فيديو السؤال: إيجاد الأبعاد التي تجعل متوازي أضلاع معطى مستطيلًا بمعلومية العلاقة بين أضلاعه الرياضيات

إذا كان ‪𝐹𝐽 = 6𝑥 + 8𝑦‬‏، ‪𝐹𝑀 = 3𝑥 + 5𝑦‬‏، ‪𝐺𝐻 = 42‬‏، ‪𝐺𝑀 = 24‬‏، فما قيمة كل من ‪𝑥‬‏، ‪𝑦‬‏ التي تجعل متوازي الأضلاع ‪𝐹𝐺𝐻𝐽‬‏ مستطيلًا؟

٠٥:٢٨

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان 𝐹𝐽 يساوي ستة 𝑥 زائد ثمانية 𝑦، و𝐹𝑀 يساوي ثلاثة 𝑥 زائد خمسة 𝑦، و𝐺𝐻 يساوي 42، و𝐺𝑀 يساوي 24، فما قيمة كل من 𝑥 و𝑦 التي تجعل متوازي الأضلاع 𝐹𝐺𝐻𝐽 مستطيلًا؟

لدينا الكثير من المعطيات في المسألة حول الأطوال المختلفة في الشكل. لنبدأ إذن بكتابة هذه المعطيات على الشكل نفسه. تخبرنا المسألة أن 𝐹𝐽 يساوي ستة 𝑥 زائد ثمانية 𝑦. والضلع المقابل 𝐺𝐻 يساوي 42. لدينا أيضًا بعض المعطيات حول أجزاء قطري متوازي الأضلاع هذا، وهي أن 𝐹𝑀 يساوي ثلاثة 𝑥 زائد خمسة 𝑦 و𝐺𝑀 يساوي 24.

مطلوب منا إيجاد قيمة كل من 𝑥 و𝑦 التي تجعل متوازي الأضلاع مستطيلًا. إذن علينا التفكير في الخصائص التي تنطبق على المستطيلات ولا تنطبق على متوازيات الأضلاع عمومًا. حسنًا، توجد بعض الخصائص. ولكن بما أن لدينا طول جزء من كلا قطري متوازي الأضلاع هذا، فالخاصيتان ذواتي الصلة هنا هما: أولًا، قطرا المستطيل متساويان في الطول، ثانيًا، ينصف كل منهما الآخر، ما يعني أنهما يقسمان أحدهما الآخر إلى نصفين.

وهذا يعني أن جميع القطع المستقيمة الأربع التي تبدأ من رؤوس المستطيل إلى النقطة المركزية 𝑀 متساوية في الطول. وباستخدام القطعتين المستقيمتين المعطى تعبيراتهما أو قيمتاهما على وجه التحديد، يمكننا كتابة المعادلة ثلاثة 𝑥 زائد خمسة 𝑦 يساوي 24. وبذلك يكون لدينا معادلة تجمع بين قيمة كل من 𝑥 و𝑦. ومع ذلك، لدينا معادلة واحدة فقط تحتوي على مجهولين. وهذا لا يكفي لنتمكن من حلها.

لنفكر في المعطيات الأخرى لدينا. تذكر أنه في أي متوازي أضلاع، تكون الأضلاع المتقابلة متساوية في الطول. وبالتالي، فإن الضلعين 𝐹𝐽 و𝐺𝐻 متساويان في الطول. لذا يمكننا كتابة معادلة أخرى، وهي: ستة 𝑥 زائد ثمانية 𝑦 يساوي 42. أصبح لدينا الآن زوجان من المعادلات الآنية في المتغيرين 𝑥 و𝑦 يمكننا حلهما لإيجاد القيم التي تجعل المعادلة الأولى صحيحة، وبالتالي تجعل متوازي الأضلاع مستطيلًا.

في هذه المعادلة الثانية، جميع المعاملات أعداد زوجية؛ ما يعني أنه من الممكن قسمة المعادلة كلها على اثنين، لنحصل على معادلة أبسط، وهي: ثلاثة 𝑥 زائد أربعة 𝑦 يساوي 21. نفكر الآن في حل هذه المعادلة الأبسط، التي أشرت إليها بالمعادلة رقم اثنين، إلى جانب المعادلة الأولى، أي المعادلة رقم واحد. نلاحظ أولًا أن المعادلتين لهما معامل 𝑥 نفسه، وهو ثلاثة؛ ما يعني أنني لو طرحت المعادلة الثانية من المعادلة الأولى، فسيؤدي هذا إلى حذف حدي 𝑥.

إذن، إذا فعلنا ذلك، فسيلغي حدا 𝑥 أحدهما الآخر كما هو مطلوب. فلا ينتج عن ثلاثة 𝑥 ناقص ثلاثة 𝑥 أي حد يحتوي على 𝑥. خمسة 𝑦 ناقص أربعة 𝑦 يساوي واحد 𝑦، وهو ما نكتبه في صورة 𝑦 فقط. 24 ناقص 21 يساوي ثلاثة. إذن لدينا الآن المعادلة: 𝑦 يساوي ثلاثة. في الواقع، لقد أوجدنا قيمة 𝑦. لإيجاد قيمة 𝑥، يمكننا التعويض بقيمة 𝑦 هذه في أي معادلة من المعادلتين. سأختار التعويض في المعادلة رقم واحد.

بالتعويض، نحصل على ثلاثة 𝑥 زائد خمسة في ثلاثة يساوي 24. خمسة في ثلاثة يساوي 15. إذن لدينا ثلاثة 𝑥 زائد 15 يساوي 24. سأطرح بعد ذلك 15 من طرفي المعادلة، ما يعطينا ثلاثة 𝑥 يساوي تسعة. الخطوة الأخيرة هي قسمة طرفي المعادلة على ثلاثة، ما يعطينا 𝑥 يساوي ثلاثة. إذن، أوجدنا قيمتي 𝑥 و𝑦 اللتين تجعلان متوازي الأضلاع 𝐹𝐺𝐻𝐽 مستطيلًا. وكلاهما يساوي ثلاثة.

تذكر الحقيقتين الأساسيتين اللتين استخدمناهما في هذه المسألة، وهما من خصائص المستطيل، ولكنهما لا ينطبقان على كل متوازيات الأضلاع، ألا وهما: قطرا المستطيل متساويان في الطول وينصف كل منها الآخر.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.