ﻥ باستخدام ما نعرفه عن إيجاد قيمة المحدد لمصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. لننظر إلى هذه المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين. يشار إلى محدد ﺃ بخطين رأسيين على جانبي الحرف ﺃ. إنه نفس الرمز الذي نستخدمه للقيمة المطلقة. بالنسبة إلى مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، فإنها تعطى بواسطة الصيغة ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. تذكر أن علينا أن ننتبه عند التعامل مع المدخلات السالبة في المصفوفة، لا سيما عندما نحاول إيجاد قيمة المحدد.

على سبيل المثال، أوجد قيمة محدد المصفوفة خمسة، واحد، سالب خمسة، خمسة. لنسم هذه المصفوفة ﺏ. ثم نحسب قيمة محدد ﺏ الذي يساوي خمسة في خمسة ناقص واحد في سالب خمسة. نجد أن الناتج يساوي ٢٥ ناقص سالب خمسة. وهنا علينا أن نكون حذرين مع القيم السالبة؛ حيث إن هذه القيمة تساوي ٢٥ زائد خمسة، أي ٣٠. لكن تذكر أن مدخلات المصفوفة ليست أعدادًا دائمًا. على سبيل المثال، أوجد قيمة محدد المصفوفة ﺟ التي تساوي ﺱ، ﺹ، ﻉ، ﺱ. وباستخدام القاعدة نفسها، قيمة محدد هذه المصفوفة تساوي ﺱ تربيع ناقص ﺹﻉ.

لنتناول الآن المصفوفات التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وهناك طرق معينة لإيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة. لكننا هنا بصدد وضع طريقة عامة بحيث يمكن تطبيقها على المصفوفات الأكبر. أول ما سنتناوله لكي نتمكن من حساب قيمة محددات الرتبة الثالثة هي المصفوفات الصغرى. لنفترض أن لدينا مصفوفة ﺃ رتبتها ﻡ في ﻥ، إذن المصفوفة الصغرى، ﺃﺹﻉ، هي المصفوفة الأصلية ﺃ بعد إزالة الصف ﺹ والعمود ﻉ. يعني هذا أن ﺃﺹﻉ عبارة عن مصفوفة رتبتها ﻡ ناقص واحد في ﻥ ناقص واحد. تذكر أن رتبة المصفوفة تعني أبعاد المصفوفة، أي إن المصفوفة التي رتبتها ﻡ في ﻥ هي مصفوفة بها عدد ﻡ من الصفوف وعدد ﻥ من الأعمدة. إن أسهل طريقة لفهم المصفوفات الصغرى هي من خلال مثال.

لنفترض أن لدينا هذه المصفوفة ﺃ. لنحسب المصفوفة الصغرى ﺃ اثنين ثلاثة. يعني هذا أن نحذف الصف الثاني والعمود الثالث من المصفوفة الأصلية. نلاحظ أن المدخلات المتبقية هي المدخلات: سالب اثنين، ثلاثة، صفر، سالب ثلاثة. هذه هي المصفوفة الصغرى ﺃ، التي رتبتها اثنان في اثنين، اثنان ثلاثة. لنحسب أيضًا المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة واحد. يعني هذا أن نحذف الصف الثالث والعمود الأول. ويمكننا ملاحظة أنه تتبقى لدينا مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، وهي: ثلاثة، سالب ثلاثة، ثلاثة، ستة.

سنستخدم هذا المفهوم مع التعريف المنهجي للصورة العامة لمحدد المصفوفة. لنفترض أن لدينا مصفوفة مربعة ﺃ رتبتها ﻥ في ﻥ، عندئذ نحسب قيمة محدد المصفوفة ﺃ بإحدى طريقتين، كلتاهما تتضمن محدد مصفوفات صغرى معينة للمصفوفة ﺃ. يمكننا حساب قيمة المحدد باستخدام صف معين. أو يمكننا، بدلًا من ذلك، استخدام عمود واحد معين. غالبًا ما يكون هذا تعريفًا صعبًا للمحدد. ولكنه يتضح ويكون أكثر منطقية بكثير عندما نراه مطبقًا في مثال.

أوجد قيمة محدد المصفوفة واحد، اثنين، ثلاثة، ثلاثة، اثنين، اثنين، صفر، تسعة، ثمانية.

لنسم هذه المصفوفة ﺃ. يمكننا حساب قيمة محدد المصفوفة ﺃ عن طريق اختيار إما صف واحد أو عمود واحد. وتعد استراتيجية جيدة أن تختار الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. وبالنسبة إلى هذه المصفوفة، سيكون ذلك هو الصف الثالث أو العمود الأول، وكلاهما يحتوي على مدخل واحد يساوي صفرًا. لنختر العمود الأول. وإليك صيغة إيجاد قيمة محدد مصفوفة ما عندما نستخدم عمودًا معينًا ﻉ.

في هذا السؤال، وبما أننا نستخدم العمود الأول، فإن ﻉ يساوي واحدًا. ولأن هذه مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، فإن ﺹ يبدأ من واحد إلى ثلاثة. إنها الصيغة نفسها لكنها معدلة بحيث يبدأ ﺹ من واحد إلى ثلاثة. وبما أننا نستخدم العمود الأول، فإن ﻉ يساوي واحدًا. والآن ﺃ واحد واحد، وﺃ اثنان واحد، وﺃ ثلاثة واحد هي مدخلات العمود الذي نستخدمه. وهذه المدخلات هي: واحد، ثلاثة، صفر. وهذه هي محددات المصفوفات الصغرى.

تذكر أننا نوجد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد عن طريق إزالة الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة الأصلية. تتبقى لدينا المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين، وهي: اثنان، اثنان، تسعة، ثمانية. ثم نحسب قيمة محدد هذه المصفوفة باستخدام الصيغة المعتادة لإيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. يساوي هذا اثنين في ثمانية ناقص اثنين في تسعة. وهذا يساوي ١٦ ناقص ١٨، وهو ما يعطينا سالب اثنين. يمكننا بعد ذلك إيجاد المصفوفة الصغرى ﺃ اثنين واحد عن طريق إزالة الصف الثاني والعمود الأول. وهذا يعطينا المصفوفة: اثنين، ثلاثة، تسعة، ثمانية. يمكننا إذن أن نحسب قيمة محددها وتساوي اثنين في ثمانية ناقص ثلاثة في تسعة. وسنجد أن هذا يساوي سالب ١١. ونكرر الأمر نفسه، ونوجد المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة واحد عن طريق إزالة الصف الثالث والعمود الأول من المصفوفة الأصلية. ونجد أن قيمة المحدد هي اثنان في اثنين ناقص ثلاثة في اثنين، وهو ما يعطينا سالب اثنين.

الخطوة الأخيرة هي حساب القيم سالب واحد أس واحد زائد واحد، وسالب واحد أس اثنين زائد واحد، وسالب واحد أس ثلاثة زائد واحد. نجد أن هذه القيم هي: واحد، سالب واحد، واحد. تذكر أن رفع سالب واحد إلى قوة زوجية يعطينا واحدًا، ورفع سالب واحد إلى قوة فردية يعطينا سالب واحد. لنعوض الآن في هذه الصيغة بالقيم التي أوجدناها. يتضح عند التعويض بهذه القيم السبب وراء فائدة اختيار صف أو عمود يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. ولأن هذا الحد الأخير يكون مضروبًا في صفر، فإن الحد كله يساوي صفرًا، ما يعني أننا قد قللنا عدد الحدود التي علينا حسابها بمقدار حد واحد.

وبترتيب العملية الحسابية بعض الشيء، نجد أن واحدًا في واحد في سالب اثنين يساوي سالب اثنين، وسالب واحد في ثلاثة في سالب ١١ يساوي ٣٣. وبجمعهما معًا، نحصل على الناتج النهائي ٣١.

إذن، من الأمور الأساسية التي يجب التفكير فيها هي الصف أو العمود الذي سنستخدمه، وأن نحسب بعناية قيمة كل جزء من الصيغة. وعلينا أن نتأكد من أننا نتعامل دائمًا بحرص مع الإشارات السالبة. ولنأخذ مثالًا آخر، ولكن سنستخدم هذه المرة صفًا بدلًا من عمود.

احسب قيمة محدد ﺃ عندما تكون: ﺃ يساوي ثلاثة، صفرًا، سالب واحد، صفرًا، واحدًا، صفرًا، اثنين، اثنين، أربعة.

لتسهيل الأمور على أنفسنا، سنحدد الصف أو العمود الذي يتضمن أكبر عدد من المدخلات التي تساوي صفرًا. بالنسبة إلى هذه المصفوفة، سيكون الصف الثاني من ﺃ. لنتذكر الصيغة العامة لإيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها ﻥ في ﻥ. ها هي الصيغة. تذكر أن ﺹ يمثل رقم الصف، وﻉ يمثل رقم العمود. وبما أن لدينا ثلاثة أعمدة، فإن ﻉ يبدأ من واحد إلى ثلاثة. كما أننا نعمل هنا على طول الصف الثاني؛ حيث ﺹ يساوي اثنين. إذن هذه هي الصيغة التي سنستخدمها.

المدخلات ﺃ اثنان واحد، وﺃ اثنان اثنان، وﺃ اثنان ثلاثة هي: صفر، واحد، صفر، على الترتيب. ونظرًا لأن اثنين من هذه المدخلات يساويان صفرًا، نجد أن هذين الحدين يساويان صفرًا؛ لأن كليهما مضروب في صفر. إذن، يوجد حد واحد فقط علينا حساب قيمته هنا. لنبدأ بإيجاد المصفوفة الصغرى ﺃ اثنين اثنين. وهذه هي المصفوفة ذات الرتبة اثنين في اثنين التي نحصل عليها عن طريق إزالة الصف الثاني والعمود الثاني. نلاحظ إذن أن المصفوفة الصغرى ﺃ اثنين اثنين هي: ثلاثة، سالب واحد، اثنان، أربعة. لكن ما نحتاجه فعليًا لهذه الصيغة هو محددها. ولذا، سنحسب ذلك بالطريقة المعتادة المستخدمة لإيجاد قيمة محددات المصفوفات التي رتبتها اثنان في اثنين. يعطينا هذا ثلاثة في أربعة ناقص سالب واحد في اثنين. وهذا يعطينا ١٢ ناقص سالب اثنين، ما يساوي ١٤.

الخطوة الأخيرة التي علينا فعلها هي حساب قيمة سالب واحد أس اثنين زائد اثنين. وبما أن هذا يساوي سالب واحد أس أربعة، وهو أس زوجي، فإنه سيساوي واحدًا. إذن حسبنا قيمة محدد المصفوفة ﺃ التي تساوي واحدًا في واحد في ١٤. وهذا يساوي، بالطبع، ١٤. ومن خلال الاختيار الدقيق للصف أو العمود الذي تستخدمه عند إيجاد قيمة محدد المصفوفة، يمكنك أن تقلل كثيرًا من عدد العمليات الحسابية اللازمة.

تذكر أنه ليس بالضرورة أن تحتوي جميع المصفوفات على مدخلات عددية. ولنلق نظرة على ذلك في مثال.

لدينا المحدد: ﺱ، ﻉ، ﺹ، ﺹ، ﺱ، ﻉ، ﻉ، ﺹ، ﺱ. إذا كان ﺱ تكعيب زائد ﺹ تكعيب زائد ﻉ تكعيب يساوي سالب ٧٣، وﺱﺹﻉ يساوي سالب ثمانية، فأوجد القيمة العددية للمحدد.

تذكر أنه يمكننا حساب قيمة هذا المحدد عن طريق اختيار صف أو عمود. ونختار عادة الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. لكن بما أن لدينا ثلاث قيم مجهولة، ﺱ، وﺹ، وﻉ، لنختر الصف العلوي. وإليك الصيغة العامة لإيجاد قيمة محدد مصفوفة ﻥ في ﻥ، باستخدام صف معين، ﺹ. بما أننا نستخدم مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، فإن ﻉ يبدأ من واحد إلى ثلاثة. وبما أننا نستخدم الصف العلوي، فإن ﺹ يساوي واحدًا. إليك إذن النسخة الخاصة من هذه الصيغة العامة المطبقة في السؤال. لنفرغ بعض المساحة قبل متابعة الحل.

لقد احتفظت بالصيغة التي نستخدمها كما هي على الشاشة. لنسم المصفوفة التي نستخدمها ﺃ. الخطان الرأسيان على جانبي المصفوفة يشيران إلى المحدد. لنبدأ بإيجاد المركبات المختلفة في الصيغة التي نستخدمها. الأحرف، ﺃ واحد واحد، وﺃ واحد اثنان، وﺃ واحد ثلاثة، هي مدخلات الصف الذي نستخدمه. إذن ﺃ واحد واحد يساوي ﺱ، وﺃ واحد اثنان يساوي ﻉ، وﺃ واحد ثلاثة يساوي ﺹ.

أما الأحرف، ﺃ واحد واحد، ﺃ واحد اثنان، ﺃ واحد ثلاثة، فتشير إلى المصفوفات الصغرى. تذكر أننا نحصل على هذه المصفوفات عن طريق إزالة صف معين وعمود معين من المصفوفة الأصلية. على سبيل المثال، نحصل على ﺃ واحد واحد بحذف الصف الأول والعمود الأول، هكذا. وتتبقى لدينا المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: ﺱ، ﻉ، ﺹ، ﺱ. ثم نكرر الأمر نفسه مع ﺃ واحد اثنين. نحصل على المصفوفة الصغرى عن طريق إزالة الصف الأول والعمود الثاني. وهذا يعطينا المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: ﺹ، ﻉ، ﻉ، ﺱ. وأخيرًا، نحصل على المصفوفة الصغرى ﺃ واحد ثلاثة عن طريق إزالة الصف الأول والعمود الثالث. وهذا يعطينا المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: ﺹ، ﺱ، ﻉ، ﺹ.

لكن ما نحتاجه بالنسبة إلى الصيغة لدينا هو محدد كل من هذه المصفوفات. لنتذكر طريقة إيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. ومن ثم، فإن قيمة محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد هو: ﺱ في ﺱ ناقص ﻉ في ﺹ. ويمكننا كتابتها أيضًا على صورة مكافئة، هي: ﺱ تربيع ناقص ﺹﻉ. بالطريقة نفسها، نجد أن قيمة محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين هي: ﺹ في ﺱ ناقص ﻉ في ﻉ، أو ما يكافئها: ﺱﺹ ناقص ﻉ تربيع. ونجد أن قيمة محدد المصفوفة ﺃ واحد ثلاثة هي: ﺹ في ﺹ ناقص ﺱ في ﻉ، وهو ما يساوي: ﺹ تربيع ناقص ﺱﻉ.

آخر ما علينا حسابه في الصيغة هو قيمة كل من سالب واحد أس واحد زائد واحد، وسالب واحد أس واحد زائد اثنين، وسالب واحد أس واحد زائد ثلاثة. تذكر أن رفع سالب واحد إلى قوة زوجية يعطينا واحدًا، ورفع سالب واحد إلى قوة فردية يعطينا سالب واحد. إذن، سالب واحد أس واحد زائد واحد يساوي سالب واحد تربيع، وهو ما يساوي واحدًا. سالب واحد أس واحد زائد اثنين يساوي سالب واحد تكعيب، وهو ما يساوي سالب واحد. وأخيرًا، سالب واحد أس واحد زائد ثلاثة يساوي سالب واحد أس أربعة، وهو ما يساوي واحدًا.

دعونا الآن نكتب قيم محددات هذه المصفوفة بالمركبات التي أوجدناها. ومن ثم، دعونا نحاول تبسيطها قليلًا أولًا. لنبدأ بضرب الأقواس والحدود الجبرية معًا. بالنسبة إلى الحد الأول، لدينا ﺱ مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص ﺹﻉ. إذن يصبح هذا الحد واحدًا في ﺱ تكعيب ناقص ﺱﺹﻉ. بعد ذلك، سنكرر الأمر نفسه مع الحد التالي. وهذا يعطينا سالب واحد في ﺱﺹﻉ ناقص ﻉ تكعيب. ولنكرر الأمر نفسه مع الحد الأخير، فنحصل على واحد في ﺹ تكعيب ناقص ﺱﺹﻉ.

والآن، بعدما ضربنا الأقواس التي تحتوي على حدود جبرية. دعونا نضرب كل حد في القيمة الموجودة أمامه. الحد الأول يساوي واحدًا في ﺱ تكعيب ناقص ﺱﺹﻉ، وهو ما سيعطينا ﺱ تكعيب ناقص ﺱﺹﻉ. الحد التالي يساوي سالب واحد في ﺱﺹﻉ ناقص ﻉ تكعيب. إذن يمكننا ضرب القوس الثاني في سالب واحد. لكن علينا أن ننتبه؛ لأن ﻉ تكعيب توجد بالفعل إشارة سالب أمامه، ومن ثم سيصبح موجبًا. إذن سنحصل على سالب ﺱﺹﻉ زائد ﻉ تكعيب. وأخيرًا، الحد الأخير يساوي واحدًا في ﺹ تكعيب ناقص ﺱﺹﻉ. وهذا يعطينا ﺹ تكعيب ناقص ﺱﺹﻉ.

ويمكننا تبسيط ذلك قليلًا. يمكننا تجميع الحدود ﺱﺹﻉ معًا. وبجمعها معًا، نحصل على سالب ثلاثة ﺱﺹﻉ. من هنا، نلاحظ أن لدينا ﺱ تكعيب زائد ﻉ تكعيب زائد ﺹ تكعيب. نعلم من رأس المسألة أن ﺱ تكعيب زائد ﺹ تكعيب زائد ﻉ تكعيب يساوي سالب ٧٣. بالإضافة إلى ذلك، لدينا سالب ثلاثة ﺱﺹﻉ، ونعلم من رأس المسألة أن ﺱﺹﻉ يساوي سالب ثمانية. التعويض بهذه القيم يعطينا سالب ٧٣ ناقص ثلاثة في سالب ثمانية، وهو ما يساوي سالب ٧٣ زائد ٢٤. وهو ما يساوي سالب ٤٩. وفي بعض الأحيان، قد نصادف مصفوفات ليس بها قيم عددية، لكن سيظل بمقدورنا إيجاد المحدد بالطريقة نفسها.

لنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الدرس. في المصفوفة ﺃ، المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ هي المصفوفة الأصلية ﺃ بعد إزالة الصف ﺹ والعمود ﻉ. وإليك الصيغة العامة لمحدد المصفوفة ﺃ التي رتبتها ﻥ في ﻥ. يمكننا اختيار صف معين أو عمود معين. ولكن من المفيد، في كثير من الأحيان، اختيار صف أو عمود يحتوي على أكبر عدد من الأصفار.