فيديو الدرس: مجموع الزوايا الداخلية للمضلع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف على كيفية حساب مجموع الزوايا الداخلية لمضلع. حسنًا، هناك كلمتان في هذا العنوان نحتاج إلى التأكد من معرفتنا بهما، وأولهما كلمة مضلع. المضلع هو أي شكل ثنائي الأبعاد أضلاعه مستقيمة. وإليكم عددًا من الأمثلة المرسومة على الشاشة هنا. إذ علينا أن نكون على دراية بأسماء المضلعات بأعداد أضلاعها المختلفة. رسمت هنا مضلعات بثلاثة أو أربعة أو خمسة أو ستة أو سبعة أو ثمانية أضلاع، وسنبدأ باستعراض أسماء هذه المضلعات.

أمامنا على الشاشة اسم كل مضلع من هذه المضلعات. الشكل الثلاثي الأضلاع هو بالطبع مثلث. والمضلع ذو الأضلاع الأربعة هو شكل رباعي. وبالطبع، هناك الكثير من الأنواع المختلفة من الأشكال الرباعية الأضلاع التي ستتعرف عليها، مثل المربعات والمستطيلات ومتوازيات الأضلاع وما إلى ذلك. ويطلق على المضلع الخماسي الأضلاع شكل خماسي. والمضلع السداسي الأضلاع شكل سداسي، والمضلع السباعي الأضلاع شكل سباعي، ويشار إليه أحيانًا باسم المسبع، والمضلع الثماني الأضلاع شكل ثماني. وهناك أسماء للمضلعات التي لها أضلاع أكثر من ذلك بكثير. على سبيل المثال، يسمى المضلع ذو العشرين ضلعًا بالمضلع العشريني. ولكن هذه هي بعض المضلعات الأساسية التي يجب أن تكون على دراية بها.

الكلمة الأخرى في هذا العنوان التي نحتاج إلى فهمها هي كلمة الداخلية. عندما نتحدث عن الزوايا الداخلية في المضلع، فإننا نقصد الزوايا الموجودة داخل الشكل. وهي محددة هنا باللون الأحمر داخل كل شكل. تجدر الإشارة بالطبع إلى أن عدد الزوايا الداخلية يساوي عدد أضلاع المضلع. وعليه، فللشكل السداسي ستة أضلاع، وكذلك ست زوايا داخلية. المضلعات التي رسمتها هي ما يشار إليه باسم المضلعات غير المنتظمة، وهو ما يعني أن أضلاعها ليست متساوية في الطول، وكذلك زواياها الداخلية ليست كلها متطابقة. أما إذا كانت متطابقة، فيشار إليها باسم المضلعات المنتظمة. نحسب أولًا مجموع قياسات الزوايا الداخلية في كل مضلع من هذه المضلعات.

حسنًا، سنبدأ بمجموع الزوايا الداخلية في الشكل الرباعي ثم السداسي. تعتمد هذه الطريقة على حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث ‪180‬‏ درجة، وهي حقيقة بالتأكيد قابلتها من قبل، وربما برهنت على صحتها أيضًا. ما سأفعله في الشكل الرباعي هو أنني سأختار أحد الرءوس، وسأختار هذا الرأس هنا، ثم سأصل هذا الرأس، أو الركن، بكل الرءوس الأخرى غير المتصلة به بالفعل. في الشكل الرباعي، سأصل فقط الرأس المقابل له مباشرة.

ما تراه الآن هو أنني قسمت هذا الشكل الرباعي إلى مثلثين. الآن إذا رسمت الزوايا، فسيكون مجموع الزوايا في كل مثلث ‪180‬‏ درجة، ما يعني أنه في الشكل الرباعي. سيكون مجموع قياسات زواياه اثنين في ‪180‬‏ درجة؛ لأن لدينا مثلثين. إذن، في الشكل الرباعي، مجموع قياسات الزوايا الداخلية ‪360‬‏ درجة، وقد تكون على دراية بهذه الحقيقة بالفعل.

والآن لنفعل الشيء نفسه في الشكل السداسي. إذ سأختار أحد هذه الرءوس، ومرة أخرى سأصله بجميع الرءوس الأخرى غير المتصلة به. لقد اخترت هذا الرأس بالأعلى هنا، وما يمكنك رؤيته عن طريق رسم هذه الوصلات هو أن لدينا الآن مثلثًا، مثلثين، ثلاثة، أربعة مثلثات داخل هذا الشكل السداسي. مرة أخرى، إذا رسمت جميع الزوايا الداخلية هنا، فسترى أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في الشكل السداسي يساوي مجموع قياسات الزوايا الداخلية في هذه المثلثات الأربعة مجتمعة. والآن كما ذكرنا، فإن مجموع قياسات الزوايا في كل مثلث ‪180‬‏ درجة. ومن ثم، بما أن لدي أربعة مثلثات، فإن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في الشكل السداسي هو أربعة في ‪180‬‏ درجة. إذن، مجموع قياسات الزوايا الداخلية للشكل السداسي هو ‪720‬‏ درجة.

الآن يمكنك تجربة هذه الطريقة بنفسك مع بعض المضلعات الأخرى، انظر مثلًا إلى شكل خماسي، أو ثماني، أو أي شكل تريده، ولاحظ عدد المثلثات التي تكونها باستخدام هذه الطريقة في كل مرة. ما نريده هو التوصل إلى قاعدة عامة يمكننا استخدامها مع أي مضلع بأي عدد من الأضلاع. لنلق نظرة على هذين الشكلين وعلى الأشكال التي رسمتها بنفسك. ما ستلاحظه في الشكل الرباعي الذي له أربعة أضلاع هو أننا تمكنا من رسم مثلثين، وفي الشكل السداسي الأضلاع الذي له ستة أضلاع، تمكنا من رسم أربعة مثلثات. إذن، عدد المثلثات يكون دائمًا أقل بمقدار اثنين من عدد الأضلاع.

فلنعمم ذلك على ما نسميه مضلعًا بعدد أضلاع ‪𝑛‬‏، حيث ‪𝑛‬‏ هو عدد الأضلاع. حسنًا، كما قلنا، سيكون عدد المثلثات أقل من عدد الأضلاع بمقدار اثنين. إذن، إذا كان عدد الأضلاع ‪𝑛‬‏، فسيكون عدد المثلثات ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين. وكل مثلث من هذه المثلثات مجموع قياسات زواياه ‪180‬‏ درجة؛ ما يعني أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية سيكون ‪180‬‏ في ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين. وهذا يعطينا صيغة عامة يمكننا استخدامها لحساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مضلع عدد أضلاعه ‪𝑛‬‏. فكل ما علينا فعله هو طرح اثنين من عدد الأضلاع ثم الضرب في ‪180‬‏. فلنجب عن بعض الأسئلة باستخدام هذه الصيغة.

يطلب منا السؤال الأول إيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخلية في شكل خماسي.

تذكر أن صيغة حساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية هي ‪180‬‏ في ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين، حيث ‪𝑛‬‏ عدد الأضلاع. وتذكر أن الشكل الخماسي به خمسة أضلاع، ومن ثم سنعوض عن ‪𝑛‬‏ بخمسة في هذه الصيغة. إذن، مجموع الزوايا الداخلية في الشكل الخماسي هو ‪180‬‏ في خمسة ناقص اثنين، وهو ما يساوي بالطبع ‪180‬‏ في ثلاثة، ومن ثم نستنتج من هذا أن مجموع قياسات زواياه الداخلية ‪540‬‏ درجة. ويمكننا الإجابة عن السؤال نفسه بالنسبة لأي مضلع، مثل شكل يشتمل على ‪10‬‏ أضلاع، أو شكل يشتمل على ‪12‬‏ ضلعًا، أو شكل يشتمل على ‪38‬‏ ضلعًا. يمكننا الإجابة بالطريقة نفسها عن طريق التعويض عن قيمة ‪𝑛‬‏ في الصيغة. حسنًا. لنأخذ مسألة أخرى.

نعلم من المسألة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المضلع ‪1620‬‏ درجة. والسؤال هو: كم عدد أضلاع هذا المضلع؟

إذن، مطلوب منا هنا الحل بطريقة عكسية. معلوم لدينا مجموع قياسات الزوايا الداخلية، وسنعمل بطريقة عكسية لحساب عدد الأضلاع. تذكر، هذه هي الصيغة التي توصلنا إليها لحساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية، ويمكننا استخدامها لكتابة معادلة. نعلم أن هذا المجموع يساوي ‪1620‬‏. لذا، يمكنني أن أكتب المعادلة: ‪180‬‏ في ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين يساوي ‪1620‬‏. والآن، المطلوب منك هو إيجاد عدد الأضلاع؛ لذا فإن ما يعنيه هذا هو حل هذه المعادلة لتحديد قيمة ‪𝑛‬‏؛ لأن ‪𝑛‬‏، تذكر، يمثل عدد الأضلاع.

إذن، صارت هذه المسألة مسألة جبرية. أريد أن أحل هذه المعادلة، لذا فإن الخطوة الأولى هي قسمة طرفي المعادلة على ‪180‬‏. بمجرد أن أفعل ذلك، أحصل على طريقة الحل ‪𝑛‬‏ ناقص اثنين يساوي تسعة. الخطوة التالية إذن هي إضافة اثنين إلى طرفي هذه المعادلة. وهذا سيعطينا حل المسألة: ‪𝑛‬‏ يساوي ‪11‬‏. إذن، لدينا مضلع يشتمل على ‪11‬‏ ضلعًا مجموع قياسات زواياه الداخلية يساوي ‪1620‬‏.

حسنًا، لدينا سؤال أخير. لدينا شكل، والمطلوب منا هو حساب قياس الزاوية ‪𝐴𝐵𝐶‬‏.

إذن، هذه هي الزاوية المطلوبة بالانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ ثم إلى ‪𝐶‬‏. وسأسمي هذه الزاوية ‪𝑦‬‏. حسنًا، سنحتاج إلى الصيغة التي وضعناها لمجموع قياسات الزوايا الداخلية؛ لذا فقد كتبتها مرة أخرى. لنلق نظرة على ما لدينا. إذا حسبنا عدد الأضلاع في الشكل، نجد أن لدينا خمسة أضلاع، ومن ثم فإن ‪𝑛‬‏ يساوي خمسة. إذن، استراتيجيتنا هنا هي أنه يمكننا حساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية باستخدام هذه الصيغة. نعرف قياس ثلاثة من هذه الزوايا، ومن ثم يمكننا الطرح. ثم نسمي الزاويتين المتبقيتين ‪𝑦‬‏، ما يعني أنهما متساويتان. وعلى هذا النحو، كل ما ينتج عن ذلك، إذا توصلنا إليه، من شأنه أن يعطينا قياس الزاوية ‪𝐴𝐵𝐶‬‏. فلنبدأ بحساب هذا.

مجموع الزوايا الداخلية ‪180‬‏ في ثلاثة. وهو ما يساوي خمسة ناقص اثنين؛ لأن هناك خمسة أضلاع، وهو ما يعطينا ‪540‬‏ درجة للمجموع الكلي. وهذا يعني أن كل هذه الزوايا قد جمعت معًا، أي ‪121‬‏ زائد ‪110‬‏ زائد ‪85‬‏ زائد اثنين في ‪𝑦‬‏، تساوي ‪540‬‏. والآن، يمكن أن نكتب ذلك في صورة معادلة. وبعد أن أصبح لدينا هذه المعادلة، علينا المضي قدمًا مع خطوات الحل لحساب قيمة ‪𝑦‬‏. أولًا، إذا جمعت ‪121‬‏ و‪110‬‏ و‪85‬‏ معًا، يصبح لدينا المعادلة: اثنان ‪𝑦‬‏ زائد ‪316‬‏ يساوي ‪540‬‏.

ستكون الخطوة التالية للحل هي طرح ‪316‬‏ من طرفي المعادلة، ويصبح لدينا الآن اثنان ‪𝑦‬‏ يساوي ‪224‬‏. ومن ثم، لإيجاد ‪𝑦‬‏، يمكنني قسمة طرفي المعادلة على اثنين. وهذا يعطي إجابة أخيرة: ‪𝑦‬‏ يساوي ‪112‬‏ درجة. لنلخص ما سبق، عرفنا في هذا الفيديو بعض أسماء المضلعات الشائعة. وتعلمنا كيفية حساب مجموع قياسات زواياها الداخلية بناء على عدد الأضلاع. ورأينا كيف يمكننا الحل بطريقة عكسية من معرفة مجموع قياسات الزوايا الداخلية إلى حساب عدد الأضلاع، ثم تناولنا مسألة متصلة بذلك.