فيديو السؤال: استخدام خواص الأشكال الرباعية الدائرية للتحقق مما إذا كان الشكل الرباعي المعطى دائريًّا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

هل ﺃﺏﺟﺩ رباعي دائري؟

يمكننا تذكر أن الرباعي الدائري هو شكل رباعي تقع رءوسه الأربعة على محيط دائرة. ويمكننا إثبات إذا ما كان الشكل الرباعي دائريًّا أو لا بالتحقق من بعض خواص الزوايا. بما أن لدينا قطرين في هذا الشكل الرباعي، فقد يعطينا ذلك مفتاحًا للحل. يمكننا التحقق مما إذا كان قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع يساوي قياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل، ومن ثم يكون الشكل الرباعي دائريًّا.

في هذا الشكل، لدينا قياس الزاوية ﺃﺩﺏ هذه. وهي زاوية يصنعها قطر وضلع. والزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل ستكون هنا عند الزاوية ﺃﺟﺏ. إذا استطعنا إثبات أن قياس هذه الزاوية يساوي قياس الزاوية ﺃﺩﺏ، فعندئذ يكون لدينا شكل رباعي دائري. دعونا نر إذا ما كان يمكننا حساب قياس هذه الزاوية.

لنستعن بحقيقة أن هذه الزاوية تقع في المثلث ﻫﺟﺏ. ينبغي أن نلاحظ أن لدينا زاوية قائمة هنا عند الزاوية ﺃﻫﺏ. وبما أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة، نعرف إذن أن قياس الزاوية ﺏﻫﺟ يساوي ٩٠ درجة أيضًا. في هذا المثلث ﺏﻫﺟ، يمكننا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة. وبذلك، يكون لدينا ٦٣ درجة زائد ٩٠ درجة زائد قياس الزاوية ﺏﺟﻫ يساوي ١٨٠ درجة. بجمع ٦٣ درجة و٩٠ درجة نحصل على ١٥٣ درجة، وبطرح ١٥٣ درجة من كلا الطرفين نجد أن قياس الزاوية ﻫﺏﺟ يساوي ٢٧ درجة.

والآن، إذا قارنا بين قياسي الزاويتين اللتين يصنعهما القطران، نجد أن لدينا هذه الزاوية التي قياسها ٢٧ درجة وهذه الزاوية التي قياسها ٣٨ درجة. وبالطبع، ٢٧ درجة لا يساوي ٣٨ درجة. ومن ثم، فإن قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع لا يساوي قياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل. إذن ﺃﺏﺟﺩ ليس رباعيًّا دائريًّا. وبذلك، يمكننا القول إن الإجابة هي لا.

يوجد زوج آخر من الزوايا كان بإمكاننا التحقق منه أيضًا. الزاوية ﺟﺏﺩ هي زاوية يصنعها قطر وضلع. والزاوية التي يصنعها الضلع الآخر والضلع المقابل هي هذه الزاوية عند ﺟﺃﺩ. كان بإمكاننا إثبات أن هذه الزاوية عند ﺃﻫﺩ زاوية قائمة، ثم استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا في المثلث يساوي ١٨٠ درجة لإيجاد قياس الزاوية المجهولة. ومن ثم، كنا سنجد أن قياس الزاوية ﺟﺃﺩ يساوي ٥٢ درجة.

هذه المرة، كنا سنتمكن من إثبات أن ٦٣ درجة لا يساوي ٥٢ درجة. وهذا يوضح أن ﺃﺏﺟﺩ ليس رباعيًّا دائريًّا. ولكن، لا نحتاج إلى إثبات وجود زوجين من الزوايا غير متساويين في القياس. بل يكفي أن يكون لدينا زوج واحد من الزوايا الناتجة عن القطرين غير متساو في القياس لإثبات أن الشكل الرباعي ليس دائريًّا.