فيديو الدرس: مجموع مكعبين والفرق بينهما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحلل مجموع مكعبين والفرق بينهما. سنبدأ بتوضيح الصيغ التي يمكننا استخدامها لتحليل مجموع مكعبين والفرق بينهما.

تسمى كثيرة الحدود على الصورة ﺃ تكعيب زائد ﺏ تكعيب بمجموع مكعبين. ويمكن تحليل أي كثيرة حدود بهذه الصورة؛ حيث يكون ﺃ تكعيب زائد ﺏ تكعيب يساوي ﺃ زائد ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع ناقص ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. ويمكننا إثبات هذه الحالة عن طريق فك الأقواس أو توزيعها في الطرف الأيسر. نبدأ بتوزيع ﺃ. نضرب ﺃ تربيع وسالب ﺃﺏ وﺏ تربيع في ﺃ. وهذا يعطينا ﺃ تكعيب ناقص ﺃ تربيع ﺏ زائد ﺃﺏ تربيع.

ثم نوزع ﺏ. وهذا يعطينا ﺃ تربيع ﺏ ناقص ﺃﺏ تربيع زائد ﺏ تكعيب. نلاحظ أنه يمكننا حذف ﺃ تربيع ﺏ؛ لأن سالب ﺃ تربيع ﺏ زائد ﺃ تربيع ﺏ يساوي صفرًا. ويمكننا أيضًا حذف ﺃﺏ تربيع. يصبح لدينا ﺃ تكعيب زائد ﺏ تكعيب، وهو ما يساوي الطرف الأيمن. وهذا يثبت أن ﺃ تكعيب زائد ﺏ تكعيب يساوي ﺃ زائد ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع ناقص ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع.

والآن لننظر إلى كثيرة حدود على الصورة ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب. يسمى هذا الفرق بين مكعبين. ويمكن تحليل ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب إلى الصورة الآتية: ﺃ ناقص ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع زائد ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. مرة أخرى، يمكننا إثبات ذلك عن طريق توزيع الأقواس. بضرب ﺃ في ﺃ تربيع زائد ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع، نحصل على ﺃ تكعيب زائد ﺃ تربيع ﺏ زائد ﺃﺏ تربيع. وبضرب الحدود الثلاثة في القوس الثاني في سالب ﺏ، نحصل على سالب ﺃ تربيع ﺏ ناقص ﺃﺏ تربيع ناقص ﺏ تكعيب.

مرة أخرى، نحذف حدي ﺃ تربيع ﺏ وﺃﺏ تربيع، فيتبقى لدينا ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب. ‏ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب يساوي ﺃ ناقص ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع زائد ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. في جميع الأسئلة الواردة في هذا الفيديو، سنحتاج إلى استخدام إحدى هاتين الصيغتين. وفي كلتا الحالتين، سنعيد كتابة الصيغة المناسبة، بحيث نأمل أنه في نهاية هذا الدرس نكون قد تعلمنا كلًّا منهما.

إذا كان ﺱ تكعيب ناقص ٥١٢ يساوي ﺱ ناقص ثمانية في ﺱ تربيع زائد ﻙ زائد ٦٤، فأوجد مقدارًا يمثل ﻙ.

أي مقدار على الصورة ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب يعرف باسم الفرق بين مكعبين. نعلم أنه يمكن تحليل ذلك إلى الصورة ﺃ ناقص ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع زائد ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. في هذا السؤال؛ قيمة ﺃ تكعيب هي ﺱ تكعيب، وقيمة ﺏ تكعيب هي ٥١٢. إذا كان ﺃ تكعيب يساوي ﺱ تكعيب، فإننا نعرف من ذلك أن ﺃ يساوي ﺱ؛ حيث يمكننا إيجاد الجذر التكعيبي لطرفي المعادلة. وإذا كان ﺏ تكعيب يساوي ٥١٢، فإن ﺏ يساوي ثمانية. نعرف ذلك لأن ثمانية تكعيب يساوي ٥١٢، وهو ما يعني أن الجذر التكعيبي لـ ٥١٢ يساوي ثمانية.

عند تحليل ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب، نجد أن المجموعة الأولى من الأقواس تحتوي على ﺃ ناقص ﺏ. وهذا يعني أنه في هذا المثال سيكون لدينا ﺱ ناقص ثمانية. الحد الأول في المجموعة الثانية من الأقواس سيكون ﺱ تربيع. والحد الثاني هو ﺃ مضروبًا في ﺏ، أي ثمانية ﺱ. والحد الأخير هو ﺏ تربيع، وهو في هذه الحالة ثمانية تربيع، وهو ما يساوي ٦٤. والمطلوب هو إيجاد مقدار يمثل ﻙ. وهذا المقدار يساوي ثمانية ﺱ. إنها قيمة ﺃ مضروبًا في ﺏ.

في السؤال التالي، سيكون علينا تحليل مجموع مكعبين تحليلًا كاملًا.

للمقدار ﺱ تكعيب زائد ٢٧ عاملان. أحد هذين العاملين يساوي ﺱ زائد ثلاثة. ما العامل الآخر؟

نتذكر أن أي مقدار مكتوب على الصورة ﺃ تكعيب زائد ﺏ تكعيب يعرف بمجموع مكعبين. يمكن تحليل ذلك إلى مجموعتين من الأقواس: ﺃ زائد ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع ناقص ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. في هذا السؤال؛ ﺃ تكعيب يساوي ﺱ تكعيب، وﺏ تكعيب يساوي ٢٧. يمكننا إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ من خلال إيجاد الجذر التكعيبي لكلا طرفي هاتين المعادلتين. وهذا يعطينا قيمتي ﺃ وﺏ وهما ﺱ وثلاثة، على الترتيب. يمكننا الآن استخدام هذه المعلومة لتحليل ﺱ تكعيب زائد ٢٧ إلى مجموعتين من الأقواس.

أول قوس هو ﺃ زائد ﺏ. في السؤال لدينا، هذا يساوي ﺱ زائد ثلاثة. وقد أخبرنا السؤال بالفعل أن هذا هو أحد العاملين. والمجموعة الثانية من الأقواس تساوي ﺃ تربيع ناقص ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. ‏ﺃ تربيع يساوي ﺱ تربيع. ‏ﺃ مضروبًا في ﺏ يساوي ثلاثة ﺱ، إذن الحد الثاني هو سالب ثلاثة ﺱ. ‏ﺏ تربيع يساوي تسعة؛ لأن ثلاثة مضروبًا في ثلاثة يساوي تسعة. إذن، يمكن تحليل المقدار ﺱ تكعيب زائد ٢٧ إلى الصورة ﺱ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد تسعة. وهذا يعني أن الإجابة الصحيحة للسؤال هي ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد تسعة. وهذا هو العامل الآخر لـ ﺱ تكعيب زائد ٢٧.

يمكننا التأكد من صحة هذه الإجابة عن طريق توزيع الأقواس. يمكننا ضرب ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد تسعة في ﺱ، ثم ضرب ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد تسعة في ثلاثة. وعندما نفعل ذلك، سنحذف كل الحدود باستثناء ﺱ تكعيب زائد ٢٧.

سؤالنا التالي عبارة عن مسألة أكثر تعقيدًا؛ حيث علينا إخراج العامل المشترك الأكبر أولًا.

حلل ١,٠٠٠ﺱ تكعيب ناقص ١٢٥ تحليلًا كاملًا.

للوهلة الأولى، يبدو أن هذا المقدار مكتوب على الصورة ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب، وهو الفرق بين مكعبين. نعلم أنه يمكن تحليل أي مقدار من هذا النوع كما هو موضح إلى مجموعتين من الأقواس، وهما ﺃ ناقص ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع زائد ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. لكن عند النظر إلى العددين ١,٠٠٠ و١٢٥، نلاحظ أن العامل المشترك بينهما أكبر من واحد. في الواقع، العددان ١,٠٠٠ و١٢٥ كلاهما يقبل القسمة على ١٢٥. هذا يعني أنه يمكننا البدء في حل السؤال عن طريق إخراج ١٢٥ كعامل مشترك. ‏١,٠٠٠ مقسوم على ١٢٥ يساوي ثمانية. هذا يعني أن ١٢٥ مضروبًا في ثمانية ﺱ تكعيب يساوي ١,٠٠٠ﺱ تكعيب. وبما أن ١٢٥ مقسومًا على ١٢٥ يساوي واحدًا، فإن ١,٠٠٠ﺱ تكعيب ناقص ١٢٥ يساوي ١٢٥ مضروبًا في ثمانية ﺱ تكعيب ناقص واحد.

ما زال المقدار ثمانية ﺱ تكعيب ناقص واحد على الصورة ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب، ما يعني أنه يمكن تحليله أكثر من ذلك. ‏ﺃ تكعيب يساوي ثمانية ﺱ تكعيب، وﺏ تكعيب يساوي واحدًا. ويمكننا بعد ذلك إيجاد الجذر التكعيبي لكلا طرفي هاتين المعادلتين لحساب قيمتي ﺃ وﺏ. الجذر التكعيبي لثمانية يساوي اثنين. إذن، ﺃ يساوي اثنين ﺱ. والجذر التكعيبي لواحد يساوي واحدًا، إذن ﺏ يساوي واحدًا. ويمكننا الآن تحليل ثمانية ﺱ تكعيب ناقص واحد إلى هذين القوسين.

‏ﺃ ناقص ﺏ يساوي اثنين ﺱ ناقص واحد. ‏ﺃ تربيع يساوي أربعة ﺱ تربيع؛ حيث إن اثنين ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ يساوي أربعة ﺱ تربيع. بضرب قيمتي ﺃ وﺏ، نحصل على اثنين ﺱ. وأخيرًا، ﺏ تربيع يساوي واحدًا. إذن، ثمانية ﺱ تكعيب ناقص واحد يساوي اثنين ﺱ ناقص واحد مضروبًا في أربعة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد واحد. يمكننا إذن استنتاج أن الصورة المحللة تحليلًا كاملًا لـ ١,٠٠٠ﺱ تكعيب ناقص ١٢٥ هي ١٢٥ مضروبًا في اثنين ﺱ ناقص واحد مضروبًا في أربعة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد واحد.

في السؤال التالي، علينا إيجاد مجموع مكعبين عن طريق توزيع الأقواس.

أكمل التالي: (فراغ) يساوي ﺹ زائد ١٥ﺱ مضروبًا في ﺹ تربيع ناقص ١٥ﺹﺱ زائد ٢٢٥ﺱ تربيع.

ربما يكون أول ما نفكر فيه في هذا السؤال هو محاولة توزيع الأقواس، لنضرب ﺹ تربيع ناقص ١٥ﺹﺱ زائد ٢٢٥ﺱ تربيع أولًا في ﺹ، ثم في ١٥ﺱ. لكن، ربما نلاحظ أن هذا المقدار مكتوب على الصورة ﺃ زائد ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع ناقص ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. وهذه هي الصورة المحللة للمقدار ﺃ تكعيب زائد ﺏ تكعيب. يعرف هذا بمجموع مكعبين. قيمة ﺃ لدينا هي ﺹ، وقيمة ﺏ هي ١٥ﺱ.

يمكننا إيجاد قيمة ﺃ تكعيب وﺏ تكعيب عن طريق تكعيب طرفي كل معادلة. تعطينا المعادلة الأولى ﺃ تكعيب يساوي ﺹ تكعيب. وبتكعيب كلا طرفي المعادلة الثانية، نحصل على ﺏ تكعيب يساوي ٣,٣٧٥ﺱ تكعيب. هذا لأن ١٥ مضروبًا في ١٥ مضروبًا في ١٥ يساوي ٣,٣٧٥. إذن، الحد الناقص هو ﺹ تكعيب زائد ٣,٣٧٥ﺱ تكعيب؛ لأن هذا يساوي ﺹ زائد ١٥ﺱ مضروبًا في ﺹ تربيع ناقص ١٥ﺹﺱ زائد ٢٢٥ﺱ تربيع.

كنا سنحصل على الإجابة نفسها إذا ضربنا مجموعتي الأقواس. وكنا سنحذف جميع الحدود باستثناء ﺹ مضروبًا في ﺹ تربيع، وهو ﺹ تكعيب، و١٥ﺱ مضروبًا في ٢٢٥ﺱ تربيع، وهو ما يساوي ٣,٣٧٥ﺱ تكعيب.

في السؤال الأخير، سنبدأ بمقدار أكثر تعقيدًا.

حلل ﺱ ناقص ستة ﺹ الكل تكعيب ناقص ٢١٦ﺹ تكعيب تحليلًا كاملًا.

على الرغم من أن هذا المقدار قد لا يكون واضحًا بشكل مباشر، فإنه مكتوب على الصورة ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب. وهذا هو الفرق بين مكعبين. نعلم أن تحليل ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب يساوي ﺃ ناقص ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع زائد ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. الحد الأول في هذا المقدار هو ﺱ ناقص ستة ﺹ الكل تكعيب. هذا يعني أن ﺃ تكعيب يساوي هذا الحد. ونظرًا لأن إيجاد الجذر التكعيبي هو عكس عملية التكعيب، يمكننا إيجاد الجذر التكعيبي لكلا طرفي هذه المعادلة، وهو ما يعطينا قيمة ﺃ تساوي ﺱ ناقص ستة ﺹ. والحد الثاني هو ٢١٦ﺹ تكعيب، ولذا، فإن ﺏ تكعيب يساوي هذا الحد. مرة أخرى، يمكننا إيجاد الجذر التكعيبي لكلا طرفي هذه المعادلة، وهو ما يعطينا ﺏ يساوي ستة ﺹ؛ لأن الجذر التكعيبي لـ ٢١٦ يساوي ستة.

يمكننا الآن التعويض بقيمتي ﺃ وﺏ في الطرف الأيسر من الصيغة. نبدأ بـ ﺃ ناقص ﺏ. هذا يساوي ﺱ ناقص ستة ﺹ ناقص ستة ﺹ. ونبسط هذا إلى ﺱ ناقص ١٢ﺹ. ‏ﺃ تربيع يساوي ﺱ ناقص ستة ﺹ الكل تربيع. وهذا يساوي ﺱ ناقص ستة ﺹ مضروبًا في ﺱ ناقص ستة ﺹ. وبتوزيع الأقواس هنا، نحصل على ﺱ تربيع ناقص ستة ﺹﺱ ناقص ستة ﺹﺱ زائد ٣٦ﺹ تربيع. يمكن تبسيط ذلك إلى ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺹﺱ زائد ٣٦ﺹ تربيع. ‏ﺃﺏ يساوي ﺱ ناقص ستة ﺹ مضروبًا في ستة ﺹ. وبتوزيع الأقواس هنا، نحصل على ستة ﺹﺱ ناقص ٣٦ﺹ تربيع.

وأخيرًا، ﺏ تربيع يساوي ستة ﺹ الكل تربيع. وهذا يساوي ٣٦ﺹ تربيع. وبالتعويض عن هذه الحدود الثلاثة، نحصل على ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺹﺱ زائد ٣٦ﺹ تربيع زائد ستة ﺹﺱ ناقص ٣٦ﺹ تربيع زائد ٣٦ﺹ تربيع. ويمكن تبسيط ذلك إلى ﺱ تربيع ناقص ستة ﺹﺱ زائد ٣٦ﺹ تربيع. ستة ﺹﺱ هو نفسه ستة ﺱﺹ. إذن، الصورة المحللة تحليلًا كاملًا هي ﺱ ناقص ١٢ﺹ مضروبًا في ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱﺹ زائد ٣٦ﺹ تربيع.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. يمكننا تحليل مجموع مكعبين والفرق بينهما باستخدام الصيغتين التاليتين. ‏ﺃ تكعيب زائد ﺏ تكعيب يساوي ﺃ زائد ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع ناقص ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. ‏ﺃ تكعيب ناقص ﺏ تكعيب، من ناحية أخرى، يساوي ﺃ ناقص ﺏ مضروبًا في ﺃ تربيع زائد ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع. وقبل استخدام أي من الصيغتين، من المهم أن نستخرج أولًا العامل المشترك الأكبر للحدين.